PWM小信号建模

脉冲宽度调制器是反馈控制回路的重要组成部分。虽然 PWM 过程本质上是高度非线性的，但在小信号条件下可近似为线性时不变模型。恒频 PWM 调制器的增益为常数 $1/C_m$，变频 PWM 调制器则呈现频率依赖的相位超前特性。本章系统阐述恒频和变频 PWM 调制器的小信号模型及其适用频率极限。

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PWM 调制器在控制系统中的位置

$$r(t)\stackrel{\text{比较器}}{\to }\text{PWM}\stackrel{s(t)}{\to }\text{功率级}\stackrel{v_o(t)}{\to }\text{反馈}\stackrel{H(s)}{\to }\text{补偿器}\stackrel{r(t)}{\to }$$

反馈控制器 $H(s)$ 输出为参考信号 $r(t)$，经 PWM 调制器生成开关信号 $s(t)$ 驱动功率级。

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恒频 PWM 小信号模型

时域推导

设参考包含直流偏置 $R_0$（对应稳态占空比 $D$）加小信号扰动 $\hat{R}$：

$$\hat{d}=\frac{\hat{R}}{C_m}$$

不论载波形式（锯齿波、反向锯齿波、三角波），恒频 PWM 调制器增益均为：

$$K_{\text{PWM}}=\frac{1}{C_m}$$

频域验证

各频谱模型（2.10-2.15）均包含与参考同频同相的基波分量，幅值等于：

$$\frac{M}{2}=\frac{R_1}{C_m}$$

再次确认：增益与载波形式无关，等于载波幅度 $C_m$ 的倒数。

状态空间平均法

对于 CCM 模式 DC-DC 变换器，将开关函数 $s(t)$ 替换为其周平均 $d$（占空比）：

$$\frac{d}{dt}⟨x⟩=[A_0+(A_1-A_0)d]⟨x⟩+[B_0+(B_1-B_0)d]u$$

其中 $x=(i_L,v_0{)}^T$, $u=(v_{\text{in}},i_0{)}^T$。

Buck 变换器可等效为线性系统（仅开关改变输入电压连接）；Boost/Buck-Boost 的非线性乘积项需小信号线性化。

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频率有效性极限与边带干扰

边带分量落入扰动频率的条件

当满足以下条件时，边带分量会出现在扰动频率 $f_1$ 处：

$$f_1=\frac{m{f}_c}{1-n},m=1,2,\dots ,n=0,-1,-2,\dots$$

关键情况 $n=0$ 和 $n=-1$

Bessel 函数 $J_n(x)$ 在 $|n|$ 较大时的高阶项极小：

$$J_n(x)\approx \frac{x^{|n|}}{2^{|n|}|n|!}$$

因此仅 $n=0$ 和 $n=-1$ 需考虑，对应：

$$f_1=\frac{m{f}_c}{2},m=1,2,3,\dots$$

最低失效频率：$f_c/2$

当 $m=1$ 时，$f_1=f_c/2$（半开关频率）。此时 $m=1,n=-1$ 的边带分量为：

$$f=f_c-f_1=f_c-\frac{f_c}{2}=\frac{f_c}{2}=f_1$$

对单极后缘调制，该边带分量为：

$$-\frac{J_{-1}(\pi M)}{\pi }\cos [{\omega }_{1}t-{\theta }_1+{\theta }_c-2D\pi ]$$

问题：

1. 幅值是扰动的非线性函数（Bessel 函数）
2. 相位与扰动的初始相位 ${\theta }_1$ 有关——时变行为，违反 LTI 假设

结论：恒频 PWM 线性小信号模型仅在 $f<f_c/2$ 时有效。

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DCM 模式的平均建模

DCM 模式中，电感电流在每周期归零，产生第三区间（开关和二极管均关断）。需引入占空比约束（duty ratio constraint）来关联二极管导通占空比与其他变量。

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补充：恒频PWM增益统一证明与模型深层细节

以下内容为 Sun (2012) §2.3.1-§2.3.2 的补充——涵盖增益统一性证明、边带时变行为的数学分析、DCM建模细节、谐振变换器建模方法。

C1 恒频PWM调制器增益在不同载波类型下的统一证明

来自频谱模型的直接验证

对六种频谱模型（2.10-2.15）提取基波项：

调制方式	基波项	幅值
单极后缘	$\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)$	$M/2$
双极后缘	$\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)$	$M/2$
单极前缘	$\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)$	$M/2$
双极前缘	$\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)$	$M/2$
单极双边缘	$\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)$	$M/2$
双极双边缘	$\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)$	$M/2$

全部一致：基波幅值均为 $M/2=R_1/C_m$，与载波类型和调制方式无关。

几何解释

• 锯齿波（后缘）：导通区间由比较器输出高电平定义，占空比 $d=(R_0+\hat{R})/C_m$
• 反向锯齿波（前缘）：互补关系，占空比 $d=1-(C_m-R_0-\hat{R})/C_m=(R_0+\hat{R})/C_m$
• 三角波（双边缘）：对称导通占空比仍取决于 $(R_0+\hat{R})/C_m$

无论载波形状如何，占空比-参考的小信号线性化结果均为 $\hat{d}=\hat{R}/C_m$。

引申结论

• 恒频PWM调制器是一个无记忆的线性增益模块（在小信号范围内）
• 增益 $1/C_m$ 与开关频率 $f_c$、占空比 $D$ 均无关
• 这使得电压模式控制的频率补偿设计非常直观

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C4 边带干扰的时变行为——详细数学证明

问题重述

当扰动频率 $f_1=f_c/2$ 时，$m=1,n=-1$ 的边带分量与扰动信号同频。关键问题是：该边带分量的相位是否跟随扰动信号的相位？

单极后缘调制在 $f_1=f_c/2$ 时的边带分量

$$b_{\text{pwm}}(t){|}_{m=1,n=-1}=-\frac{J_{-1}(\pi M)}{\pi }\cos [{\omega }_{1}t-{\theta }_1+{\theta }_c-2D\pi ]$$

其中 ${\theta }_1$ 是扰动 $r(t)$ 的初始相位，${\theta }_c$ 是载波的初始相位。

相位关系分析

将边带分量写为通式：

$$v_{\text{sb}}(t)=A(M)\cos ({\omega }_{1}t+{\varphi }_{\text{sb}})$$

其中：

$$A(M)=\left|\frac{J_{-1}(\pi M)}{\pi }\right|,{\varphi }_{\text{sb}}=-{\theta }_1+{\theta }_c-2D\pi$$

扰动信号为：$\hat{r}(t)=R_1\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)$。

时变性的根源：${\varphi }_{\text{sb}}$ 中包含了 $-{\theta }_1$ 项。当扰动信号的相位 ${\theta }_1$ 变化时，边带分量的相位反向跟随（$-{\theta }_1$ 关系），而非保持与扰动固定的相移关系。

LTI假设的违反

线性时不变系统的基本要求：输出相位与输入相位之差应为常数（频率的函数）。但此处：

$${\varphi }_{\text{sb}}-{\theta }_1=-2{\theta }_1+{\theta }_c-2D\pi$$

输出-输入相位差依赖于 ${\theta }_1$ 本身，因此不满足LTI条件。

频域等效解释

在 $f=f_c/2$ 处，$n=-1$ 边带等价于将 $f_c$ 处的调制过程折叠回到基带。由于非线性调制中的边带分量携带了载波的相位信息，当它折叠回基带时，扰动的相位信息发生了混叠。这类似于采样系统中的混叠效应——频谱折叠破坏了相位的线性传递特性。

实际影响

1. 控制环设计边界：$f_c/2$ 是电压模式控制的绝对极限频率
2. 保守设计准则：工程实践通常将环路带宽限制在 $f_c/5$ 到 $f_c/3$
3. 多环系统：电流内环的带宽可高于 $f_c/2$，因为其工作原理不同（见峰值电流控制原理与建模）

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C5 DCM模式的详细平均建模

DCM的三个子区间

DCM模式下，每个开关周期分为三个区间：

区间	导通器件	电感电流行为	持续时间
区间1	开关导通	线性上升	$d{T}_s$
区间2	二极管导通	线性下降	$d_2{T}_s$
区间3	均关断	保持为零	$(1-d-d_2)T_s$

占空比约束（Duty Ratio Constraint）

对于Boost变换器的DCM模式：

$$v_{\text{in}}d{T}_s=(v_o-v_{\text{in}})d_2{T}_s⟹d_2=d\frac{v_{\text{in}}}{v_o-v_{\text{in}}}$$

根据电感电流平均值公式：

$$⟨i_L⟩=\frac{1}{T_s}\cdot \frac{1}{2}\cdot (d{T}_s)\cdot \left(\frac{v_{\text{in}}}{L}d{T}_s\right)=\frac{v_{\text{in}}{d}^2{T}_s}{2L}$$

联立消去 $d_2$ 得DCM占空比约束：

$$d=\sqrt{\frac{2L⟨i_L⟩}{v_{\text{in}}{T}_s}}$$

DCM平均模型的小信号线性化

对上述约束在稳态点 $(D,I_L,V_{\text{in}})$ 附近线性化：

$$\hat{d}=\frac{\partial d}{\partial ⟨i_L⟩}{\hat{i}}_L+\frac{\partial d}{\partial v_{\text{in}}}{\hat{v}}_{\text{in}}=\frac{LD}{V_{\text{in}}{T}_s{I}_L}{\hat{i}}_L-\frac{D}{2V_{\text{in}}}{\hat{v}}_{\text{in}}$$

这揭示了DCM的两个关键特性：

1. 占空比与电感电流耦合：$\hat{d}$ 依赖于 ${\hat{i}}_L$（CCM中无此直接耦合）
2. 输入电压前馈项：${\hat{v}}_{\text{in}}$ 自然出现在占空比约束中

CCM vs DCM小信号模型对比

特性	CCM	DCM
状态变量阶数	2阶（$i_L,v_o$）	可降为1阶（$v_o$为主）
占空比约束	无（$d$ 独立控制）	有（$d$ 与 $⟨i_L⟩$ 相关）
控制-输出传递函数	二阶系统（LC谐振）	一阶系统（单极点）
右半平面零点	Boost/Buck-Boost有	通常无（电感电流非连续）
环路补偿	较复杂（双极点+ESR零点+RHP零点）	较简单（单极点）

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C6 边带干扰的物理意义与设计准则

边带干扰的本质

PWM调制器的边带分量源自载波与参考的乘法性相互作用。在频域中，PWM过程可视为：

$$B_{\text{pwm}}(f)=\underset{\text{基波}}{\underbrace{R(f)}}+\underset{\text{载波谐波}}{\underbrace{\sum _{m\ne 0}{C}_m(f)}}+\underset{\text{边带}}{\underbrace{\sum _{m,n\ne 0}R(f)\star C_m(f)}}$$

其中 $\star$ 表示频谱卷积。边带本质上是参考频谱在载波谐波周围的复制和缩放。

载波频率选择的指导原则

设计约束	推荐准则	物理原因
环路带宽 $f_{\text{BW}}$	$f_{\text{BW}}<f_c/3$ 至 $f_c/5$	避免边带干扰破坏线性模型
输入/输出纹波	$f_c$ 越高纹波越小	滤波器衰减与频率成正比
开关损耗	$f_c$ 越低损耗越小	开关损耗 $\propto f_c$
EMI合规	$f_c$ 避开敏感频段	载波谐波和边带须通过EMI测试
音频应用	$f_c>20\text{kHz}$	避免可听频带内的谐波分量
数字实现	$f_c<f_{\text{DSP}}/10$	数字PWM分辨率限制

边带干扰的工程缓解措施

1. 提高开关频率：使 $f_c$ 远离感兴趣的频带（最常见策略）
2. 多电平/交错技术：利用谐波对消降低边带幅值（见交错PWM与谐波抵消技术）
3. 变频调制：边带能量分散，峰值幅值降低（见变频PWM调制技术）
4. 滤波器设计：在边带频率处设置足够的衰减（输出LC滤波器 + 额外的后置滤波器）
5. 扩频调制（SSC）：周期性调制开关频率，将边带能量展宽

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C7 谐振变换器平均模型的奇异摄动法

问题的多时间尺度特性

谐振变换器包含三个不同的时间尺度：

时间尺度	典型频率	变量
最快	$f_{\text{res}}$（谐振频率）	谐振电感电流 $i_{\text{res}}$、谐振电容电压 $v_{\text{Cr}}$
中等	$f_c$（开关频率）	开关函数 $s(t)$
最慢	$f_{\text{BW}}$（环路带宽）	输出电压 $v_o$

奇异摄动法的基本思路

将系统状态变量分为快变量和慢变量：

$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_{\text{fast}}& =\frac{1}{ϵ}{f}_{\text{fast}}(x_{\text{fast}},x_{\text{slow}},u)\\ {\dot{x}}_{\text{slow}}& =f_{\text{slow}}(x_{\text{fast}},x_{\text{slow}},u)\end{array}$$

其中 $ϵ\ll 1$ 表征时间尺度分离的程度。

降阶步骤

1. 快变量求解：令 $ϵ\to 0$，求解准稳态方程 $f_{\text{fast}}(x_{\text{fast}},x_{\text{slow}},u)=0$，得到 $x_{\text{fast}}^{\ast }=\phi (x_{\text{slow}},u)$

2. 慢变量替换：将 $x_{\text{fast}}^{\ast }$ 代入慢变量方程：

$${\dot{x}}_{\text{slow}}=f_{\text{slow}}(\phi (x_{\text{slow}},u),x_{\text{slow}},u)$$

3. 边界层修正：分析快变量偏离准稳态的瞬态—给出 $ϵ$ 阶的修正项

对LLC谐振变换器的应用

对于LLC谐振变换器：

• 快变量：谐振槽电流 $i_{\text{res}}$ 和谐振电容电压 $v_{\text{Cr}}$（时间常数 $\sim 1/{\omega }_{\text{res}}$）
• 慢变量：输出电压 $v_o$ 和滤波电感电流 $i_{\text{Lf}}$（时间常数 $\sim RC$）
• 小参数：$ϵ={\omega }_{\text{BW}}/{\omega }_{\text{res}}\ll 1$

降阶后的平均模型：

$$\frac{d⟨v_o⟩}{dt}=\frac{1}{C_o}\left(\frac{⟨i_{\text{res}}{⟩}_{\text{env}}}{n}-\frac{⟨v_o⟩}{R}\right)$$

其中 $⟨i_{\text{res}}{⟩}_{\text{env}}$ 是谐振电流的包络（由 $f_{\text{sw}}$ 和 $v_{\text{in}}$ 决定），可通过扩展描述函数法（Extended Describing Function, EDF）进一步建模。

推广：扩展描述函数法（EDF）

EDF是目前谐振变换器建模的主流方法，其核心步骤：

1. 将非线性开关函数展开为基波和主要谐波的正弦/余弦分量
2. 推导各分量的幅值微分方程（谐波平衡）
3. 对幅值方程线性化得到小信号传递函数

EDF可视为奇异摄动法的频域版本，特别适用于网络谐振频率与开关频率接近或相等的情况。

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谐振变换器的建模注意事项

谐振变换器引入额外的谐振时间常数，需奇异摄动理论（Singular Perturbation）和时间尺度分离（Time-Scale Separation）技术来发展平均模型。详细内容参见上节 C7。

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补充二：DCM完整传递函数与综合设计实例

以下内容为 Sun (2012) §2.3.1-2.3.2 的进一步补充——涵盖 DCM 模式的完整小信号传递函数表达式以及 PWM 调制器选择到补偿器设计的全链条实例。

G9 DCM模式的完整小信号传递函数

控制-输出传递函数 ${\hat{v}}_o/\hat{d}$

在 DCM 模式下，电感电流在每个周期归零，功率级降为一阶系统。对于 Boost 变换器 DCM：

$$\frac{{\hat{v}}_o(s)}{\hat{d}(s)}=G_{d0}\cdot \frac{1-\frac{s}{{\omega }_{z,\text{DCM}}}}{1+\frac{s}{{\omega }_{p,\text{DCM}}}}$$

其中各参数：

参数	表达式	物理含义
DC 增益 $G_{d0}$	$\frac{2V_o}{D}\cdot \frac{1-M}{2M-1}$，$M=V_o/V_{\text{in}}$	取决于输入输出电压比
极点 ${\omega }_{p,\text{DCM}}$	$\frac{2}{R_L{C}_o}$	DCM 下单极点为主（无 LC 谐振）
RHP 零点 ${\omega }_{z,\text{DCM}}$	$\frac{R_L(2M-1)}{2L}$	通常频率较高，影响小于 CCM

音频敏感度 ${\hat{v}}_o/{\hat{v}}_{\text{in}}$

$$\frac{{\hat{v}}_o(s)}{{\hat{v}}_{\text{in}}(s)}=\frac{M}{2-M}\cdot \frac{1}{1+\frac{s}{{\omega }_{p,\text{DCM}}}}$$

CCM vs DCM 传函对比

特性	CCM	DCM
系统阶数	2 阶（LC 谐振）	1 阶（单极点）
极点频率	${\omega }_0=(1-D)/\sqrt{LC}$	${\omega }_{p,\text{DCM}}=2/(R_L{C}_o)$
RHP 零点	Boost/Buck-Boost 有	存在但频率高
低频增益	高（$\propto 1/(1-D{)}^2$）	中等（与 $M$ 相关）
补偿难度	较复杂（双极点+可能 RHPZ）	简单（单极点，PI 即可）

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G15 PWM调制器选择→小信号建模→补偿器设计 完整链路实例

设计规格

设计一个 Buck 变换器电压模式控制环路：

• 输入 $V_{\text{in}}=12$V，输出 $V_o=3.3$V
• 开关频率 $f_c=200$kHz，载波幅度 $C_m=2$V
• $L=10\mu$H，$C_o=100\mu$F，$R_L=1\Omega$（满载）
• 目标交越频率 $f_{\text{BW}}=20$kHz（$<f_c/5$，满足恒频 PWM 频率极限）

第1步：PWM调制器选择

选择恒频后缘调制（锯齿波载波），理由：

• DC-DC 变换器中最常用
• 调制器增益 $K_{\text{PWM}}=1/C_m=0.5$（V${}^{-1}$）
• 无频率依赖性（简化补偿设计）

稳态占空比：$D=V_o/V_{\text{in}}=3.3/12=0.275$

第2步：功率级小信号建模

Buck 变换器 CCM 功率级传递函数：

$$G_{vd}(s)=V_{\text{in}}\cdot \frac{1+\frac{s}{{\omega }_{z,\text{ESR}}}}{1+\frac{s}{Q{\omega }_0}+{\left(\frac{s}{{\omega }_0}\right)}^2}$$

其中：

• ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}=1/\sqrt{10\mu \cdot 100\mu }=3.16\times 10^4$ rad/s（$f_0=5.03$kHz）
• $Q=R_L\sqrt{C/L}=1\times \sqrt{100\mu /10\mu }=3.16$（欠阻尼，尖峰 ~10dB）
• ${\omega }_{z,\text{ESR}}=1/(R_{\text{ESR}}{C}_o)$（假设 ESR = 5m$\Omega$，$f_z=318$kHz，远高于交越频率，可忽略）

第3步：调制器与功率级级联

$$G(s)=K_{\text{PWM}}\cdot G_{vd}(s)=0.5\cdot 12\cdot \frac{1}{1+\frac{s}{3.16Q{\omega }_0}+\frac{s^2}{{\omega }_0^2}}=6\cdot \frac{1}{1+\frac{s}{10^5}+\frac{s^2}{10^9}}$$

第4步：补偿器设计

采用 Type III 补偿器（双零点 + 双极点反馈），以克服 LC 双极点谐振：

$$H(s)=\frac{K_c}{s}\cdot \frac{(1+s/{\omega }_{z1})(1+s/{\omega }_{z2})}{(1+s/{\omega }_{p1})(1+s/{\omega }_{p2})}$$

补偿策略：

1. 双零点 $f_{z1}=f_{z2}=f_0/1.5=3.35$kHz → 抵消 LC 谐振的双极点
2. 第一极点 $f_{p1}=f_{z,\text{ESR}}=318$kHz（若 ESR 零点在带内）
3. 第二极点 $f_{p2}=f_c/2=100$kHz（在边带干扰频率处提供额外衰减）
4. 增益 $K_c$ 调节使 $f_{\text{BW}}=20$kHz 处 $|T(j2\pi f_{\text{BW}})|=1$

第5步：环路增益验证

$$T(s)=H(s)\cdot G(s)$$

在 $f_{\text{BW}}=20$kHz 处检查：

• 相位裕度：$\text{PM}\approx 60^{\circ }$（Type III 补偿器在 $f_0$ 附近提供约 $+90^{\circ }$ 相位提升）
• 增益裕度：$\text{GM}>10$dB
• $f_{\text{BW}}/f_c=0.1<0.2$，远低于 $f_c/2$ 的极限，LTI 模型有效

设计总结

设计环节	选择/结果	依据
PWM 调制器	恒频后缘（锯齿波）	DC-DC 最常用，增益恒定
开关频率	200kHz	平衡纹波和开关损耗
调制器增益	0.5	$K_{\text{PWM}}=1/C_m$
补偿器类型	Type III	克服 LC 双极点谐振
环路带宽	20kHz	$f_c/10$，满足频率极限
预期 PM/GM	$60^{\circ }$/12dB	标准鲁棒设计

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补充：小信号模型频率极限 $f_c/2$ 的深层论证与章节桥梁

以下内容为 Sun (2012) §2.3.1 的补充——涵盖边带谐波污染扰动信号导致 $f_c/2$ 频率极限的完整数学推导，以及状态空间平均法与峰值电流控制 KBM 纹波重建之间的概念性连接。

D.1 $f_c/2$ 极限的数学根源

边带谐波污染扰动信号

当参考信号包含小信号扰动 $r(t)=R_0+R_1\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)$ 时，PWM 波形不仅包含基波分量 $\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)$，还包含载波及其边带谐波。边带谐波的通用频率为：

$$f=m{f}_c+n{f}_1,m=1,2,\dots ,n=\pm 1,\pm 2,\dots$$

核心问题：当某一边带分量出现在与扰动相同频率 $f_1$ 处时，该边带与调制器的基波响应不可区分地叠加，使线性分析失效。

临界条件

边带频率等于扰动频率的条件：

$$f=m{f}_c+n{f}_1=f_1⟹f_1=\frac{m{f}_c}{1-n},n=0,-1,-2,\dots$$

最低临界频率

• $n=0,m=1$：$f_1/f_c=1$，即扰动频率等于载波频率——此时 $m=1,n=0$ 的载波谐波本身与扰动同频
• $n=-1,m=1$：$f_1/f_c=1/2$，即扰动频率为载波频率的一半——这是最低临界频率

对于 $n=-1,m=1$，单极后缘调制中 $m=1,n=-1$ 的边带分量为（从公式 2.10 提取）：

$$-\frac{J_{-1}(\pi M)}{\pi }\cos [{\omega }_{1}t-{\theta }_1+{\theta }_c-2D\pi ]$$

该分量的相位依赖 ${\theta }_1$（扰动的初始相位）——这违反了 LTI 模型的基本假设。

高阶 $n$ 情况的忽略论证

一般条件 $f_1=m{f}_c/(1-n)$ 对 $|n|\ge 2$ 也成立，但 J_n(x) 的泰勒展开最低阶项：

$$J_{|n|}(x)\approx \frac{x^{|n|}}{2^{|n|}|n|!},x\to 0$$

在小信号假设 $M\ll 1$（即 $R_1\ll C_m$）下，$x=m\pi M\ll 1$，则 $J_{|n|}(x)\propto M^{|n|}$。对于 $|n|\ge 2$，$M^{|n|}$ 是高阶小量，可忽略。

因此，只有 $n=0$ 和 $n=-1$ 是实际顾虑，相应的频率极限条件为：

$$f_1=\frac{m{f}_c}{2},m=1,2,\dots$$

即扰动频率为 $f_c/2$ 的整数倍时小信号模型失效。

频率极限总结

$$\boxed{f_1<\frac{f_c}{2}}$$

这是恒频 PWM 小信号 LTI 模型的严格有效性上限。超过此频率后，调制器的响应具有时变性，线性控制设计方法不再适用。非线性控制方法（如滑模控制、无差拍控制）可用于克服这一极限。

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F.1 跨章节桥梁：状态空间平均与 KBM 纹波重建

原书的章节连接

Sun (2012) §2.3.1 在完成状态空间平均法的推导后，为下节 §2.4（峰值电流控制）埋下了伏笔：

Averaging effectively removes the switching ripple in the responses of a converter. If necessary, the ripple can be recovered from the averaged model. A method to reconstruct switching ripple from the averaged model of a PWM converter will be discussed in Sect. 2.4 in conjunction with modelling of peak-current control.

这段话搭建了从 §2.3 状态空间平均 到 §2.4 峰值电流控制 KBM 模型 之间的逻辑桥梁。

为什么纹波重建在峰值电流控制中是必要的

步骤	内容	对应原书章节
1	状态空间平均法：$\dot{x}=[A_0+(A_1-A_0)s(t)]x+[B_0+(B_1-B_0)s(t)]u$ 简化为 $\dot{⟨x⟩}=[A_0+(A_1-A_0)d]⟨x⟩+[B_0+(B_1-B_0)d]u$	§2.3.1 公式 (2.23)-(2.24)
2	平均模型丢失了开关纹波信息——$x(t)=⟨x⟩+\text{ripple}$	—
3	峰值电流控制的本质：开关关断由 $i_p-m_{c}d{T}_s=⟨i_L⟩+{\hat{i}}_L(d{T}_s)$ 决定——需要重建电感电流纹波 ${\hat{i}}_L$	§2.4.2 公式 (2.69)
4	KBM 算法将 $x(t)$ 分解为 $⟨x⟩+{\Psi }_1+{\Psi }_2+\cdots$，递推算得各阶纹波分量	§2.4.2 公式 (2.61)-(2.64)

KBM 方法在全书框架中的定位

KBM 方法精妙地桥接了两种建模范式：

1. 平均模型的优势：消除开关纹波，获得 LTI 模型用于线性控制设计
2. 纹波重建：从平均模型恢复纹波信息，用于定义峰值电流控制的占空比约束

这种”先平均、再重建”的策略避免了直接在全阶开关模型上进行非线性分析，是工程数学方法应用于电力电子建模的典范。

概念流图

全阶开关模型（含完整纹波）
        ↓ 状态空间平均
平均模型（无纹波） → 线性控制设计
        ↓ KBM 纹波重建 (Ψ₁ + Ψ₂ + …)
纹波重构 → 峰值电流控制占空比约束
        ↓ 联合平均模型 + 约束
完整平均模型（可预测次谐波不稳定）

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双向链接

来源：Sun PWM 开关电子系统 Ch2 深度解析 §2.3.1-2.3.2

前置概念：

• PWM基本形式与载波类型 — PWM 基本原理
• PWM频谱建模与双重傅里叶级数 — PWM 频谱分析（边带分量来源）
• 反馈控制原理与系统组成 — 反馈控制系统基础
• 反馈放大器稳定性与频率补偿 — 稳定性分析

后续概念：

• 交错PWM与谐波抵消技术 — 交错 PWM
• 峰值电流控制原理与建模 — 电流模式控制
• 变频PWM调制技术 — 变频 PWM 建模
• Class-D反馈与补偿 — Class-D 反馈环设计
• 多电平DCDC变换器闭环控制 — 多电平变换器控制

相关实体：

• Jian Sun — 本章作者