Laplace变换与z变换

核心思想：Laplace 变换和 z 变换分别是连续时间和离散时间信号的复频域表示工具。它们将信号/系统从时域映射到复平面（$s$ 平面 / $z$ 平面），通过极零点和**收敛域（ROC）**完整刻画信号特性与 LTI 系统的因果性、稳定性。

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Part A：Laplace 变换（Ch.9）

1. 双边 Laplace 变换定义

$$X(s)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-st}dt,s=\sigma +j\omega$$

• 与 Fourier 变换的关系：$X(j\omega )=X(s){|}_{s=j\omega }$（在 $j\omega$ 轴上求值）
• 收敛域（ROC）：使积分收敛的 $s$ 值集合，在复平面上为平行于 $j\omega$ 轴的带状区域

2. ROC 的基本性质

性质	说明
带状区域	ROC 为 $R_1<\text{Re}\{s\}<R_2$ 的条带
不含极点	ROC 内不包含 $X(s)$ 的任何极点
有限长信号	ROC 为整个 $s$ 平面
右边信号	ROC 为 $\text{Re}\{s\}>{\sigma }_R$（某极点之右）
左边信号	ROC 为 $\text{Re}\{s\}<{\sigma }_L$（某极点之左）
双边信号	ROC 为两极点之间的条带
有理 $X(s)$	ROC 的边界由极点决定

3. 逆 Laplace 变换

部分分式展开法：对有理 $X(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$，展开为

$$X(s)=\sum _{k=1}^N\frac{A_k}{s-p_k}$$

其中 $A_k=(s-p_k)X(s){|}_{s=p_k}$。根据 ROC 确定每一项对应右边还是左边信号。

4. 极零点图与几何求值

在 $s$ 平面上，$X(s)$ 的幅度 = $\frac{\prod |\text{零点向量}|}{\prod |\text{极点向量}|}$，相位 = $\sum \text{零点角度}-\sum \text{极点角度}$。沿 $j\omega$ 轴移动可几何地估算频率响应 $X(j\omega )$。

5. Laplace 变换性质表

性质	时域	$s$ 域
线性	$a{x}_1+b{x}_2$	$a{X}_1(s)+b{X}_2(s)$
时移	$x(t-t_0)$	$e^{-s{t}_0}X(s)$
$s$ 域平移	$e^{s_{0}t}x(t)$	$X(s-s_0)$
时间缩放	$x(at)$	$\frac{1}{\Vert a\Vert }X\left(\frac{s}{a}\right)$
共轭	$x^{\ast }(t)$	$X^{\ast }(s^{\ast })$
卷积	$x_1\ast x_2$	$X_1(s)X_2(s)$
时域微分	$\frac{dx}{dt}$	$sX(s)$
$s$ 域微分	$-tx(t)$	$\frac{dX(s)}{ds}$
时域积分	${\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau$	$\frac{1}{s}X(s)$
初值定理	$x(0^{+})={\lim }_{s\to \infty }sX(s)$	—
终值定理	${\lim }_{t\to \infty }x(t)={\lim }_{s\to 0}sX(s)$	—

6. 常用 Laplace 变换对

$x(t)$	$X(s)$	ROC
$\delta (t)$	$1$	全平面
$u(t)$	$1/s$	$\text{Re}\{s\}>0$
$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{s+a}$	$\text{Re}\{s\}>-a$
$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}{e}^{-at}u(t)$	$\frac{1}{(s+a{)}^n}$	$\text{Re}\{s\}>-a$
$\cos ({\omega }_{0}t)u(t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }_0^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
$\sin ({\omega }_{0}t)u(t)$	$\frac{{\omega }_0}{s^2+{\omega }_0^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$

7. LTI 系统函数分析

系统函数 $H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$，对微分方程 $\sum a_k\frac{d^{k}y}{d{t}^k}=\sum b_k\frac{d^{k}x}{d{t}^k}$ 有 $H(s)=\frac{\sum b_k{s}^k}{\sum a_k{s}^k}$。

• 因果性：有理 $H(s)$ 因果 ⟺ ROC 在最右极点右侧
• 稳定性：稳定 ⟺ ROC 包含 $j\omega$ 轴；因果 + 有理 + 稳定 ⟺ 所有极点在左半平面
• Butterworth 滤波器：$|B(j\omega ){|}^2=\frac{1}{1+(\omega /{\omega }_c{)}^{2N}}$，极点等间距分布在 $|s|={\omega }_c$ 圆上，选取左半平面极点构造因果稳定的 $B(s)$

8. 系统函数代数与方框图

• 级联：$H(s)=H_1(s)H_2(s)$
• 并联：$H(s)=H_1(s)+H_2(s)$
• 反馈：$H(s)=\frac{H_1(s)}{1+H_1(s)H_2(s)}$
• 方框图实现：直接型、级联型、并联型——使用加法器、乘法器、积分器（$1/s$）构建

9. 单边 Laplace 变换

$$\mathcal{X}(s)={\int }_{0^{-}}^{\infty }x(t)e^{-st}dt$$

• 微分性质：$\mathcal{L}\left\{\frac{dx}{dt}\right\}=s\mathcal{X}(s)-x(0^{-})$（自动包含初始条件）
• 用于求解非零初始条件下的微分方程
• 全响应 = 零状态响应（初始条件为零）+ 零输入响应（输入为零）

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Part B：z 变换（Ch.10）

10. 双边 z 变换定义

$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]z^{-n}$$

• 与 DTFT 的关系：$X(e^{j\omega })=X(z){|}_{z=e^{j\omega }}$（在单位圆上求值）
• ROC：使级数收敛的 $z$ 值集合，在复平面上为环形区域 $r_1<|z|<r_2$

11. ROC 的 9 条性质

#	性质
1	ROC 为环形区域 $r_1<\Vert z\Vert <r_2$
2	ROC 不含极点
3	有限长序列 → ROC 为全平面（可能排除 $z=0$ 或 $z=\infty$）
4	右边序列 → ROC 为某圆外 $\Vert z\Vert >r_1$
5	左边序列 → ROC 为某圆内 $\Vert z\Vert <r_2$
6	双边序列 → ROC 为环 $r_1<\Vert z\Vert <r_2$
7	有理 $X(z)$ 的 ROC 边界由极点决定
8	右边有理 $X(z)$ → ROC 在最外极点之外
9	左边有理 $X(z)$ → ROC 在最内极点之内

12. 逆 z 变换

• 部分分式展开：$X(z)=\sum \frac{A_k}{1-p_k{z}^{-1}}$，根据 ROC 确定右边/左边
• 幂级数展开（长除法）：按 $z^{-1}$ 的幂展开，系数即为 $x[n]$

13. 极零点图几何求值

在 $z$ 平面上，沿单位圆 $z=e^{j\omega }$ 移动，用零点和极点向量的长度比和角度差估算频率响应 $X(e^{j\omega })$。

14. z 变换性质表

性质	时域	$z$ 域
线性	$a{x}_1+b{x}_2$	$a{X}_1(z)+b{X}_2(z)$
时移	$x[n-n_0]$	$z^{-n_0}X(z)$
$z$ 域缩放	$z_0^{n}x[n]$	$X(z/z_0)$
指数加权	$a^{n}x[n]$	$X(a^{-1}z)$
时间反转	$x[-n]$	$X(1/z)$
时间扩展	$x_{(k)}[n]$（插零）	$X(z^k)$
共轭	$x^{\ast }[n]$	$X^{\ast }(z^{\ast })$
卷积	$x_1\ast x_2$	$X_1(z)X_2(z)$
一阶差分	$x[n]-x[n-1]$	$(1-z^{-1})X(z)$
累加	${\sum }_{k=-\infty }^{n}x[k]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}X(z)$
$z$ 域微分	$nx[n]$	$-z\frac{dX(z)}{dz}$
初值定理	$x[0]={\lim }_{z\to \infty }X(z)$	—

15. DT LTI 系统函数分析

系统函数 $H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$，对差分方程 $\sum a_{k}y[n-k]=\sum b_{k}x[n-k]$ 有 $H(z)=\frac{\sum b_k{z}^{-k}}{\sum a_k{z}^{-k}}$。

• 因果性：有理 $H(z)$ 因果 ⟺ (a) ROC 在最外极点之外，且 (b) 分子阶 $\le$ 分母阶
• 稳定性：稳定 ⟺ ROC 包含单位圆 $|z|=1$；因果 + 有理 + 稳定 ⟺ 所有极点在单位圆内

16. 单边 z 变换

$$\mathcal{X}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$$

• ROC 总是圆外区域
• 时延性质：$\mathcal{Z}\{x[n-1]\}=z^{-1}\mathcal{X}(z)+x[-1]$
• 时超性质：$\mathcal{Z}\{x[n+1]\}=z\mathcal{X}(z)-zx[0]$
• 全响应 = 零状态响应 + 零输入响应（与连续时间完全对偶）

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Laplace 变换与 z 变换的对比

特征	Laplace 变换	z 变换
适用域	连续时间	离散时间
复变量	$s=\sigma +j\omega$	$z=r{e}^{j\omega }$
Fourier 关系	$j\omega$ 轴 → CTFT	单位圆 $\Vert z\Vert =1$ → DTFT
ROC 形状	条带/半平面	环形/圆外/圆内
因果稳定条件	所有极点在左半平面	所有极点在单位圆内
$s\to z$ 映射	$z=e^{sT}$（采样关系）	—

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初学者要点

1. ROC 决定一切：同一个 $X(s)$ 或 $X(z)$ 表达式，不同 ROC 对应完全不同的时域信号
2. 极点位置判稳定性：CT 看左半平面，DT 看单位圆内——这是最核心的判据
3. 部分分式展开是逆变换的通用方法，务必熟练掌握
4. 初值/终值定理提供了不计算完整逆变换就能获取时域信息的快捷方式
5. 系统函数 $H(s)$ 或 $H(z)$ 将微分/差分方程转化为代数运算，是分析和设计 LTI 系统的核心工具

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关联页面

• 连续与离散时间信号基础 — 信号分类与系统性质
• 线性时不变系统与卷积 — LTI 系统基础
• 连续时间傅里叶变换 — Fourier 变换（Laplace 在 $j\omega$ 轴上的特例）
• 离散时间傅里叶变换 — DTFT（z 变换在单位圆上的特例）
• 信号与系统的时频特性 — Butterworth 滤波器的频率响应
• 离散时间信号与系统 — Martin Ch.13 视角的 z 变换补充
• Oppenheim Signals and Systems 2e 深度解析 — 来源页