非线性系统分析

实际系统都含有非线性因素（饱和、死区、间隙、摩擦等）。非线性系统有线性系统不具备的独特现象：自激振荡、跳跃谐振、次谐波。本章介绍两种主要分析方法。

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常见非线性特性

特性	输入-输出关系	物理来源
饱和	输出有上限	放大器、阀门行程
死区	小输入时输出为零	摩擦、间隙
间隙（回环）	正反方向切换不同路径	齿轮间隙
继电器	开关特性（二值输出）	继电器、比较器
平方/立方	$y=x^2$ 或 $y=x^3$	流体力学、空气阻力

非线性系统的特有现象

• 自激振荡（极限环）：无外输入时的持续振荡
• 跳跃谐振：频率缓慢变化时振幅突变
• 次谐波：输出中出现输入频率的分数倍频率
• 频率俘获：强迫振荡频率被拉到自激振荡频率附近

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相平面法

基本思想

将二阶系统转化为状态平面 $(x_1,x_2)$ 上的几何问题：

$${\dot{x}}_1=f_1(x_1,x_2),{\dot{x}}_2=f_2(x_1,x_2)$$

相轨迹的斜率：

$$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=\frac{f_2(x_1,x_2)}{f_1(x_1,x_2)}$$

等倾线法

在 $\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=\alpha$（常数）的曲线上，相轨迹的斜率相同。画出不同 $\alpha$ 的等倾线，逐段绘制相轨迹。

奇点分类

奇点类型	特征根	相轨迹形态	稳定性
稳定焦点	共轭复根，$\text{Re}<0$	螺旋收敛	渐近稳定
不稳定焦点	共轭复根，$\text{Re}>0$	螺旋发散	不稳定
稳定节点	两个负实根	单调收敛	渐近稳定
不稳定节点	两个正实根	单调发散	不稳定
鞍点	一正一负实根	双曲线	不稳定
中心	纯虚根	闭合椭圆	临界稳定

分段线性系统的相平面

对于含饱和/死区/继电器的系统：

1. 将相平面分为若干线性区域
2. 在每个区域内绘制相轨迹
3. 在区域边界处连接（连续性条件）

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描述函数法

基本思想

用谐波线性化近似非线性环节：假设输入为正弦 $x=A\sin \omega t$，取输出基波分量与输入之比。

描述函数定义

$$N(A)=\frac{B_1+j{A}_1}{A}$$

其中 $B_1$、$A_1$ 为非线性环节输出 $y(t)$ 的基波傅里叶系数：

$$B_1=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)\sin \omega td(\omega t),A_1=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)\cos \omega td(\omega t)$$

常见非线性描述函数

非线性	$N(A)$
饱和（$k$, $S$）	$N(A)=\frac{2k}{\pi }\left[\arcsin \frac{S}{A}+\frac{S}{A}\sqrt{1-{\left(\frac{S}{A}\right)}^2}\right]$，$A>S$
死区（$k$, $\Delta$）	$N(A)=\frac{2k}{\pi }\left[\arccos \frac{\Delta }{A}-\frac{\Delta }{A}\sqrt{1-{\left(\frac{\Delta }{A}\right)}^2}\right]$，$A>\Delta$
理想继电器（$M$）	$N(A)=\frac{4M}{\pi A}$（纯实数，无相位）

自激振荡判据

将非线性环节等效为 $N(A)$，线性部分为 $G(j\omega )$，系统闭环方程：

$$1+N(A)G(j\omega )=0⟹G(j\omega )=-\frac{1}{N(A)}$$

在复平面上画 $G(j\omega )$ 曲线和 $-1/N(A)$ 曲线：

• 交点 = 可能的自激振荡点
• 稳定交点条件：沿 $A$ 增大方向，$-1/N(A)$ 从 $G(j\omega )$ 的不稳定侧穿到稳定侧
• 交点对应的 $\omega$ = 振荡频率，$A$ = 振荡幅值

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逆系统方法

基本思想

构造非线性对象的”逆”，使串联后的等效系统为线性系统，然后用线性方法设计控制器。

对 $y=f(u)$，若 $f$ 可逆，则逆系统 $u=f^{-1}(y)$。串联后：$f(f^{-1}(y))=y$，等效为恒等映射。

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物理直觉

极限环 = 非线性系统的”平衡态”

线性系统只有”收敛到零”或”发散”两种结局；非线性系统可以有稳定的周期运动——极限环。

描述函数 = “等效增益”

非线性环节的增益随输入幅值变化：$N(A)$ 是幅值 $A$ 的函数。

• 饱和：$A$ 越大 → 等效增益越小
• 死区：$A$ 越大 → 等效增益越接近 $k$

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与已有知识的关联

• 线性稳定性分析 → 线性系统时域分析、频域分析法与稳定性
• Nyquist 判据的推广 → 描述函数判据本质上是 Nyquist 判据的非线性推广
• PLL 中的非线性 → PLL锁相捕获过程（鉴相器的非线性）
• 相平面与最优控制 → 最优控制理论
• 系统校正 → 控制系统校正与设计

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来源：胡寿松 自动控制原理 第八版 深度解析 Ch.8