半导体晶体结构与晶格

半导体器件构建在具有周期性原子排列的晶体之上。理解晶体结构——包括原胞类型、晶格常数、Miller 指数、倒格子与 Brillouin 区——是分析能带结构、载流子输运和器件表面特性的基础。本文基于 Sze Physics of Semiconductor Devices 深度解析 Ch.1 §1.2 提炼。

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前后关系

前置知识：

• 固体物理基础（周期性势场、晶格振动）

本书内部链条：

• 半导体晶体结构与晶格（本文）→ 半导体能带理论与带隙 — 晶格结构决定能带 $E$-$k$ 关系
• → 半导体异质结与纳米结构 — 异质结需要晶格匹配
• → CMOS工艺与器件 — 实际工艺中的晶格与外延

外部关联：

• IC制造基础工艺 — 晶体生长、外延依赖晶格常数匹配
• CMOS工艺与器件 — 硅的金刚石晶格结构

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1. 原胞与晶体平面

1.1 常见晶格类型

晶格类型	代表材料	配位数	特征
金刚石	Si, Ge, C	4	两个穿插 FCC 格子，所有原子相同
闪锌矿	GaAs, GaP, InP	4	两个穿插 FCC 格子，子格子为不同原子（III-V 化合物）
岩盐	PbS, PbTe	6	两个穿插 FCC 格子，每个原子 6 个最近邻
纤锌矿	CdS, ZnS, GaN	4	两个穿插 HCP 格子，四面体配位

关键参数：

• 晶格常数 $a$：原胞的边长
• 四面体键合：每个原子被 4 个等距最近邻包围，位于正四面体顶角
• 闪锌矿 vs 金刚石：闪锌矿中一个 FCC 子格子为 Ga，另一个为 As；金刚石中两个子格子原子相同

1.2 Miller 指数

用 Miller 指数 $(hkl)$ 定义晶体中的平面族：

1. 求平面与三个基轴（以晶格常数为单位）的截距
2. 取截距的倒数
3. 化为最小整数比，用圆括号括起

重要约定（Table 1, Sze）：

符号	含义
$(hkl)$	单个平面或一组平行平面
$\{hkl\}$	全部等效对称平面族（如立方对称中 $\{100\}$ 包含 6 个平面）
$[hkl]$	晶体方向
$⟨hkl⟩$	全部等效方向族

解理面：

• 硅（单元素半导体）：$\{111\}$ 面最容易解理
• 砷化镓（有离子键分量）：$\{110\}$ 面解理

1.3 正格子与倒格子

正格子基矢 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 定义正格子，格点位置：

$$\mathbf{R}=m\mathbf{a}+n\mathbf{b}+p\mathbf{c}(m,n,p\text{ 为整数})$$

倒格子基矢 ${\mathbf{a}}^{\ast },{\mathbf{b}}^{\ast },{\mathbf{c}}^{\ast }$ 满足 $\mathbf{a}\cdot {\mathbf{a}}^{\ast }=2\pi$, $\mathbf{a}\cdot {\mathbf{b}}^{\ast }=0$ 等。

倒格子矢量：

$$\mathbf{G}=h{\mathbf{a}}^{\ast }+k{\mathbf{b}}^{\ast }+l{\mathbf{c}}^{\ast }$$

核心关系：$\mathbf{G}\cdot \mathbf{R}=2\pi \times \text{整数}$，即每个倒格子矢量垂直于正格子中的一组平面。

倒格子原胞体积 $V_R^{\ast }$ 与正格子原胞体积 $V_R$ 的关系：$V_R^{\ast }=(2\pi {)}^3/V_R$。

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2. Brillouin 区

2.1 第一 Brillouin 区

第一 Brillouin 区 = 倒格子中的 Wigner-Seitz 原胞。

构造方法：从倒格子中心向最近邻倒格点连线，作垂直平分面，围成的区域即为第一 Brillouin 区。

2.2 FCC 晶格的 Brillouin 区

金刚石和闪锌矿晶格的 Brillouin 区与 FCC 相同（截角八面体）：

对称点/线	位置	简并度	说明
$\Gamma$	$(0,0,0)$	1	区中心
$X$	$[100]$ 区边界	3	纵向轴
$L$	$[111]$ 区边界	4	纵向轴
$\Delta$	$\Gamma \to X$	—	$[100]$ 方向
$\Lambda$	$\Gamma \to L$	—	$[111]$ 方向
$\Sigma$	$\Gamma \to K$	—	$[110]$ 方向

物理意义：FCC 正格子（晶格常数 $a$）的倒格子是 BCC（间距 $4\pi /a$），Brillouin 区是倒格子 BCC 的 Wigner-Seitz 原胞。

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3. Si 和 GaAs 的晶体结构

参数	Si	GaAs
晶格类型	金刚石	闪锌矿
晶格常数 $a$ (300 K)	5.431 Å	5.653 Å
原子密度	$5.0\times 10^{22}$ cm${}^{-3}$	$4.42\times 10^{22}$ cm${}^{-3}$
解理面	$\{111\}$	$\{110\}$

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📚 Sze 补充

本节内容基于 Sze Physics of Semiconductor Devices 深度解析 Ch.1 §1.2，相比 CMOS工艺与器件 中的工艺视角，Sze 更侧重于晶体学的数学描述（倒格子、Brillouin 区构造），为后续能带理论分析提供几何框架。

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参考文献

• Sze Physics of Semiconductor Devices 深度解析 Ch.1 §1.2
• S. M. Sze & K. K. Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3rd Ed., Wiley, 2007, pp.8-12