CT-ΔΣ 系统化设计定心与闭环拟合

§10.8 解决一个核心工程问题：真实 OTA 的有限带宽使积分器变为高阶系统，导致实际 NTF 严重偏离设计值。开环脉冲响应拟合（式 10.31）的系数随采样点数剧烈变化（病态），而闭环拟合（式 10.36）利用 NTF 零点对极点扰动的抵消效应，得到与采样点数几乎无关的鲁棒系数。

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前后关系

上下文：前几节分析了各个模块（积分器/OTA/ADC/DAC）的设计和非理想性。§10.8 回答：将这些”真实”模块组合成调制器后，如何恢复期望的 NTF？——这是从理想走向现实的最后一步系统化流程。

前置知识：

• CT-ΔΣ积分器实现与OTA架构 — OTA 有限带宽导致积分器寄生极点
• CT-ΔΣ调制基础与一阶CT-MOD1 — 脉冲不变变换与脉冲响应匹配
• 高阶CT-ΔΣ调制与DAC脉冲形状效应 — 矩方法系数求解
• CT-ΔΣ设计实例 — §8.9 的理想系数求解

后续内容：

• CT-ΔΣ环路滤波器非线性分析与辅助运放技术 — 非线性问题独立解决
• 16-bit音频CT-ΔΣ调制器设计实例 — 实例中使用闭环拟合

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原理介绍

问题陈述

设计流程：NTF 综合 → DT 环路滤波器 → CT 系数求解 → 动态范围缩放。以上均假设理想 OTA。

当真实 OTA 接入后（图 10.36-10.37）：

• OTA-RC 积分器有有限 $G_m$ → 寄生极点
• 二级/高级结构有内部高频极零点
• 结果：NTF 严重偏离设计值——某些极点移向单位圆（图 10.37）

直觉：积分器变”慢”了，相当于给环路增加了额外延迟，与 ELD 类似。

两个选项：

1. 设计更快 OTA → 功耗高，不经济
2. 调整系数使真实 OTA 也能恢复 NTF → 设计定心的核心思路

开环脉冲响应拟合——直观但病态（式 10.31）

以二阶 CIFF 为例（图 10.33-10.34）：环路包含直接路径 $k_0$、一阶积分路径 $k_1$、二阶积分路径 $k_2$。

方法：断开环路，用 DAC 脉冲激励连续时间环路滤波器，测出 $l_0[n],l_1[n],l_2[n]$（直接/一阶/二阶路径的采样脉冲响应），代入方程：

$$[l_0[n]l_1[n]l_2[n]]\mathbf{K}=l[n],n=0,1,\cdots ,N(10.31)$$

其中 $l[n]$ 是理想 DT 环路滤波器 $L(z)$ 的脉冲响应。

令人不安的事实（表 10.1，$N=5,15,25$）：

N	k₀	k₁	k₂
5	0.8803	0.7579	1.8707
15	0.9670	0.7000	1.9308
25	1.2136	0.5350	2.0348

系数随 $N$ 剧烈变化→ NTF 也剧烈变化（图 10.38）——该方法不可靠。

根因：真实 OTA 使积分器变为高阶系统。$l_0,l_1,l_2$ 对近单位圆极点的扰动极其敏感。理想积分器 $l_2[n]=n$（随 $n$ 线性增长），有限增益积分器 $l_2[n]\to 0$（$n$ 大时）。大 $n$ 时二者偏差大→为减小误差，$k_2$ 随 $N$ 增→$k_0,k_1$ 也被迫变化。

闭环拟合——优雅且鲁棒（§10.8.1，式 10.36）

核心思想：不再拟合开环响应 $l[n]$，而是拟合闭环 NTF。

NTF 与环路滤波器关系：

$$\text{NTF}(z)=\frac{1}{1+L(z)}=\frac{1}{1+(k_0{L}_0(z)+k_1{L}_1(z)+k_2{L}_2(z))}(10.33)$$

写为时域形式，$h[n]$ 为 NTF 脉冲响应：

$$h[n]=\delta [n]-(k_0{l}_0[n]+k_1{l}_1[n]+k_2{l}_2[n])\ast h[n]$$

定义 $h_i[n]=l_i[n]\ast h[n]$，得：

$$h[n]=\delta [n]-k_0{h}_0[n]-k_1{h}_1[n]-k_2{h}_2[n]$$

整理为：

$$[h_0[n]h_1[n]h_2[n]]\mathbf{K}=\delta [n]-h[n](10.36)$$

惊人结果（表 10.2）：

N	k₀	k₁	k₂
5	0.9023	0.7420	1.9093
15	0.9003	0.7423	1.9010
25	0.8988	0.7425	1.8951

系数随 $N$$ 变化极小→ NTF 几乎不可分辨（图 10.39）。

物理直觉（图 10.40）：

为什么 $h_i$ 对极点扰动不敏感而 $l_i$ 敏感？

理想 NTF 零点 = $z=1$（即 dc 处的阶数 = 环路滤波器阶数）。$h[n]=l[n]\ast h[n]$ 中，NTF 的零点抵消了 $L(z)$ 的极点（pole-zero cancellation）。当 OTA 非理想扰动 $L(z)$ 的极点时：

• $l_i[n]$ 剧烈变化（极点位置直接决定脉冲响应衰减/增长速率）
• $h_i[n]=l_i[n]\ast h[n]$ 几乎不变（NTF 零点仍接近 $L(z)$ 的原始极点位置，抵消效应仍然有效）

图 10.40 直观展示了这一效应：$l_2[n]$ 在理想/真实 OTA 下差异显著，但 $h_2[n]$ 几乎没有变化。

实际实现流程

1. 提取后布局寄生参数后做瞬态仿真，获取真实 $l_0[n],l_1[n],l_2[n]$
2. 与理想 NTF 脉冲响应 $h[n]$ 做卷积得 $h_i[n]$
3. 解式 (10.36) 的最小二乘解求 $\mathbf{K}$
4. 布线后的寄生可能导致系数变后积分器加载改变 → 通过 1-2 次迭代即可收敛

可以刻意使用慢 OTA 吗？

虽然设计定心可以”修复”有限 OTA 带宽的 NTF 退化，但过慢 OTA 有以下风险：

• NTF 对 OTA 带宽变化更敏感（PVT 裕量小）
• 对寄生电容更敏感（有限 $G_m$ 时虚地不再是零）
• 非线性增大（内部节点摆幅更大→非线性电流 $G_3{v}^3$ 增加）

因此 OTA 带宽是功耗与鲁棒性之间的折衷选择（§10.9 非线性分析进一步支撑此结论）。

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关键要点

1. 开环拟合的病态性源于 $l_i$ 对近单位圆极点的敏感性——真实有限增益积分器的长周期行为与理想积分器迥异
2. 闭环拟合通过 $h_i=l_i\ast h$ 的卷积操作，利用 NTF 零点对极点的抵消效应，使 $h_i$ 对极点扰动几乎不敏感——这是该方法优雅且鲁棒的根本原因
3. 闭环拟合的系数几乎与拟合点数 $N$ 无关，可以直接基于电路仿真结果（含后提取寄生）使用
4. 该方法的普遍意义：任何环路滤波器（任意阶数、任意 DAC 脉冲形状、含 ELD）均可用此框架恢复 NTF
5. 设计定心不能无限补偿 OTA 带宽不足——过慢 OTA 导致 NTF 敏感度增高、寄生敏感性增高、非线性增大——这是一个工程折衷

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参考文献

1. Pavan, S. (2014). “Systematic design centering of continuous-time oversampling converters.” IEEE Trans. Circuits Syst. I, 61(6), 1629–1637.
2. Cherry, J. A. (1998). Theory, Practice, and Fundamental Performance Limits of High Speed Data Conversion Using Continuous-Time Delta-Sigma Modulators. Ph.D. dissertation, Carleton University.

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