信号与系统的时频特性

核心思想：LTI 系统的频率响应 $H(j\omega )$ 或 $H(e^{j\omega })$ 可用幅度-相位（极坐标）表示。时域与频域之间存在深刻的权衡关系——滤波器的频率选择性与时间响应速度是一对矛盾。

1. 幅度-相位表示

LTI 系统输出频谱的极坐标关系：

$$|Y(j\omega )|=|H(j\omega )|\cdot |X(j\omega )|$$ $$\angle Y(j\omega )=\angle H(j\omega )+\angle X(j\omega )$$

• 幅度：系统对输入各频率分量的增益/衰减
• 相位：系统对输入各频率分量的相移

1.1 线性相位 vs 非线性相位

• 零相位：$\angle H(j\omega )=0$ → 输出信号无形变（仅幅度改变）
• 线性相位：$\angle H(j\omega )=-\alpha \omega$ → 输出 = 输入的时间延迟版 $y(t)=x(t-\alpha )$，无相位失真
• 非线性相位：不同频率延迟不同 → 输出波形严重形变（即使幅度谱不变）

1.2 群延迟

群延迟定义为相位对频率的负导数：

$$\tau (\omega )=-\frac{d}{d\omega }\angle H(j\omega )$$

• 物理意义：频率 $\omega$ 附近的包络延迟（信号能量到达时间）
• 线性相位 → 群延迟为常数 → 所有频率同时到达
• 实际应用：电话通信系统中，群延迟不均匀导致语音信号模糊

2. 对数幅度与 Bode 图

2.1 对数幅度

使用 dB 单位：$20{\log }_{10}|H(j\omega )|$

• $0\text{dB}$ → 增益 = 1
• $20\text{dB}$ → 增益 = 10
• $-20\text{dB}$ → 衰减 = 0.1
• $6\text{dB}$ ≈ 增益 = 2

优势：乘法变加法 → 级联系统可直接叠加：

$$20{\log }_{10}|Y|=20{\log }_{10}|H|+20{\log }_{10}|X|$$

2.2 Bode 图

Bode 图 = $20{\log }_{10}|H(j\omega )|$ 和 $\angle H(j\omega )$ 对 ${\log }_{10}(\omega )$ 的图。

优势：

• 频率范围大时可显示更多细节
• 微分方程系统的渐近线为直线，易于手绘

3. 理想滤波器的时域特性

3.1 CT 理想低通

$$H(j\omega )=\{\begin{array}{ll}1,& |\omega |\le {\omega }_c\\ 0,& |\omega |>{\omega }_c\end{array}$$

冲激响应：

$$h(t)=\frac{\sin {\omega }_{c}t}{\pi t}$$

3.2 DT 理想低通

$$H(e^{j\omega })=\{\begin{array}{ll}1,& |\omega |\le {\omega }_c\\ 0,& {\omega }_c<|\omega |\le \pi \end{array}$$

冲激响应：

$$h[n]=\frac{\sin {\omega }_{c}n}{\pi n}$$

3.3 时域问题

特性	说明
非因果	$h(t)$ 在 $t<0$ 有值 → 不可实时实现
Ringing	阶跃响应在跳变点附近振荡
过冲	阶跃响应超过终值
上升时间 $t_r$	与带宽 ${\omega }_c$ 成反比：带宽越宽 → 响应越快

加线性相位 $\angle H=-\alpha \omega$：$h(t)$ 整体右移 $\alpha$，不改变波形。

4. 非理想滤波器规格

实际滤波器允许通带/阻带偏差，并引入过渡带：

参数	含义
${\delta }_1$	通带波纹（偏离 1 的允许偏差）
${\delta }_2$	阻带波纹（偏离 0 的允许偏差）
${\omega }_p$	通带边缘频率
${\omega }_s$	阻带边缘频率
过渡带	${\omega }_p$ 到 ${\omega }_s$ 之间的频段

阶跃响应参数：上升时间 $t_r$、过冲量 $\Delta$、振铃频率 ${\omega }_r$、建立时间 $t_s$。

Butterworth vs 椭圆滤波器（同阶同截止频率）：

• Butterworth：过渡带较宽，阶跃响应 ringing 较小，建立时间短
• 椭圆：过渡带更窄（频率选择性更好），但 ringing 更严重，建立时间长

5. 一阶 CT 系统

微分方程：

$$\tau \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$$

频率响应与冲激/阶跃响应：

$$H(j\omega )=\frac{1}{j\omega \tau +1},h(t)=\frac{1}{\tau }{e}^{-t/\tau }u(t),s(t)=[1-e^{-t/\tau }]u(t)$$

• $\tau$ = 时间常数：控制响应速率
• $t=\tau$ 时冲激响应衰减至 $1/e$，阶跃响应达到终值的 $(1-1/e)$

Bode 图渐近线

$$20{\log }_{10}|H(j\omega )|\approx \{\begin{array}{ll}0\text{dB},& \omega \ll 1/\tau \\ -20{\log }_{10}(\omega \tau ),& \omega \gg 1/\tau \end{array}$$

• 转折频率：$\omega =1/\tau$（两条渐近线交点）
• 高频衰减斜率：$-20\text{dB/decade}$
• $3\text{dB}$ 点：$\omega =1/\tau$ 处实际幅度 = $-3\text{dB}$

相位渐近线：

$$\angle H(j\omega )\approx \{\begin{array}{ll}0,& \omega \le 0.1/\tau \\ -(\pi /4)[{\log }_{10}(\omega \tau )+1],& 0.1/\tau \le \omega \le 10/\tau \\ -\pi /2,& \omega \ge 10/\tau \end{array}$$

6. 二阶 CT 系统

标准微分方程：

$$\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}+2\zeta {\omega }_n\frac{dy(t)}{dt}+{\omega }_n^{2}y(t)={\omega }_n^{2}x(t)$$

频率响应：

$$H(j\omega )=\frac{{\omega }_n^2}{(j\omega {)}^2+2\zeta {\omega }_n(j\omega )+{\omega }_n^2}$$

6.1 关键参数

参数	名称	物理意义
${\omega }_n$	无阻尼自然频率	控制系统时间/频率尺度
$\zeta$	阻尼比	控制振荡程度
$Q=\frac{1}{2\zeta }$	品质因数	谐振峰锐度

6.2 三种阻尼情况

情况	条件	冲激响应特征
欠阻尼	$0<\zeta <1$	$h(t)=\frac{{\omega }_n}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\sin ({\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}t)u(t)$，振荡衰减
临界阻尼	$\zeta =1$	$h(t)={\omega }_n^{2}t{e}^{-{\omega }_{n}t}u(t)$，最快无振荡响应
过阻尼	$\zeta >1$	两个衰减指数之差，响应迟缓

6.3 Bode 图

幅度渐近线：

$$20{\log }_{10}|H(j\omega )|\approx \{\begin{array}{ll}0\text{dB},& \omega \ll {\omega }_n\\ -40{\log }_{10}(\omega /{\omega }_n),& \omega \gg {\omega }_n\end{array}$$

• 高频衰减斜率：$-40\text{dB/decade}$（比一阶加倍）
• 转折频率：$\omega ={\omega }_n$

谐振峰值（$\zeta <\sqrt{2}/2\approx 0.707$ 时存在）：

$${\omega }_{\text{peak}}={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2},|H(j{\omega }_{\text{peak}})|=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}$$

$\zeta$ 越小 → 谐振峰越尖锐 → 频率选择性越强，但时域 ringing 越严重。

7. 有理频率响应的 Bode 图构建

任意有理 $H(j\omega )$ 可分解为常数增益 × 一阶因子 × 二阶因子之积。

Bode 图 = 各因子 Bode 图之和（dB 相加、相位相加）。

常见因子类型：

• 常数增益 $K$：$20{\log }_{10}|K|$ 水平线
• $\frac{1}{j\omega \tau +1}$（一阶极点）：$0\text{dB}$ → $-20\text{dB/dec}$
• $j\omega \tau +1$（一阶零点）：$0\text{dB}$ → $+20\text{dB/dec}$
• 二阶极点/零点：$0\text{dB}$ → $\mp 40\text{dB/dec}$

8. 一阶 DT 系统

差分方程：$y[n]-ay[n-1]=x[n]$，$|a|<1$

$$H(e^{j\omega })=\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }},h[n]=a^{n}u[n]$$ $$|H(e^{j\omega })|=\frac{1}{\sqrt{1+a^2-2a\cos \omega }}$$

• $a>0$：低通特性（衰减高频），$|a|$ 越大 → 选择性越强
• $a<0$：高通特性（放大高频），阶跃响应有 ringing

9. 二阶 DT 系统

差分方程：$y[n]-2r\cos \theta y[n-1]+r^{2}y[n-2]=x[n]$，$0<r<1$

$$H(e^{j\omega })=\frac{1}{1-2r\cos \theta e^{-j\omega }+r^2{e}^{-j2\omega }}$$

极点：$r{e}^{j\theta }$, $r{e}^{-j\theta }$

冲激响应（$\theta \ne 0,\pi$）：

$$h[n]=r^n\frac{\sin [(n+1)\theta ]}{\sin \theta }u[n]$$

• $r$ → 控制衰减速率（$r$ 越接近 1 → 衰减越慢）
• $\theta$ → 控制振荡频率
• 频率响应在 $\omega \approx \theta$ 附近有峰值，$r$ 越大峰越尖锐

10. 应用示例

10.1 汽车悬架系统（CT 二阶系统）

底盘运动方程建模为二阶低通滤波器：

$$H(j\omega )=\frac{{\omega }_n^2+2\zeta {\omega }_n(j\omega )}{(j\omega {)}^2+2\zeta {\omega }_n(j\omega )+{\omega }_n^2}$$

其中 ${\omega }_n=\sqrt{k/M}$，$\zeta =b/(2\sqrt{kM})$。

设计权衡：

• ${\omega }_n$ 小 → 滤波效果好（乘坐平滑），但响应迟缓
• ${\omega }_n$ 大 → 响应快，但高频振动传入车厢
• $\zeta =1$（临界阻尼）→ 无 ringing 的最快响应，是典型设计目标

10.2 移动平均 FIR 滤波器（DT）

$$y[n]=\frac{1}{N+M+1}\sum _{k=-N}^{M}x[n-k]$$ $$H(e^{j\omega })=\frac{1}{N+M+1}{e}^{j\omega (N-M)/2}\frac{\sin [\omega (N+M+1)/2]}{\sin (\omega /2)}$$

• 主瓣宽度 $\propto 1/(N+M+1)$：更长的冲激响应 → 更窄的通带
• 线性相位：FIR 滤波器可实现精确线性相位（IIR 做不到）
• 通过调整系数 $b_k$（如 Parks-McClellan 算法）可锐化过渡带

11. 初学者要点

1. 时频权衡是核心主题：带宽越宽 → 时间响应越快；频率选择性越好 → 时间响应越慢
2. Bode 图是工程利器：对数坐标使级联系统变为简单加法，渐近线可快速手绘
3. $\zeta$ 决定二阶系统性格：欠阻尼振荡、临界阻尼最快无超调、过阻尼迟缓
4. 群延迟 = 信号包络的延迟：非线性相位 → 频率依赖的延迟 → 波形失真
5. 理想滤波器不可实现：非因果 + ringing → 实际设计中需在频域选择性和时域特性间折中

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参见

• 连续时间傅里叶变换 — CTFT 卷积性质与频率响应
• 离散时间傅里叶变换 — DTFT 与 DT 滤波器
• 傅里叶级数与周期信号分析 — 频率成形滤波基础
• Laplace变换与z变换 — 极零点分析的推广
• 采样定理与信号重建 — 信号重建中的滤波器应用
• 滤波器类型对比与选择 — Butterworth/Chebyshev/椭圆滤波器对比