频域分析法与稳定性

频域分析法通过研究系统对正弦信号的稳态响应来分析性能和稳定性，是工程设计中最实用的方法。Bode 图和 Nyquist 图是两大核心工具。

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频率特性

定义

线性定常系统对正弦输入 $r(t)=A\sin (\omega t)$ 的稳态响应：

$$c(t)=A\cdot |G(j\omega )|\cdot \sin (\omega t+\angle G(j\omega ))$$

即频率响应 $G(j\omega )=|G(j\omega )|e^{j\angle G(j\omega )}$ 完全描述了系统的正弦传输特性。

三种表示形式

形式	表达	用途
极坐标（Nyquist 图）	$G(j\omega )$ 在复平面的轨迹	稳定性判据
对数坐标（Bode 图）	$20\log	G
对数幅相图（Nichols 图）	$20\log	G

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典型环节的 Bode 图

环节	幅频渐近线	相频
比例 $K$	水平线 $20\log K$	$0°$
积分 $\frac{1}{s}$	$-20$ dB/dec，过 $\omega =1$	$-90°$
微分 $s$	$+20$ dB/dec，过 $\omega =1$	$+90°$
惯性 $\frac{1}{Ts+1}$	转折 $\omega =1/T$，之后 $-20$ dB/dec	$0°\to -90°$
振荡环节	转折 $\omega ={\omega }_n$，之后 $-40$ dB/dec	$0°\to -180°$，$\zeta$ 越小峰值越大

Bode 图绘制步骤

1. 将 $G(s)$ 分解为典型环节的乘积
2. 分别画出各环节的渐近线
3. 叠加所有环节 → 总 Bode 图
4. 必要时修正转折频率附近的误差

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Nyquist 稳定判据

原理

基于复变函数的辐角原理，通过开环频率响应判断闭环稳定性。

判据表述

$$Z=P-2N$$

其中：

• $Z$ = 闭环系统在右半平面的极点数（$Z=0$ 则稳定）
• $P$ = 开环传递函数在右半平面的极点数
• $N$ = Nyquist 曲线（含关于实轴的对称部分）逆时针绕过 $(-1,j0)$ 点的圈数

开环稳定时的简化判据

若开环系统本身稳定（$P=0$），则：

Nyquist 曲线不包围 $(-1,j0)$ 点 → 闭环稳定

这就是工程中最常用的”不包围判据”。

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稳定裕度

定义

裕度	定义	公式	工程要求
增益裕度 $h$	相角为 $-180°$ 时的增益倒数	$h = \frac{1}{	G(j\omega_g)
相位裕度 $\gamma$	增益为 1 时的相角与 $-180°$ 之差	$\gamma =180°+\angle G(j{\omega }_c)$，${\omega }_c$：$	G

Bode 图上的读取

• 增益穿越频率 ${\omega }_c$（crossover）：幅频曲线穿过 $0$ dB 的频率
• 相角穿越频率 ${\omega }_g$（gain margin）：相频曲线穿过 $-180°$ 的频率
• 两频率越远，系统相对稳定性越好

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闭环频域性能指标

二阶系统频域指标

指标	公式	与阶跃响应的联系
谐振峰值	$M_r=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}$（$\zeta <0.707$）	$M_r$ 大 → $\sigma \%$ 大
谐振频率	${\omega }_r={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}$	${\omega }_r$ 大 → 响应快
带宽频率	${\omega }_b\approx {\omega }_n\sqrt{(1-2{\zeta }^2)+\sqrt{(1-2{\zeta }^2{)}^2+1}}$	${\omega }_b$ 大 → $t_s$ 小

开环 Bode 图三段论

频段	决定	设计目标
低频段 ($\omega \ll {\omega }_c$)	稳态精度（型别和增益）	高增益、足够的积分环节
中频段 ($\omega \approx {\omega }_c$)	动态性能（$\gamma$, ${\omega }_c$）	$-20$ dB/dec 穿越，$\gamma$ 足够大
高频段 ($\omega \gg {\omega }_c$)	抗噪声能力	快速衰减

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物理直觉

Bode 图的物理意义

• $|G(j\omega )|$ = 系统对频率 $\omega$ 的正弦信号的”放大倍数”
• $\angle G(j\omega )$ = 系统对频率 $\omega$ 的正弦信号引入的”相位延迟”
• Bode 图 = 系统的”频率指纹”

Nyquist 判据的直觉

• $(-1,j0)$ 点 = “不稳定临界点”
• Nyquist 曲线越远离 $(-1,j0)$，系统越”安全”
• 稳定裕度 = 到 $(-1,j0)$ 的”安全距离”

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与已有知识的关联

• 频率响应基础 → 信号与系统的时频特性（Oppenheim 视角）
• 二阶系统时域对应 → 线性系统时域分析（$\zeta$ 与 $\sigma \%$ 的关系）
• Nyquist 在 PLL 中的应用 → PLL图形化分析与稳定性判据
• Bode 图与反馈稳定性 → 反馈放大器稳定性与频率补偿

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来源：胡寿松 自动控制原理 第八版 深度解析 Ch.5