峰值电流控制原理与建模

峰值电流控制（Peak-Current Control）是 DC-DC 变换器中广泛使用的一种电流模式控制方法。开关由时钟导通，当电感电流达到参考 $i_{p}$ 时关断。电感电流纹波充当等效载波信号从而无需外部载波。相比电压模式控制，它提供内置过流保护、内反馈环改变控制特性、且设计更简单。但其固有次谐波不稳定性（Subharmonic Instability）要求占空比 > 50% 时加入斜坡补偿。

工作原理

参考图 2.20，主要信号流：

时钟信号在每个开关周期开始时导通开关
电感电流 $i_{L}$ 线性上升（斜率 $m_{1}$ ）
电感电流 + 斜坡补偿 $m_{c}$ 与参考 $i_{p}$ （电压补偿器输出）比较
相等时关断开关
电感电流线性下降（斜率 $m_{2}$ ）

与电压模式控制相比： $i_{L}$ 替代了载波信号 $c (t)$ ，形成等效 PWM 过程。

占空比约束（Duty Ratio Constraint）

稳态近似模型（Hsu et al., 1979）

假设电感电流每周期回到初值：

⟨ i_{L} ⟩ = i_{p} - (m_{c} + \frac{m _{1}}{2}) d T_{s}

动态模型（Verghese et al., 1989）

不含稳态假设，提高高频精度：

⟨ i_{L} ⟩ = i_{p} - m_{c} d T_{s} + \frac{T _{s}}{2} [m_{1} d^{2} + m_{2} (1 - d)^{2}]

次谐波不稳定性分析

采样数据模型

无斜坡补偿（ $m_{c} = 0$ ）时，定义 $i_{L} [k]$ 为第 $k$ 个周期初的电感电流：

导通期间： $i_{L} [k] = d [k] m_{1} T_{s} + i_{p}$ $⟹ d [k] = \frac{i _{p} - i _{L} [ k ]}{m _{1} T _{s}}$

周期末电流：

i_{L} [k + 1] = i_{p} - [1 - d (k)] m_{2} T_{s}

代入得：

i_{L} [k + 1] = - \frac{m _{2}}{m _{1}} i_{L} [k] + (1 + \frac{m _{2}}{m _{1}}) i_{p} - m_{2} T_{s}

稳定性条件

系统稳定要求 $∣ - m_{2} / m_{1} ∣ < 1$ ，即 $m_{2} / m_{1} < 1$ 。

稳态时 $m_{1} d = m_{2} (1 - d)$ ，代入：

\frac{m _{2}}{m _{1}} = \frac{d}{1 - d} > 1 ⟹ d > 0.5

核心结论：无斜坡补偿时，占空比超过 50% 即产生次谐波不稳定性。

斜坡补偿的作用

加入补偿斜率 $m_{c}$ 后，稳定性条件变为：

\frac{m _{2}}{m _{1}} < 1 + \frac{2 m _{c}}{m _{1}}

实际设计通常选 $m_{c} = 0.5 m_{2}$ 以确保全占空比范围稳定。

KBM 纹波重构

Krylov–Bogoliubov–Mitropolsky（KBM）算法将瞬时状态分解为平均值加纹波：

x (t) = ⟨ x (t)⟩ + Ψ_{1} (t, ⟨ x (t)⟩)

一阶纹波函数 $Ψ_{1}$

步骤：

取 (2.58) 与 (2.59) 之差
计算不定积分： $γ_{1} (t, y) = \int [f (t, y, u) - g (y, u)] d t$
去除周平均： $Ψ_{1} (t, y) = γ_{1} (t, y) - \frac{1}{T _{s}} \int_{0}^{T_{s}} γ_{1} (τ, y) d τ$

电感电流一阶纹波（开关导通区间 $t \in [0, d T_{s}]$ ）

Buck 变换器：

\hat{i}_{L} (t) = \frac{v _{in}}{2 L} (d - 1) (d T_{s} - 2 t)

Boost 变换器：

\hat{i}_{L} (t) = \frac{⟨ v _{0} ⟩}{2 L} (d - 1) (d T_{s} - 2 t)

Buck-Boost 变换器：

\hat{i}_{L} (t) = \frac{v _{in} + ⟨ v _{0} ⟩}{2 L} (d - 1) (d T_{s} - 2 t)

Boost 变换器完整建模示例

状态空间平均模型

\frac{d}{d t} [⟨ i_{L} ⟩ ⟨ v_{0} ⟩] = [0 \frac{1 - d}{C} \frac{d - 1}{L} - \frac{1}{CR}] [⟨ i_{L} ⟩ ⟨ v_{0} ⟩] + [v_{in} / L 0]

基于纹波重构的占空比约束

i_{p} - m_{c} d T_{s} = ⟨ i_{L} ⟩ + \frac{d T _{s} ( 1 - d ) ⟨ v _{0} ⟩}{2 L}

小信号模型与稳定性

线性化后的系统矩阵：

A = [\frac{2}{T _{s}} \frac{1}{2 D - 1} \frac{1 - D}{C} - \frac{2 L}{RC T _{s}} \frac{1 - D}{( 2 D - 1 )} \frac{D - 1}{L} \frac{3 D - 1}{2 D - 1} \frac{1}{CR} \frac{1 - D}{2 D - 1}]

特征多项式：

det (s I - A) = s^{2} + \frac{s}{1 - 2 D} (\frac{2}{T _{s}} + \frac{1 - D}{RC}) + a_{0}

当 $D > 0.5$ 时 $s$ 项系数为负 → 至少有一正根 → 系统不稳定。该模型正确预测了次谐波不稳定性。

补充：峰值电流控制深层数学与设计细节

以下内容为 Sun (2012) §2.4 的补充——涵盖 KBM 算法完整推导、波形时序描述、数字实现考虑、斜坡补偿优化、检测延迟效应及传递函数。

E1 KBM（Krylov–Bogoliubov–Mitropolsky）算法的完整数学推导

基本原理

KBM 算法将包含非线性开关过程的动态系统分解为平均运动（慢变）加小幅度纹波（快变）：

x (t) = ⟨ x (t)⟩ + ϵ Ψ_{1} (t, ⟨ x (t)⟩) + ϵ^{2} Ψ_{2} (t, ⟨ x (t)⟩) + \dots

其中 $ϵ$ 为小参数（在开关变换器中 $ϵ = T_{s}$ ）。

一阶展开的详细推导

考虑一般形式的开关系统：

\overset{x}{˙} = f (t, x, u), f (t + T_{s}, \cdot) = f (t, \cdot)

步骤1：状态空间平均模型

定义平均系统：

\overset{y}{˙} = g (y, u), g (y, u) = \frac{1}{T _{s}} \int_{0}^{T_{s}} f (τ, y, u) d τ

对 Buck 变换器， $f (t, x, u)$ 取决于开关状态 $s (t)$ ：

\frac{d i _{L}}{d t} = \frac{s ( t ) \cdot v _{in} - v _{o}}{L}

平均后：

\frac{d ⟨ i _{L} ⟩}{d t} = \frac{d \cdot v _{in} - ⟨ v _{o} ⟩}{L}

步骤2：计算误差函数

Δ f (t, y, u) = f (t, y, u) - g (y, u)

即瞬时动态与平均动态之差。对 Buck 的 $i_{L}$ 方程：

Δ f (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{d ⟨ v _{in} ⟩ - ⟨ v _{o} ⟩}{L} - \frac{v _{in} - ⟨ v _{o} ⟩}{L} = \frac{v _{in} ( d - 1 )}{L}, \frac{d ⟨ v _{in} ⟩ - ⟨ v _{o} ⟩}{L} - \frac{- ⟨ v _{o} ⟩}{L} = \frac{d ⟨ v _{in} ⟩}{L}, s (t) = 1 s (t) = 0

步骤3：求不定积分

γ_{1} (t, y) = \int Δ f (τ, y, u) d τ

在开关导通区间 $[0, d T_{s}]$ 内取 $y = ⟨ x ⟩$ 作为慢变量：

γ_{1} (t) = \int_{0}^{t} \frac{v _{in} ( d - 1 )}{L} d τ = \frac{v _{in} ( d - 1 )}{L} t

在开关关断区间 $[d T_{s}, T_{s}]$ 内：

γ_{1} (t) = γ_{1} (d T_{s}) + \int_{d T_{s}}^{t} \frac{d ⟨ v _{in} ⟩}{L} d τ = \frac{v _{in} ( d - 1 )}{L} d T_{s} + \frac{d ⟨ v _{in} ⟩}{L} (t - d T_{s})

步骤4：去除周平均

Ψ_{1} (t, y) = γ_{1} (t, y) - \frac{1}{T _{s}} \int_{0}^{T_{s}} γ_{1} (τ, y) d τ

最终得到导通区间的一阶纹波函数：

\hat{i}_{L} (t) = \frac{v _{in}}{2 L} (d - 1) (d T_{s} - 2 t), t \in [0, d T_{s}]

这印证了电感电流纹波为分段线性三角波，峰值在 $t = d T_{s} /2$ 处。

E2 稳定与不稳定运行波形描述（Fig.2.19 & Fig.2.20）

图2.19：峰值电流控制的次谐波不稳定现象

设置：Buck 变换器， $V_{in} = 10$ V， $V_{o} = 7$ V， $L = 20 μ$ H， $f_{s} = 100$ kHz， $D = 0.7$ ，无斜坡补偿。

波形特征：

变量	行为描述
电感电流 $i_{L}$	呈低频振荡包络（约 $2 \times (1 - D) f_{s} = 60$ kHz），峰峰值 ~2A
开关信号 $s (t)$	每两周期一组：一周导通时间长（~8 $μ$ s），下一周短（~6 $μ$ s）
磁芯磁通	低频磁通摆动（flux swing）加倍 → 铁损增加、潜在饱和
输出电压 $v_{o}$	在低频包络频率处出现 ~50mV 纹波

扰动传播：

初始电流扰动 $Δ i_{L} [0] = 0.1$ A
下一周期初： $Δ i_{L} [1] = (- m_{2} / m_{1}) Δ i_{L} [0] = - 2.33 \times 0.1 = - 0.233$ A（放大）
再下一周期： $Δ i_{L} [2] = (- 2.33) \times (- 0.233) = 0.543$ A（进一步放大）
直至受到大信号约束（电感电流零或开关最小脉宽）限幅

图2.20：加入斜坡补偿后的稳定运行

设置：同上，添加 $m_{c} = 0.5 m_{2}$ 的斜坡补偿（ $m_{c} = 1.75 \times 1 0^{5}$ A/s）。

波形特征：

变量	行为描述
电感电流 $i_{L}$	每周期严格重复，无低频包络
开关信号 $s (t)$	均匀的开关序列，导通时间恒定
比较器输入	$i_{p} - (i_{L} + m_{c} t)$ 在每一周期以相同斜率趋近零
输出电压 $v_{o}$	仅有开关频率级的纹波（~20mV $_{pp}$ ）

扰动传播：

初始电流扰动 $Δ i_{L} [0] = 0.1$ A
$m_{c} = 0.5 m_{2} ⟹ ∣ α ∣ = (0.7/0.3 - 0.5) / (0.7/0.3 + 0.5) = 0.65$
$Δ i_{L} [1] = 0.65 \times 0.1 = 0.065$ A（衰减）
$Δ i_{L} [2] = 0.65 \times 0.065 = 0.042$ A
快速收敛到稳态

E3 数字峰值电流控制的特殊问题

量化效应

数字峰值电流控制以采样保持器获取 $i_{L} [k]$ ，经 ADC 量化后处理。量化效应包括：

电流参考量化： $i_{p}$ 的有限分辨率导致占空比离散化，产生极限环振荡
比较器代换：数字控制中常用预测占空比替代硬件比较器：

\hat{d} [k] = \frac{i _{p} [ k ] - i _{L} [ k ]}{m _{1} T _{s}} + \frac{m _{c}}{m _{1}}

有限字长效应使 $\hat{d} [k]$ 偏离理想值。

计算延迟

数字实现引入至少一拍的计算延迟：

周期 $k$ 初采样 $i_{L} [k]$ → 计算 $d [k]$ → 周期 $k + 1$ 才应用
此延迟增加相位滞后，等效于减小斜坡补偿斜率：

m_{c, eff} = m_{c} \cdot \frac{1}{1 + δ / T _{s}}

其中 $δ$ 为计算延迟。

预测占空比算法

为补偿相位延迟，常用预测算法：

\hat{d} [k] = \frac{i _{p} [ k ] - i _{L} [ k ] + m _{2} ( 1 - d ^ [ k - 1 ]) T _{s}}{m _{1} T _{s}} + \frac{m _{c}}{m _{1}}

但该算法对参数 $m_{1}$ 、 $m_{2}$ 敏感，参数失配可导致不稳定性。

采样时刻的选择

采样策略	优点	缺点
开关周期初采样	避免开关噪声	信息滞后一整周期
导通/关断中点采样	减少纹波影响	需精确时序控制
双采样（初和中点）	改善预测精度	增加ADC带宽需求
连续时间比较器+数字处理	保留硬件速度优势	混合信号复杂度

E4 CCM Boost/Buck-Boost 峰值电流控制的完整稳定性分析

Boost 变换器的详细传递函数

功率级小信号模型

对 Boost 功率级进行状态空间平均 + 小信号线性化：

[\overset{v}{^}_{o} \hat{i}_{L}] = [G_{v d} (s) G_{i d} (s) G_{vv} (s) G_{i v} (s)] [\hat{d} \overset{v}{^}_{in}]

其中控制-输出传递函数：

G_{v d} (s) = \frac{V _{in}}{( 1 - D ) ^{2}} \cdot \frac{1 - \frac{s L}{( 1 - D ) ^{2} R}}{1 + \frac{s}{Q ω _{0}} + ( \frac{s}{ω _{0}} ) ^{2}}

ω_{0} = \frac{1 - D}{L C}, Q = (1 - D) R \frac{C}{L}

峰值电流控制内环闭合

将占空比约束线性化：

\hat{d} = F_{m} (\hat{i}_{p} - \hat{i}_{L} - F_{v} \overset{v}{^}_{o})

其中： $F_{m} = 1/ ((m_{1} + m_{c}) T_{s})$ 为调制器增益， $F_{v}$ 为输出电压前馈因子（考虑 $m_{2}$ 对 $v_{o}$ 的依赖）。

代入功率级模型，消去 $\hat{d}$ 得控制-输出传递函数：

\frac{v ^ _{o}}{i ^ _{p}} = \frac{F _{m} G _{v d} ( s )}{1 + F _{m} ( G _{i d} ( s ) + F _{v} G _{v d} ( s ))}

Buck-Boost 变换器的关键差异

Buck-Boost 变换器的功率级传递函数在两处不同于 Boost：

增益极性：Buck-Boost 输出反相（ $V_{o} = - D V_{in} / (1 - D)$ ）， $G_{v d} (s)$ 为负增益
RHP 零点表达式： $ω_{z} = (1 - D)^{2} R / (L D)$ ，比 Boost 更接近原点（更低的 RHP 零点频率）
输入电流不连续：CCM Buck-Boost 输入电流脉动大，增加了输入 EMI 滤波器设计难度

统一稳定性判据

变换器类型	$m_{2} / m_{1}$	无补偿稳定条件	推荐 $m_{c} / m_{2}$
Buck	$D / (1 - D)$	$D < 0.5$	$0.5$ - $0.75$
Boost	$D / (1 - D)$	$D < 0.5$	$0.5$ - $0.75$
Buck-Boost	$D / (1 - D)$	$D < 0.5$	$0.5$ - $0.75$
Flyback	$D / (1 - D)$ （等效）	$D < 0.5$	$0.5$ - $0.75$

统一性：所有 CCM 变换器中，峰值电流控制的次谐波不稳定性均源于 $m_{2} / m_{1} > 1$ （即 $D > 0.5$ ），与变换器拓扑无关。

E5 斜坡补偿的详细设计

最小补偿斜率

保证全占空比 $D \in [0, D_{m a x}]$ 稳定的最小补偿斜率：

m_{c, m i n} = \frac{1}{2} (m_{2} - m_{1})_{D = D_{m a x}}

在 $D_{m a x} \to 1$ 的极限下： $m_{c, m i n} \to \infty$ （无法实现），因此实际系统中通常设置 $D_{m a x} < 0.9$ 。

优化补偿斜率

补偿斜率 $m_{c}$ 的选择需要在以下约束间权衡：

约束	$m_{c}$ 偏小	$m_{c}$ 偏大
次谐波稳定性	不稳定	稳定
电流环响应速度	快	慢
音频敏感度	低	高（退化为电压模）
过流保护精度	好	差（补偿斜坡叠加后偏移）

经验法则：

$m_{c} = 0.5 m_{2}$ ：最常用折衷，确保全占空比范围稳定
$m_{c} = m_{2}$ ：保守设计， $D = 0.5$ 时系统完全无振荡
$m_{c} = 0$ ：无补偿，仅用于 $D_{m a x} < 0.5$ 的设计

过补偿的影响

当 $m_{c} ≫ m_{2}$ 时：

电流环增益降低，响应变慢
峰值电流控制退化为电压模式控制特性
失去电流模式控制的主要优势（如输入电压前馈、简化补偿）

自适应斜坡补偿

现代控制器通过检测占空比来自适应调整 $m_{c}$ ：

m_{c} (D) = {0, k (D - 0.5) m_{1}, D \leq 0.5 D > 0.5

优点：

$D < 0.5$ 时无补偿 → 保持高电流环增益
$D > 0.5$ 时逐渐增加补偿 → 稳定裕度平滑过渡
优化了轻载和重载效率

E6 电流检测延迟对稳定性的量化影响

延迟来源

延迟来源	典型值	物理原因
电流传感器带宽	10-50ns	霍尔效应传感器/电流互感器的响应时间
比较器传播延迟	5-30ns	比较器的大信号响应时间
驱动电路延迟	10-50ns	栅极驱动器的上升/下降时间
信号调理延迟	5-20ns	RC 滤波器、运放摆率限制
总有效延迟 $τ_{d}$	30-150ns	—

延迟对占空比的等效影响

检测延迟导致关断命令延迟生效，等效于增加实际占空比：

d_{actual} = d_{ideal} + \frac{τ _{d}}{T _{s}}

其中 $τ_{d}$ 为总延迟。在稳态时：

D_{actual} - D_{ideal} = \frac{τ _{d}}{T _{s}}

稳定性的量化修正

考虑延迟的采样数据模型变为：

i_{L} [k + 1] = i_{p} - [1 - d (k)] m_{2} T_{s} + m_{1} τ_{d}

代入 $d (k) = (i_{p} - i_{L} [k]) / (m_{1} T_{s})$ ：

i_{L} [k + 1] = - \frac{m _{2}}{m _{1}} i_{L} [k] + (1 + \frac{m _{2}}{m _{1}}) i_{p} - m_{2} T_{s} + m_{1} τ_{d}

可见延迟仅引入常数偏置 $m_{1} τ_{d}$ ，不影响特征根 $- m_{2} / m_{1}$ 。

延迟的实际影响

虽然延迟不影响次谐波稳定性的特征根，但它在以下方面有负面影响：

稳态精度： $D_{actual} \neq = D_{ideal}$ 导致输出电压偏离
过流保护：延迟使峰值电流超过 $i_{p}$ ，实际过流点为 $i_{p} + m_{1} τ_{d}$
斜坡补偿等效降低：延迟使有效补偿斜率 $m_{c, eff} < m_{c}$ ：

m_{c, eff} = m_{c} \cdot \frac{T _{s} - τ _{d}}{T _{s}}

$D_{m a x}$ 受限： $τ_{d}$ 限制了最小可实现 OFF-time：$$T_{\text{OFF},\min} \approx \tau_d

#### 缓解方法 - 使用高速比较器（$<10$ns 传播延迟） - **前缘消隐**（Leading-Edge Blanking, LEB）：屏蔽导通瞬间的电流尖峰噪声（通常 50-200ns） - 数字延迟补偿：在控制算法中显式补偿 $\tau_d$ - 使用无传感器电流重构技术（如 DCR 检测 + 无源滤波） --- ### E7 峰值电流控制的传递函数 #### 控制-输出传递函数 峰值电流控制的闭环控制-输出（$\hat{v}_o/\hat{i}_p$）传递函数的一般形式：

\frac{\hat{v}_o(s)}{\hat{i}_p(s)} = \frac{R_o}{1 + \frac{s}{\omega_p}} \cdot \frac{1 - \frac{s}{\omega_z}}{1 + \frac{s}{\omega_n Q_n} + \left(\frac{s}{\omega_n}\right)^2}

其中各参数取决于变换器拓扑和 $m_c$： | 参数 | Buck | Boost | |------|------|-------| | $R_o$（DC增益） | $R_L$ | $\frac{R_L(1-D)}{2}$（近似） | | $\omega_p$（功率级极点） | $\frac{1}{R_LC_o}$ | $\frac{2}{R_LC_o(1-D)}$ | | $\omega_z$（RHP零点） | 无（或 $\infty$） | $\frac{R_L(1-D)^2}{L}$ | | $\omega_n$（采样极点频率） | $\pi f_s$ | $\pi f_s$ | | $Q_n$（采样极点品质因子） | $\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{m_c/m_2 - 0.5}$ | 同上 | **关键特征**： 1. 功率级的 LC 谐振被**消除**，降为一阶响应（$\omega_p$） 2. 采样极点对 $(\omega_n, Q_n)$ 由开关频率和斜坡补偿决定 3. 高频段出现双极点（源于采样效应），限制了可用环路带宽 #### 音频敏感度（Audio Susceptibility） 定义：$\hat{v}_o(s)/\hat{v}_{\text{in}}(s)$，衡量输入电压扰动对输出的影响。 峰值电流控制的音频敏感度：

\frac{\hat{v}o(s)}{\hat{v}{\text{in}}(s)} = \frac{v_o/v_{\text{in}}}{1 + \frac{s}{\omega_p}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{s}{\omega_n Q_n} + \left(\frac{s}{\omega_n}\right)^2}

**与电压模式相比**： - 峰值电流控制具有**固有的输入电压前馈特性**（电流内环自动补偿 $v_{\text{in}}$ 变化） - 低频音频敏感度比电压模式低 10-20dB - 过大的 $m_c$ 会削弱这一优势（退化向电压模式） #### 环路增益与补偿设计 电压外环的环路增益：

T(s) = H(s) \cdot \frac{\hat{v}_o(s)}{\hat{i}p(s)} \cdot \frac{1}{R{\text{sense}}}

其中 $H(s)$ 为电压补偿器，$R_{\text{sense}}$ 为电流检测电阻。 **补偿策略**： - 由于功率级已降为一阶，简单的 **PI 或 Type II 补偿器**即可 - 目标交越频率 $f_c$ 可达 $f_s/6$ 至 $f_s/3$（远高于电压模式的 $f_s/10$） - 需在 $\omega_n$ 处设置足够衰减以避免采样极点引起振荡 --- ## 设计指南 | 设计参数 | 影响 | |---------|------| | 斜坡补偿斜率 $m_c$ | $m_c \ge 0.5m_2$ 保证全占空比稳定 | | 最小关断时间 | 防止占空比饱和 | | 电流检测延迟 | 增大有效占空比，可能引起不稳定性 | | 补偿斜率过大 | 降低电流环响应速度，退化为电压模式 | -- ## 补充二：传递函数矩阵、z域建模与前馈联系 > 以下内容为 Sun (2012) §2.4 的进一步补充——涵盖峰值电流控制的完整 $2\times2$ 小信号传递函数矩阵、数字实现的 $z$ 域模型以及与电压模式前馈的联系。 ### G12 峰值电流控制完整 $2\times2$ 小信号传递函数矩阵 #### 功率级 $2\times2$ 模型 对 Boost 变换器进行状态空间平均 + 小信号线性化，功率级传递函数矩阵为：

\begin{bmatrix} \hat{v}o \ \hat{i}L \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G{vd}(s) & G{vv}(s) \ G_{id}(s) & G_{iv}(s) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{d} \ \hat{v}_{\text{in}} \end{bmatrix}

其中各传递函数的表达式： | 传递函数 | 表达式 | 物理含义 | |---------|--------|--------| | $G_{vd}(s)$ | $\dfrac{V_{\text{in}}}{(1-D)^2} \cdot \dfrac{1 - \dfrac{sL}{(1-D)^2R}}{1 + \dfrac{s}{Q\omega_0} + \left(\dfrac{s}{\omega_0}\right)^2}$ | 占空比→输出电压 | | $G_{vv}(s)$ | $\dfrac{1}{1-D} \cdot \dfrac{1}{1 + \dfrac{s}{Q\omega_0} + \left(\dfrac{s}{\omega_0}\right)^2}$ | 输入电压→输出电压（音频敏感度）| | $G_{id}(s)$ | $\dfrac{V_{\text{in}}R}{(1-D)^2R - sL}$（近似）| 占空比→电感电流 | | $G_{iv}(s)$ | $\dfrac{D}{(1-D)^2R} \cdot \dfrac{1 + sRC}{1 + \dfrac{s}{Q\omega_0} + \left(\dfrac{s}{\omega_0}\right)^2}$ | 输入电压→电感电流 | 其中 $\omega_0 = (1-D)/\sqrt{LC}$，$Q = (1-D)R\sqrt{C/L}$。 #### 峰值电流控制内环闭合后的完整矩阵 将占空比约束线性化：$\hat{d} = F_m(\hat{i}_p - \hat{i}_L - F_v\hat{v}_o)$ 代入功率级矩阵，消去 $\hat{d}$ 和 $\hat{i}_L$：

\frac{\hat{v}o}{\hat{i}p} = \frac{F_m G{vd}(s)}{1 + F_m[G{id}(s) + F_v G_{vd}(s)]}

\frac{\hat{v}o}{\hat{v}{\text{in}}} = G_{vv}(s) - \frac{G_{vd}(s)[F_m G_{iv}(s) + F_m F_v G_{vv}(s)]}{1 + F_m[G_{id}(s) + F_v G_{vd}(s)]}

其中 $F_m = 1/[(m_1 + m_c)T_s]$ 为调制器增益，$F_v$ 为输出电压前馈因子（反映 $m_2$ 对 $v_o$ 的依赖）。 --- ### G13 数字峰值电流控制的 $z$ 域模型 #### 采样数据模型到 $z$ 域的转换 时域采样数据模型（无斜坡补偿）：

i_L[k+1] = -\frac{m_2}{m_1} i_L[k] + \left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)i_p - m_2 T_s

取 $z$ 变换（零初始条件）：

z I_L(z) = -\frac{m_2}{m_1} I_L(z) + \left(1+\frac{m_2}{m_1}\right) I_p(z)

得到 $z$ 域传递函数：

\frac{I_L(z)}{I_p(z)} = \frac{1 + m_2/m_1}{z + m_2/m_1}

#### 加入斜坡补偿后的 $z$ 域模型 斜坡补偿斜率 $m_c$ 使特征根位置改变：

\frac{I_L(z)}{I_p(z)} = \frac{1 + m_2/m_1}{z + \frac{m_2/m_1 - m_c/m_1}{1 + m_c/m_1}}

稳定性条件：特征根 $|z_p| < 1$，即

\left|\frac{m_2/m_1 - m_c/m_1}{1 + m_c/m_1}\right| < 1

当 $m_c = 0$ 时退化到 $|z_p| = m_2/m_1$，与 $D>0.5$ 不稳定一致。 #### 计算延迟的 $z$ 域表示 数字实现中，ADC 采样\to计算占空比\to更新 PWM 寄存器至少需要一整个周期的延迟：

D_{\text{calc}}(z) = z^{-1}

加入延迟后的闭环系统：

\frac{I_L(z)}{I_p(z)} = \frac{z^{-1}(1 + m_2/m_1)}{1 + z^{-1} \cdot \frac{m_2/m_1 - m_c/m_1}{1 + m_c/m_1}}

特征方程变为：$z + \frac{m_2/m_1 - m_c/m_1}{1 + m_c/m_1} = 0$（与无延迟相比不变——延迟仅改变零点位置，不改变特征根）。 #### 采样保持的频域建模 数字峰值电流控制中的采样保持效应在 $s$ 域为：

H_{\text{SH}}(s) = \frac{1 - e^{-sT_s}}{sT_s} \cdot e^{-sT_d}

其中 $T_d$ 为计算延迟。对于控制环设计，在 $s$ 域中可用 Pade 近似：

e^{-sT_d} \approx \frac{1 - sT_d/2}{1 + sT_d/2}

这会在采样极点对 $(\omega_n, Q_n)$ 之外引入额外的相位滞后。 --- ### G14 峰值电流控制与电压模式前馈的内在联系 #### 问题 峰值电流控制具有"固有的输入电压前馈特性"，即输入电压 $v_{\text{in}}$ 的变化会立即影响电流上升斜率 $m_1$，进而改变关断时刻。而电压模式控制需要显式的前馈路径。 #### 电压模式前馈的控制框图 电压模式控制中，前馈补偿器 $G_{\text{ff}}(s)$ 将 $\hat{v}_{\text{in}}$ 引入 $\hat{d}$ 的路径：

\hat{d} = F_m\hat{r} + G_{\text{ff}}(s)\hat{v}_{\text{in}}

理想的前馈设计使 $\hat{v}_o/\hat{v}_{\text{in}} \to 0$：

G_{\text{ff,ideal}}(s) = -\frac{G_{vv}(s)}{F_m G_{vd}(s)}

#### 峰值电流控制中前馈的自然产生 峰值电流控制的占空比约束中，$m_1$ 和 $m_2$ 都依赖于 $v_{\text{in}}$ 和 $v_o$： 对于 Buck 变换器：$m_1 = (v_{\text{in}} - v_o)/L$，$m_2 = v_o/L$ 占空比约束 $i_p - m_c d T_s = \langle i_L \rangle + \frac{T_s}{2}[m_1 d^2 + m_2(1-d)^2]$ 线性化后：

\hat{d} = F_m(\hat{i}_p - \hat{i}L - F_v\hat{v}o + F{\text{in}}\hat{v}{\text{in}})

其中 $F_{\text{in}}$ 为输入电压前馈因子——在电压模式控制中需要显式添加的项，在峰值电流控制中由 $m_1$ 对 $v_{\text{in}}$ 的依赖自动产生。 #### 定量对比 | 特性 | 电压模式 + 显式前馈 | 峰值电流控制（隐式前馈）| |------|-------------------|---------------------| | 前馈路径 | 需额外电路/算法实现 | 由物理电流斜率自动产生 | | 前馈精度 | 依赖 $G_{\text{ff}}(s)$ 的匹配 | 依赖 $L$ 和 $v_{\text{in}}$ 检测精度 | | 带宽影响 | 无（前馈不影响稳定性） | 改变电流内环增益 | | 动态响应 | 快（前馈直接补偿） | 快（一个开关周期内响应）| | 对参数敏感度 | 低（前馈和反馈独立） | 中（$L$ 的容差影响 $m_1$ 精度）| | 实现复杂度 | 中（需额外前馈路径） | 低（内置特性）| #### 工程设计含义 1. **小 $m_c$ 时前馈最强**：补偿斜率 $m_c$ 增大时，电流环增益降低，隐式前馈效应减弱——过大的 $m_c$ 使峰值电流控制退化为电压模式特性 2. **自适应补偿的优势**：$D<0.5$ 时无补偿（$m_c=0$），保持强前馈特性；$D>0.5$ 时逐渐增加补偿，稳定性和前馈之间取得平衡 3. **在音频敏感度上的差异**：峰值电流控制的音频敏感度通常比电压模式低 $10$-$20$dB（见 E7），这正是隐式前馈的直接收益 --- ## 补充三：其他电流模式控制、Ridley模型、三电平稳定性与高阶KBM > 以下内容为 Sun (2012) §2.4 的最终补充——涵盖其他电流模式控制方法、Ridley 采样保持模型、三电平稳定性分析框架、高阶 KBM 纹波重建以及 EMI 滤波器工程设计考量。 ### G8 其他电流模式控制方法 峰值电流控制属于广义电流模式控制（Current-Mode Control / Current-Programmed Control）的一种。除峰值电流控制外，文献中还有以下几种主要方法： | 方法 | 原理 | 典型应用 | 关键文献 | |------|------|---------|--------| | **平均电流控制**（Average Current Control） | 电流误差经补偿器后进入 PWM 比较器，控制平均而非峰值电流 | PFC 整流器、大功率 Buck 变换器 | Dixon (1990) | | **非线性载波控制**（Nonlinear Carrier Control） | 用非线性载波（如二次型）替代线性斜坡，实现 PFC 的单周期控制 | Boost PFC 整流器 | Maksimović et al. (1996) | | **非线性平均电流控制**（Nonlinear Average Current Control） | 利用部分电流测量构建开关周期平均电流的非线性关系 | 整流器 PFC | Sun & Chen (2008) | | **电荷控制**（Charge Control） | 控制开关导通期间注入电感的电荷总量而非峰值电流 | 高频 DC-DC | Tang et al. | | **谷值电流控制**（Valley Current Control） | 固定关断时间，谷值电流与参考比较后决定导通时刻 | VRM 轻载高效 | — | #### 基本分类 ``` 电流模式控制 ├── 峰值电流控制（Peak Current Control） ← §2.4 重点 │ └── 次谐波不稳定 → 需斜坡补偿 ├── 谷值电流控制（Valley Current Control） │ └── 常用于变频调制，无次谐波问题 ├── 平均电流控制（Average Current Control） │ └── 高频环路增益受电流补偿器限制 ├── 非线性载波/非线性平均控制 │ └── PFC 专用，无需乘法器 └── 电荷控制（Charge Control） └── 开关周期内积分电流，抗噪性好 ``` > Sun (2012) 原文指出："These methods (average current, nonlinear carrier, nonlinear average current control) are particularly useful for rectifiers with active power factor correction (PFC)." 峰值电流控制被选入本章的原因是 "because of its direct involvement in the pulse-width modulation process." --- ### G9 Ridley 采样保持模型（1991） #### 模型背景 标准的平均模型（如 Sun 的 KBM 纹波重构方法）能正确预测次谐波不稳定性，但在高频段的精度有限。Ridley (1991) 提出了一种连续时间模型（Continuous-Time Model），通过在平均模型中增加一个**二阶采样保持传递函数**来捕捉离散采样效应：

H_e(s) = \frac{1}{\frac{s^2}{\omega_n^2} + \frac{s}{\omega_n Q_n} + 1}

其中： - $\omega_n = \pi / T_s = \pi f_s$ —— 采样极点频率（Nyquist 频率） - $Q_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{m_c/m_2 - 0.5}$ —— 采样极点品质因子 #### Ridley 模型的贡献与争议 | 方面 | 说明 | |------|------| | **贡献** | 提供了一种能在 $s$ 域连续时间框架下处理离散采样效应的简便方法，被许多商业仿真工具（如 Simplis、SIMPLIS）采用 | | **争议** | Sun (2012) 原文指出该模型 "complicates the model and has been a source of confusion"——因为其引入了额外的传递函数，而 KBM 平均模型+占空比约束已经能正确预测次谐波不稳定性 | | **适用性** | 当占空比接近 50% 或 $m_c$ 较小时，$Q_n$ 极大，采样极点对接近虚轴，对高频稳定性有显著影响 | #### 与 KBM 模型的关系 | 特征 | KBM 纹波重构模型 | Ridley 采样保持模型 | |------|---------------|-------------------| | **理论基础** | 奇异摄动 + 平均化 | 离散采样 + 连续时间近似 | | **次谐波预测** | 通过特征根 $\alpha = (m_2/m_1 - m_c/m_1)/(1 + m_c/m_1)$ 正确预测 | 通过 $Q_n$ 正负预测 | | **高频精度** | 一阶纹波在 $f > f_s/4$ 时精度有限 | 二阶传递函数修正，精度更高 | | **复杂度** | 较低（闭合形式的占空比约束） | 中等（额外传递函数） | | **参数敏感度** | 依赖 $m_1$、$m_2$ 准确性 | 同样依赖，还引入 $Q_n$ 对 $m_c$ 的高度敏感性 | #### 工程应用建议 1. **低频设计**（$f_{\text{BW}} < f_s/10$）：KBM 平均模型足够精确，无需 Ridley 修正 2. **中频设计**（$f_s/10 < f_{\text{BW}} < f_s/5$）：建议使用 Ridley 模型验证采样效应 3. **高频设计**（$f_{\text{BW}} > f_s/5$）：需使用离散 $z$ 域模型（见 G13）或混合 $s$-$z$ 模型 4. 在 $m_c$ 接近 $0.5m_2$ 时，$Q_n$ 可能非常大（$Q_n \to \infty$），此时采样极点对可能导致高频谐振峰——需在电压补偿器中设置陷波或极点 --- ### G10 三电平稳定性分析框架 Sun (2012) §2.4.3 提出了从三个逐步深入的层次来分析峰值电流控制的次谐波不稳定性： #### 第一层：调制器增益（Modulator Gain Level） 将占空比约束（2.70）线性化，得到从平均电感电流到占空比的小信号传递函数：

\frac{D(s)}{\langle I_L(s) \rangle} = \frac{1}{-[m_c + (1/2 - D)(M_1 + M_2)]T_s} \tag{2.71}

**稳定性判据**：当 $m_c = 0$ 且 $D > 0.5$ 时，分母变为正，调制器增益极性改变——电流反馈从负反馈变为正反馈，表示不稳定。 #### 第二层：电流环增益（Current Loop Gain Level） 将调制器增益与功率级电流传递函数级联，得到完整的电流内环增益：

\frac{\langle I_L(s) \rangle}{D(s)} = \frac{M_1 + M_2}{s} \tag{2.72}

I_c(s) = \frac{M_1 + M_2}{-[m_c + (1/2 - D)(M_1 + M_2)]T_s} \cdot \frac{1}{s} \tag{2.73}

**稳定性判据**：$I_c(s)$ 在 $D > 0.5$（无补偿）时具有正增益 → 闭环极点在右半平面 → 电流环不稳定。该预测与采样数据模型一致。 #### 第三层：完整变换器动态（Full Converter Dynamics） 将占空比约束代入 Boost 变换器的完整状态空间平均模型，线性化后得到系统矩阵 $\mathbf{A}$（公式 2.75）。其特徵多项式：

\det(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) = s^2 + \frac{s}{1-2D}\left(\frac{2}{T_s} + \frac{1-D}{RC}\right) + a_0 \tag{2.77}

**稳定性判据**：$D > 0.5$ 时 $s$ 项系数为负 → 至少一个特征根为正 → 系统不稳定。 #### 三层次对比总结 | 层次 | 分析对象 | 判据形式 | 保守性 | |------|---------|--------|-------| | 1. 调制器增益 | 单个线性化增益 | $F_m > 0$ 即稳定 | 最宽松 | | 2. 电流环增益 | 电流内环 $I_c(s)$ | $I_c(s)$ 无右半平面极点 | 中等 | | 3. 完整动态 | 全阶系统矩阵 $\mathbf{A}$ | $\mathbf{A}$ 特征根在左半平面 | 最严格（全面）| > **工程含义**：三个层次的一致性验证了 KBM 纹波重构方法（占空比约束 2.70）的正确性。实际设计中，由于功率级参数（$L$、$C$、$R$）与电流环参数（$m_1$、$m_2$、$m_c$）的耦合，`第三层` 可能揭示出 `第一层` 和 `第二层` 未包含的相互作用（如输出滤波器谐振与电流环的交互），因此在完成补偿设计后应进行全系统稳定性验证。 --- ### G15 KBM 高阶纹波重建 #### 高阶展开的必要性 一阶 KBM 纹波 $\Psi_1$ 是分段线性函数，对 Buck/Boost/Buck-Boost 而言已经足够精确（因为状态方程为分段线性）。但在以下情况下需考虑高阶修正： 1. **高阶拓扑**：含 $LCL$ 或 $LLC$ 谐振槽的变换器，状态方程本身包含谐振——一阶线性纹波不足以描述切换过程中的谐振行为 2. **开关频率降低**：$T_s$ 变大时，一阶纹波近似（误差 $O(T_s^2)$）的精度下降 3. **大信号瞬态**：扰动不再是小信号时，$\Psi_1$ 的线性近似在接近饱和边界时误差增大 #### KBM 高阶展开的一般形式 KBM 算法将瞬时状态变量分解为：

x(t) = \langle x(t) \rangle + \Psi_1(t, \langle x \rangle) + \Psi_2(t, \langle x \rangle) + \Psi_3(t, \langle x \rangle) + \cdots \tag{2.64}

其中 $\Psi_i$ 为第 $i$ 阶纹波估计，是 $t$ 的 $i$ 阶多项式。 #### 二阶纹波 $\Psi_2$ 的构造 $\Psi_2$ 的求解步骤（类比 $\Psi_1$ 的步骤 1-4）： 1. **更新误差函数**：将 $x = \langle x \rangle + \Psi_1$ 代入原方程，提取 $O(T_s^2)$ 项：

\frac{\partial \Psi_2}{\partial t} = f_{\Psi_1}(t, \langle x \rangle) - \langle f_{\Psi_1} \rangle

其中 $f_{\Psi_1}$ 包含 $\Psi_1$ 通过线性化对系统动态的反馈影响。 2. **求不定积分**：

\gamma_2(t, y) = \int f_{\Psi_1}(\tau, y) , d\tau

3. * * 去除周平均 * * ：

\Psi_2(t, y) = \gamma_2(t, y) - \frac{1}{T_s}\int_0^{T_s} \gamma_2(\tau, y) , d\tau

#### Buck 变换器二阶电流纹波示例 对于 Buck 变换器，二阶纹波 $\Psi_2$ 是 $t$ 的二次函数（抛物线型）： | 阶段 | $\Psi_2(t)$ 形式 | 物理含义 | |------|-----------------|--------| | 导通区间 $[0, dT_s]$ | $A_2 t^2 + B_2 t + C_2$ | 由于 $\Psi_1$ 改变开关时刻而对基础纹波的二次修正 | | 关断区间 $[dT_s, T_s]$ | $\tilde{A}_2 t^2 + \tilde{B}_2 t + \tilde{C}_2$ | 对称的二次修正 | 典型二阶纹波幅值约为一阶纹波的 $O(T_s/L)$ 倍，通常小 1-2 个数量级。 #### 收敛性 KBM 展开是**渐近级数**（Asymptotic Series），而非收敛级数：

|\Psi_i| \propto O(T_s^i), \quad i = 1, 2, 3, \dots

即： - $T_s$ 足够小时，前几项即可精确近似 - 无限增加阶数不保证收敛——存在**最优截断阶数**，超过后误差反而增大 - 实际工程中，$\Psi_1$ 已足够用于占空比约束建模，$\Psi_2$ 仅用于特殊高精度需求 #### 工程建议 | 应用场景 | 推荐阶数 | 理由 | |---------|--------|------| | 标准 DC-DC 控制环设计 | $\Psi_1$（一阶） | 误差 $<5\%$，计算简单 | | 谐振变换器建模 | $\Psi_1$ + 扩展描述函数 | 一阶 KBM 不足，需 EDF 更精确 | | 纹波数值级联系统 | $\Psi_1$ + $\Psi_2$ | 级联放大小误差 | | 学术精度对比 | 至 $\Psi_3$ | 验证 KBM 渐近性 | --- ### G7 峰值电流控制中的滤波器设计考量 > 注意：Sun (2012) §2.4 未给出专门的 EMI 滤波器数值算例，本补充基于该章的理论框架推导实用的 EMI/输出滤波器设计准则。 #### 峰值电流控制对滤波器的影响 与电压模式控制相比，峰值电流控制通过电流内环改变了功率级的输出阻抗特性，从而影响输入/输出滤波器的设计： | 特性 | 电压模式控制 | 峰值电流控制 | |------|------------|------------| | 输出阻抗（低频） | $|Z_{o,\text{VM}}| \approx R_L$ | $|Z_{o,\text{CM}}| \approx R_L / (1 + T_i)$（降低） | | LC 谐振峰 | 明显（$Q$ 可能 > 10） | 被电流环阻尼（$Q$ 显著降低） | | 输入电流纹波 | 由 $d$ 和拓扑决定 | 同左（由功率级拓扑决定） | | 滤波器设计要求 | 需阻尼 LC 谐振 | 天然阻尼，滤波器可简化 | #### 输出滤波器设计实例 **设计规格**（基于 G15 设计实例扩展）： - Buck 变换器，$V_{\text{in}} = 12$V，$V_o = 3.3$V，$f_s = 200$kHz - $L = 10\mu$H，$C_o = 100\mu$F，$R_L = 1\Omega$ - 输出纹波要求：$\Delta V_o < 10$mV$_{\text{pp}}$ **电压模式下的纹波计算**： 电感电流纹波：$\Delta I_L = \frac{V_{\text{in}} - V_o}{L} \cdot \frac{V_o}{V_{\text{in}} f_s} = \frac{8.7 \times 0.275}{10\mu \times 200\text{k}} = 1.19$A$_{\text{pp}}$ 输出纹波主要由 ESR 决定：$\Delta V_o \approx \Delta I_L \cdot R_{\text{ESR}}$ - 若 $R_{\text{ESR}} = 5\text{m}\Omega$：$\Delta V_o = 1.19 \times 0.005 = 5.95$mV（满足） - 若 $R_{\text{ESR}} = 20\text{m}\Omega$（低成本电容）：$\Delta V_o = 23.8$mV（超标） **峰值电流控制下的纹波**： - 电流内环每周期调整占空比，输出纹波主要取决于电流内环的跟踪误差 - 有效纹波幅值约为电压模式的 $50\%$-$70\%$ - 在相同 $R_{\text{ESR}} = 20\text{m}\Omega$ 时：$\Delta V_o \approx 0.6 \times 23.8 = 14.3$mV（指标趋近，可考虑混合电容） #### EMI 输入滤波器设计考量 | 设计步骤 | 电压模式 | 峰值电流控制 | |---------|--------|------------| | 1. 确定转折频率 $f_c$ | $f_c < f_s/10$（保守） | $f_c < f_s/5$（较宽松） | | 2. 选择衰减量 @$f_s$ | $-40$dB（二阶滤波器） | $-40$dB（相同） | | 3. 计算 $LC$ 乘积 | $LC = 1/(2\pi f_c)^2$ | 同左（$f_c$ 更高时 $LC$ 更小）| | 4. 检查阻抗交互 | 需 $Z_{\text{in,filter}} \ll Z_{\text{in,conv}}$ 以保稳定 | 峰值电流控制输入阻抗更低，交互风险更小 | | 5. 阻尼网络 | 通常需 RC 阻尼（降低 Q） | 通常不需要（电流内环已提供阻尼）| #### 数值对比：EMI 滤波器体积 假设 $f_s = 100$kHz，CISPR 22 Class B 在 150kHz 处限值 $46$dB$\mu$V。需 $-60$dB 衰减 @150kHz： - **电压模式**：$f_c = 10$kHz → $LC = 1/(2\pi \cdot 10\text{k})^2 = 2.53 \times 10^{-10}$ - $L = 1$mH，$C = 0.253\mu$F（典型体积 $\sim 5$cm$^3$） - **峰值电流控制**：$f_c = 20$kHz（电流环允许更宽带宽）→ $LC = 1/(2\pi \cdot 20\text{k})^2 = 6.33 \times 10^{-11}$ - $L = 0.5$mH，$C = 0.127\mu$F（体积 $\sim 2.5$cm$^3$） - **体积减小约 50\%** > **重要提醒**：峰值电流控制的 EMI 滤波器设计仍需考虑：(1) 电流检测电路的共模噪声耦合；(2) 斜坡补偿电路引入的额外噪声路径；(3) 次谐波振荡时的纹波放大可能使滤波器设计更保守。 --- ### I.1 特征方程闭合形式的稳定性分析 补充三中已建立三电平稳定性分析框架（Level 1: 调制器增益 → Level 2: 电流环增益 → Level 3: 完整动态）。下面给出 Level 3 的闭合特征方程推导，将三个层级统一为连续的解析链条。 #### Boost 变换器的小信号线化模型 由 Boost 平均模型 (2.68) 和 KBM 占空比约束 (2.70) 联合线化得到的状态矩阵 $\mathbf{A}$（当 $m_c=0$，即无斜坡补偿时）：

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \dfrac{2}{T_s}\dfrac{1}{2D-1} & \dfrac{D-1}{L} \[1em] \dfrac{3D-1}{2D-1}\dfrac{1-D}{C} & -\dfrac{2L}{RCT_s(1-D)(2D-1)} - \dfrac{1}{CR}\dfrac{1-D}{2D-1} \end{pmatrix}

#### 特征方程的闭合形式

\det(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) = s^2 + \frac{s}{1-2D}\left(\frac{2}{T_s} + \frac{1-D}{RC}\right) + a_0

其中 $a_0$ 为与电路参数相关的常数项（由矩阵元素完全确定）。 #### $D > 0.5$ 时的稳定性判据 **核心观察**：$s$ 的系数在 $D > 0.5$ 时为负，因为分母 $1-2D < 0$。 对于二阶特征多项式 $s^2 + \alpha s + \beta = 0$，两根之和 $s_1 + s_2 = -\alpha$。当 $\alpha < 0$ 时，$s_1 + s_2 > 0$，说明至少有一个根具有正实部——系统不稳定。 这一结论与 Level 1（调制器增益变正）和 Level 2（电流环增益变正）的预测完全一致。 #### 三电平稳定性分析的统一对应 | 分析层级 | 使用的模型 | 不稳定判据 | 数学验证 | |---------|-----------|-----------|---------| | **Level 1**: 调制器增益 | (2.71) $D(s)/\langle I_L(s)\rangle = 1/\{-[m_c + (1/2 - D)(M_1+M_2)]T_s\}$ | 增益 $> 0$ | $D > 0.5$, $m_c=0$ 时分母为负 → 正增益 | | **Level 2**: 电流环增益 | (2.73) $I_c(s) = \frac{M_1+M_2}{-[m_c+(1/2-D)(M_1+M_2)]T_s} \cdot \frac{1}{s}$ | 正反馈 | 积分器 $1/s$ 不改变符号 → 同 Level 1 | | **Level 3**: 完整动态 | (2.75)-(2.77) $\det(s\mathbf{I}-\mathbf{A})$ | RHP 极点 | $D > 0.5$ 时 $s$ 系数 $\alpha < 0$ → 根之和为正 | #### 工程设计结论 1. **$D < 0.5$** 时所有三个层级均预测稳定——因此 $D=0.5$ 是峰值电流控制次谐波不稳定的**临界点** 2. **斜坡补偿** $m_c > (M_2/2)(2D-1)$ 可恢复稳定性——此条件从三层级均可独立推导 3. **特征方程闭合形式的价值**在于严格连接了物理直觉（调制器增益符号）和数学证明（特征值分析），验证了 KBM 占空比约束的正确性和完备性 --- ## 双向链接 **来源**：[[Sun PWM 开关电子系统 Ch2 深度解析]] §2.4

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峰值电流控制原理与建模

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峰值电流控制原理与建模

工作原理

占空比约束（Duty Ratio Constraint）

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次谐波不稳定性分析

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KBM 纹波重构

一阶纹波函数 Ψ1​

电感电流一阶纹波（开关导通区间 t∈[0,dTs​]）

Boost 变换器完整建模示例

状态空间平均模型

基于纹波重构的占空比约束

小信号模型与稳定性

补充：峰值电流控制深层数学与设计细节

E1 KBM（Krylov–Bogoliubov–Mitropolsky）算法的完整数学推导

基本原理

一阶展开的详细推导

步骤1：状态空间平均模型

步骤2：计算误差函数

步骤3：求不定积分

步骤4：去除周平均

E2 稳定与不稳定运行波形描述（Fig.2.19 & Fig.2.20）

图2.19：峰值电流控制的次谐波不稳定现象

图2.20：加入斜坡补偿后的稳定运行

E3 数字峰值电流控制的特殊问题

量化效应

计算延迟

预测占空比算法

采样时刻的选择

E4 CCM Boost/Buck-Boost 峰值电流控制的完整稳定性分析

Boost 变换器的详细传递函数

功率级小信号模型

峰值电流控制内环闭合

Buck-Boost 变换器的关键差异

统一稳定性判据

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优化补偿斜率

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