连续时间傅里叶变换

连续时间傅里叶变换 (CTFT)

核心思想：将非周期信号视为周期→∞ 的极限，傅里叶级数→傅里叶变换，离散频谱→连续频谱。

1. 定义

综合方程（逆变换）：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$$

分析方程（正变换）：

$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$$

记号：$x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }X(j\omega )$

2. 收敛条件（Dirichlet 条件）

充分条件（满足任一组即可）：

条件组	要求
有限能量	${\int }_{-\infty }^{+\infty }\Vert x(t){\Vert }^{2}dt<\infty$
Dirichlet	① 绝对可积 $\int \Vert x(t)\Vert dt<\infty$；② 有限极值；③ 有限间断点

关键：周期信号（如 $\cos {\omega }_{0}t$）不满足绝对可积，但允许冲激函数后可纳入统一框架。

3. 周期信号的 CTFT

周期信号 $x(t)={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$ 的傅里叶变换为：

$$X(j\omega )=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0)$$

常用周期信号变换对：

信号	CTFT
$e^{j{\omega }_{0}t}$	$2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)$
$\cos {\omega }_{0}t$	$\pi [\delta (\omega -{\omega }_0)+\delta (\omega +{\omega }_0)]$
$\sin {\omega }_{0}t$	$\frac{\pi }{j}[\delta (\omega -{\omega }_0)-\delta (\omega +{\omega }_0)]$
冲激串 ${\sum }_k\delta (t-kT)$	$\frac{2\pi }{T}{\sum }_k\delta \left(\omega -\frac{2\pi k}{T}\right)$

4. 典型变换对

信号 $x(t)$	CTFT $X(j\omega )$
$e^{-at}u(t),a>0$	$\frac{1}{a+j\omega }$
$e^{-a\Vert t\Vert },a>0$	$\frac{2a}{a^2+{\omega }^2}$
$\delta (t)$	$1$
$u(t)$	$\frac{1}{j\omega }+\pi \delta (\omega )$
矩形脉冲 $\Vert t\Vert <T_1$	$\frac{2\sin \omega T_1}{\omega }$
$\frac{\sin Wt}{\pi t}$	$\{\begin{array}{ll}1,& \Vert \omega \Vert <W\\ 0,& \Vert \omega \Vert >W\end{array}$
$t{e}^{-at}u(t)$	$\frac{1}{(a+j\omega {)}^2}$
$\delta (t-t_0)$	$e^{-j\omega t_0}$

sinc 函数：$\text{sinc}(\theta )=\frac{\sin \pi \theta }{\pi \theta }$

5. CTFT 性质表

5.1 基本性质

性质	时域	频域
线性	$ax(t)+by(t)$	$aX(j\omega )+bY(j\omega )$
时移	$x(t-t_0)$	$e^{-j\omega t_0}X(j\omega )$
频移	$e^{j{\omega }_{0}t}x(t)$	$X(j(\omega -{\omega }_0))$
共轭	$x^{\ast }(t)$	$X^{\ast }(-j\omega )$
时间反转	$x(-t)$	$X(-j\omega )$
时频缩放	$x(at)$	$\frac{1}{\Vert a\Vert }X\left(\frac{j\omega }{a}\right)$

5.2 共轭对称性（$x(t)$ 为实信号）

• $X(-j\omega )=X^{\ast }(j\omega )$
• $\text{Re}\{X(j\omega )\}$ 为偶函数，$\text{Im}\{X(j\omega )\}$ 为奇函数
• $|X(j\omega )|$ 为偶函数，$\angle X(j\omega )$ 为奇函数
• 实偶信号 → $X(j\omega )$ 实偶；实奇信号 → $X(j\omega )$ 纯虚奇
• 奇偶分解：$\mathcal{E}v\{x(t)\}\leftrightarrow \text{Re}\{X(j\omega )\}$，$\mathcal{O}d\{x(t)\}\leftrightarrow j\text{Im}\{X(j\omega )\}$

5.3 微分与积分

运算	时域	频域
微分	$\frac{dx(t)}{dt}$	$j\omega X(j\omega )$
积分	${\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau$	$\frac{1}{j\omega }X(j\omega )+\pi X(0)\delta (\omega )$
频域微分	$tx(t)$	$j\frac{dX(j\omega )}{d\omega }$

5.4 Parseval 关系

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|X(j\omega ){|}^{2}d\omega$$

$|X(j\omega ){|}^2$ 称为能量密度谱。

5.5 对偶性

CTFT 综合方程与分析方程形式高度对称。若 $x(t)\leftrightarrow X(j\omega )$，则：

$$X(jt)\leftrightarrow 2\pi x(-\omega )$$

经典对偶示例：矩形脉冲 $\leftrightarrow$ sinc 函数——时域脉冲越宽，频域越窄（反之亦然），体现时频不确定性。

6. 卷积性质

$$y(t)=h(t)\ast x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }Y(j\omega )=H(j\omega )X(j\omega )$$

• 频率响应 $H(j\omega )=\mathcal{F}\{h(t)\}$ 描述 LTI 系统对每个频率分量的复数增益
• 级联系统：$H(j\omega )=H_1(j\omega )H_2(j\omega )$（级联顺序无关）
• 稳定系统 $\Rightarrow$ $h(t)$ 绝对可积 $\Rightarrow$ $H(j\omega )$ 存在

典型应用：

• 理想低通滤波器：$H(j\omega )=1,|\omega |<{\omega }_c$ → $h(t)=\frac{\sin {\omega }_{c}t}{\pi t}$（非因果）
• RC 低通：$H(j\omega )=\frac{1}{j\omega +1}$（因果，单调衰减）

7. 乘法性质

$$r(t)=s(t)p(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }R(j\omega )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }S(j\theta )P(j(\omega -\theta ))d\theta$$

即时域相乘 = 频域卷积（缩放 $1/2\pi$）。这是幅度调制 (AM) 的理论基础：

• $p(t)=\cos {\omega }_{0}t$ → $R(j\omega )=\frac{1}{2}S(j(\omega -{\omega }_0))+\frac{1}{2}S(j(\omega +{\omega }_0))$
• 解调：再乘 $\cos {\omega }_{0}t$ + 低通滤波 → 恢复原始信号

8. 微分方程表征的 LTI 系统

对线性常系数微分方程 ${\sum }_{k=0}^N{a}_k\frac{d^{k}y(t)}{d{t}^k}={\sum }_{k=0}^M{b}_k\frac{d^{k}x(t)}{d{t}^k}$：

$$H(j\omega )=\frac{{\sum }_{k=0}^M{b}_k(j\omega {)}^k}{{\sum }_{k=0}^N{a}_k(j\omega {)}^k}$$

• 频率响应为 $(j\omega )$ 的有理函数，可直接观察写出
• 求冲激响应：对 $H(j\omega )$ 做部分分式展开 → 逐项逆变换
• 例：$\frac{dy}{dt}+ay(t)=x(t)$ → $H(j\omega )=\frac{1}{j\omega +a}$ → $h(t)=e^{-at}u(t)$

9. 初学者要点

1. CTFT 是 FS 的推广：周期→∞ 时离散谱变连续谱
2. 时域↔频域反比：时域压缩 ↔ 频域扩展（缩放性质）
3. 卷积 = 频域相乘：这是分析 LTI 系统最强大的工具
4. 乘法 = 频域搬移：通信调制的核心原理
5. 微分方程 → 代数问题：Fourier 变换将微分方程化为多项式之比

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参见

• 傅里叶级数与周期信号分析 — 周期信号的频域分析基础
• 离散时间傅里叶变换 — DT 对偶版本
• 信号与系统的时频特性 — 幅度/相位/Bode 图深入分析
• 线性时不变系统与卷积 — 卷积性质的时域推导
• Laplace变换与z变换 — 不稳定系统的推广分析工具
• 通信系统基础 — 乘法性质的应用
• 采样定理与信号重建 — 冲激串采样的频域分析