交错PWM与谐波抵消技术

交错（Interleaving）是多个 PWM 变换器以相同频率、不同载波相角并行运行的技术，利用谐波对消效应显著降低输入/输出纹波。对称交错以 $360^{\circ }/N$ 相移实现载波谐波完全对消；非对称交错则选择性降低特定谐波以优化 EMI 滤波器设计。

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对称交错（Symmetric Interleaving）

基本原理

$N$ 个相同变换器（并联/串联），载波相移 $2\pi /N$。以两个 Buck 变换器并联为例，各相电流纹波叠加后对消，组合电流中最低谐波频率为 $2f_c$（当 $D=0.5$ 时完全对消）。

频域分析

单相单极后缘 PWM（恒定参考时的简化形式）：

$$s_1(t)=D+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{2\sin (mD\pi )}{m\pi }\cos [m{\omega }_{c}t-mD\pi ]$$

第二相载波延迟 $\pi$（${\theta }_{c2}=-\pi$）：

$$s_2(t)=D+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{2\sin (mD\pi )}{m\pi }\cos [m{\omega }_{c}t-m(D+1)\pi ]$$

求和后：所有奇次载波谐波被消除，最低谐波频率为 $2f_c$。

双极双边缘调制的交错

双半桥并联（Fig.2.18），参考 $r(t)=R_1\cos ({\omega }_{1}t)$，载波相移 $\pi$：

两桥臂电压 $v_1(t)$ 和 $v_2(t)$ 相加后仅保留偶次载波谐波的奇次边带：

$$v_1(t)+v_2(t)=2\cdot \frac{v_{\text{dc}}}{2}\sum _{m=2,4,\dots }\sum _{n=\pm 1,\pm 3,\dots }\frac{2}{m\pi }{J}_n\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\sin \left(\frac{(m+n)\pi }{2}\right)\cos (m{\omega }_{c}t+n{\omega }_{1}t)$$

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对称交错的一般规律

$N$ 个相同变换器 + 载波相移 $2\pi /N$：

• 除 $N$ 倍载波频率外的所有谐波被消除
• 有效开关频率提升至 $N{f}_c$
• 输入/输出滤波器尺寸显著减小

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谐波缩放因子（Harmonic Scaling Factor）

定义第 $k$ 个变换器的载波初始相位为 ${\theta }_{ck}$：

$${\kappa }_m=\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{e}^{jm{\theta }_{ck}}$$

• ${\kappa }_m$ 决定第 $m$ 次载波谐波及所有其边带的缩放比例
• 组合谐波幅值 = $N{\kappa }_m\times$（单变换器谐波幅值）
• 对称交错时：${\kappa }_m=1$（$m=iN$），${\kappa }_m=0$（$m\ne iN$）

${\kappa }_m$ 的物理含义：对 $m$ 阶载波谐波的系统级对消效果。0 = 完全对消，1 = 无对消。

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非对称交错（Asymmetric Interleaving）

动机

对称交错完全消除低阶载波谐波，但无法选择性降低特定谐波。例如三个 50kHz 变换器交错后，第三次载波谐波（150kHz）恰为多数 EMI 标准的测量起始频率，滤波器尺寸由该谐波驱动。

规则非对称交错

相邻相移相等 $\Delta {\theta }_c$，但不等于 $2\pi /N$：

$${\theta }_{ck}=(k-1)\Delta {\theta }_c+{\theta }_{c1},k=1,2,\dots ,N$$

${\kappa }_m$ 随 $\Delta {\theta }_c$ 变化，可选择性地降低某些谐波。

不规则非对称交错

相移不相等，也不一定形成一个载波周期。

应用：EMI 滤波器优化

通过选择 $\Delta {\theta }_c$，可：

• 降低特定载波谐波（如上述 150kHz 处的第三次谐波）
• 分散谐波能量避免 EMI 限值超标
• 在滤波器截止频率和 EMI 合规之间取得最佳折衷

对于 $N=4$, $\Delta {\theta }_c=90^{\circ }$ 时退化为对称交错；$\Delta {\theta }_c=18^{\circ }$ 可显著降低 $m=5,9$ 次谐波（见表 2.2）。

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补充：谐波缩放因子数值表与非对称交错工程设计

以下内容为 Sun (2012) §2.3.3 的补充——涵盖 ${\kappa }_m$ 因子的解析表达式和数值表、非对称交错的完整工程设计流程、与多电平技术的深度对比。

D1 ${\kappa }_m$ 因子的解析表达式

一般定义回顾

$${\kappa }_m=\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{e}^{jm{\theta }_{ck}}$$

其中 ${\theta }_{ck}$ 是第 $k$ 个变换器的载波初始相位。对称交错时 ${\theta }_{ck}=2\pi (k-1)/N$。

$N=2$（两相交错）

$${\theta }_{c1}=0,{\theta }_{c2}=\pi ⟹{\kappa }_m=\frac{1+e^{jm\pi }}{2}=\{\begin{array}{ll}1,& m=\text{偶数}\\ 0,& m=\text{奇数}\end{array}$$

所有奇次载波谐波完全对消，偶次谐波保持。

$N=3$（三相交错）

$${\theta }_{c1}=0,{\theta }_{c2}=2\pi /3,{\theta }_{c3}=4\pi /3⟹{\kappa }_m=\frac{1+e^{j2m\pi /3}+e^{j4m\pi /3}}{3}$$

$m$	${\kappa }_m$	对消结果
1	0	一次载波谐波完全对消
2	0	二次载波谐波完全对消
3	1	三次载波谐波完全保留
4	0	四次载波谐波完全对消
5	0	五次载波谐波完全对消
6	1	六次载波谐波完全保留

规律：仅 $m=3,6,9,\dots$ 保留，其余完全对消。

$N=4$（四相交错，对称 $\Delta {\theta }_c=\pi /2$）

\kappa_m = \frac{1+e^{jm\pi/2}+e^{jm\pi}+e^{j3m\pi/2}}{4} = \begin{cases} 1, & m = 4i \;(i=0,1,2,\dots) \\ 0, & \text{其他} end{cases}

仅 $m=4,8,12,\dots$ 保留。

$N=4$ 非对称交错示例（$\Delta {\theta }_c=18^{\circ }=\pi /10$）

${\theta }_{ck}=(k-1)\pi /10$，$k=1,2,3,4$：

$${\kappa }_m=\frac{1+e^{jm\pi /10}+e^{j2m\pi /10}+e^{j3m\pi /10}}{4}$$

D1a 表2.2 完整数值对照——${\kappa }_m$ 随 $\Delta {\theta }_c$ 的变化

给定 $"N=4$，规则非对称交错：

$m$	$\Delta {\theta }_c=90^{\circ }$	$\Delta {\theta }_c=18^{\circ }$	$\Delta {\theta }_c=30^{\circ }$
1	0	0.896	0.655
2	0	0.410	0.066
3	0	0.066	0
4	1	0.902	0.906
5	0	0.025	0.349
6	0	0.590	0.736
7	0	0.341	0.337
8	1	0.739	0.906
9	0	0.397	0.074
10	0	0.670	0.606
11	0	0.757	0.650
12	1	0.590	0.034
13	0	0.397	0.628
14	0	0.739	0.498
15	0	0.341	0.250
16	1	0.590	0.906
17	0	0.025	0.224
18	0	0.902	0.525
19	0	0.066	0.109
20	1	0.410	0.606

解读：

• $\Delta {\theta }_c=90^{\circ }$：纯对称交错，仅 $m=4,8,12,16,20$ 保留
• $\Delta {\theta }_c=18^{\circ }$：$m=5,17$ 显著降低（${\kappa }_5=0.025$），适合抑制150kHz（$3\times 50$kHz）谐波
• $\Delta {\theta }_c=30^{\circ }$：$m=6,12$ 近于对消，$m=4,8,16$ 保留较多

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D2 非对称交错的工程设计流程

步骤1：确定关键频率

识别EMI标准中要求最严格的频率点。例如 $N=3$、$f_c=50$kHz，EMI测量起始频率通常为150kHz即 $3f_c$。

步骤2：建立目标函数

$$F(\Delta {\theta }_c)=\sum _{m\in \mathcal{M}}{w}_m|{\kappa }_m(\Delta {\theta }_c){|}^2$$

其中 $\mathcal{M}$ 为关注的谐波集，$w_m$ 为各谐波的权重（EMI限值余量越小，权重越大）。

步骤3：数值优化

对 $\Delta {\theta }_c\in [0,2\pi /N)$ 扫描 $F(\cdot )$，找到最小值点。由于 ${\kappa }_m$ 为 $\Delta {\theta }_c$ 的闭式函数，计算开销极低。

步骤4：权衡分析

考虑因素	对设计的影响
滤波电感电流纹波	非对称交错虽降低了目标谐波，但可能增大滤波电感电流纹波
电容RMS电流	各相纹波相位不同 → 电容总RMS电流可能需要重新评估
EMI滤波器转折频率	目标谐波降低后，可放宽滤波器转折频率 → 减小滤波器体积
控制环设计	所有相的占空比约束和动态特性相同（假设一致）

步骤5：验证

• 时域仿真验证开关波形和总谐波幅值
• 构建 ${\kappa }_m$ 频谱图，确认目标谐波确实降低
• 验证稳态和瞬态工况下交错相位的一致性

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D3 交错PWM与多电平电压纹波消除的本质区别

特性	交错PWM	多电平变换器
基本原理	多相载波相移 → 谐波对消	多电平电压合成 → 阶梯波逼近正弦
拓扑结构	$N$ 个相同变换器并联/串联	$N$ 个半桥级联/中点钳位/飞跨电容
对消频率	$m{f}_c$（$m\ne iN$）的载波谐波	无载波分量，输出频率的谐波降低
有效开关频率	提升至 $N{f}_c$（等效）	$f_{\text{app}}=f_{\text{sw}}$（无提升）
纹波消除条件	各相参数匹配	各电平电压精确均衡
控制复杂度	每相独立控制 + 交错相位	电容电压平衡/电平切换控制
滤波器要求	差分纹波对消 → 滤波器缩小	谐波含量低 → 滤波器可减小
可靠性	单相故障 = 部分容量损失	冗余在某些拓扑中先天存在

互补关系

交错PWM和多电平技术不互斥，实际系统常结合两者：

• 多相交错的三电平变换器（如电信电源中的两相交错半桥）
• 多电平逆变器 + 载波移相PWM（Phase-Shifted PWM, PSPWM）
• 多电平变换器的载波移相调制本质上就是交错思想在多电平中的推广

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D4 半桥并联交错的结构详解（Fig.2.18）

电路结构

图2.18展示了两个半桥并联构成全桥等效的结构：

• 半桥1：$S_1$（上管）、$S_2$（下管），输出 $v_1(t)$
• 半桥2：$S_3$（上管）、$S_4$（下管），输出 $v_2(t)$
• 两桥共享输入 $V_{\text{dc}}$ 和输出滤波器 $L_1=L_2=L_o$
• 合成电压 $v_{\text{out}}(t)=[v_1(t)+v_2(t)]/2$

调制方式

• 两桥均采用双极双边缘调制
• 参考信号相同：$r(t)=R_1\cos ({\omega }_{1}t)$
• 载波相移 $\pi$（180°）

各桥臂电压频谱

$$v_1(t)=\frac{M}{2}{V}_{\text{dc}}\cos ({\omega }_{1}t)+\frac{2V_{\text{dc}}}{\pi }\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m}{J}_0\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\sin \left(\frac{m\pi }{2}\right)\cos (m{\omega }_{c}t)+\frac{2V_{\text{dc}}}{\pi }\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{1}{m}{J}_n\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\sin \left(\frac{(m+n)\pi }{2}\right)\cos (m{\omega }_{c}t+n{\omega }_{1}t)$$

$v_2(t)$ 表达式相同，但载波相位偏移 $\pi$（即 ${\omega }_{c}t\to {\omega }_{c}t+\pi$）。

合成电压 $v_{\text{out}}$ 的谐波对消

$m$ 奇偶	$\cos (m({\omega }_{c}t+\pi ))=$	对消结果
$m$ 为奇数	$\cos (m{\omega }_{c}t+m\pi )=-\cos (m{\omega }_{c}t)$	$v_1+v_2$ 中奇次载波谐波对消
$m$ 为偶数	$\cos (m{\omega }_{c}t+m\pi )=\cos (m{\omega }_{c}t)$	偶次载波谐波保留

最终合成电压：

$$v_{\text{out}}(t)=\frac{M}{2}{V}_{\text{dc}}\cos ({\omega }_{1}t)+\frac{2V_{\text{dc}}}{\pi }\sum _{\begin{array}{c}m=2\\ m\text{偶}\end{array}}^{\infty }\frac{1}{m}{J}_0\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\sin \left(\frac{m\pi }{2}\right)\cos \left(m{\omega }_{c}t\right)+\frac{2V_{\text{dc}}}{\pi }\sum _{\begin{array}{c}m=2\\ m\text{偶}\end{array}}^{\infty }\sum _{\begin{array}{c}n=\pm 1\\ m+n\text{偶}\end{array}}^{\pm \infty }\frac{1}{m}{J}_n\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\sin \left(\frac{(m+n)\pi }{2}\right)\cos \left(m{\omega }_{c}t+n{\omega }_{1}t\right)$$

效果：最低载波谐波从 $f_c$ 提升到 $2f_c$，输出滤波器尺寸减半。

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D5 交错系统的参数不匹配效应

问题描述

以上分析假设所有相完全相同（电感、电容、开关特性一致）。实际中各相的参数存在容差。

电感不匹配

设两相电感值 $L_1$ 和 $L_2$ 不相等（$L_1\ne L_2$），则各相电流纹波斜率不同：

$$\Delta i_{L1}=\frac{V_{\text{in}}-V_o}{L_1}D{T}_s,\Delta i_{L2}=\frac{V_{\text{in}}-V_o}{L_2}D{T}_s$$

交错后总纹波 $\Delta i_{\text{total}}$ 不完全对消：

$$\Delta i_{\text{total}}=|\Delta i_{L1}-\Delta i_{L2}|\ne 0$$

占空比不匹配

各相开关导通压降、延迟时间不同导致各相实际占空比略有差异，产生：

1. 相间直流电流不平衡
2. 低频环流
3. 额外的低频谐波分量（降低交错的对消效果）

缓解措施

不匹配类型	缓解方法
电感容差	选用紧公差电感（$\pm 5\%$），或增加交错相数以降低总体灵敏度
占空比差异	逐周期电流均衡控制（数字实现中的每相独立限流）
驱动延迟	匹配驱动路径长度，或采用自校准延迟调节
温度漂移	热设计中保持对称布局，减少相间温差

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交错技术的应用场景

应用	拓扑	交错方式	主要收益
电压调节模块（VRM）	多相交错 Buck	对称 $N$ 相	电流纹波 $÷N$，瞬态响应 $N$ 倍
PFC 整流器	多相交错 Boost	对称	输入 EMI 滤波器缩小
三相逆变器	多模块并联	对称/非对称	输出谐波降低/EMI 优化
半桥并联	AC-DC 接口	对称 $180^{\circ }$	载波谐波对消（图 2.18）

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补充二：参数不匹配定量分析与电流均衡

以下内容为 Sun (2012) §2.3.3 的进一步补充——涵盖参数不匹配效应的定量残余纹波公式和交错系统的相电流均衡控制策略。

G10 参数不匹配的定量残余纹波公式

两相交错 Buck 电感不匹配模型

设两相电感 $L_1=L$，$L_2=L+\Delta L$（$\Delta L$ 为容差），$D>0.5$ 时两相电流重叠。

各相电流纹波幅值：

$$\Delta i_{L1}=\frac{V_{\text{in}}-V_o}{L}D{T}_s,\Delta i_{L2}=\frac{V_{\text{in}}-V_o}{L+\Delta L}D{T}_s\approx \Delta i_{L1}\left(1-\frac{\Delta L}{L}\right)$$

残余纹波的解析表达式

交错后总电流纹波的峰值残余：

$$\Delta i_{\text{total}}=\{\begin{array}{ll}|\Delta i_{L1}-\Delta i_{L2}|,& D>0.5\\ \max (\Delta i_{L1},\Delta i_{L2})-\min (\Delta i_{L1},\Delta i_{L2}),& D<0.5\end{array}$$

代入电感容差 $\Delta L/L=\delta$：

$$\Delta i_{\text{total}}\approx \Delta i_{L1}\cdot \frac{|\delta |}{1+\delta }\approx \Delta i_{L1}\cdot |\delta |(\delta \ll 1)$$

工程含义：若 $\delta =5\%$（紧公差电感），残余纹波约为理想对消后的 $5\%$，贡献不明显；若 $\delta =20\%$（低成本电感），残余纹波达到 $20\%$，交错效果显著退化。

占空比不匹配引起的环流

设两相实际占空比 $d_1=D$，$d_2=D+\Delta d$。两相之间存在直流环流：

$$I_{\text{circ}}=\frac{(V_{\text{in}}-V_o)\Delta d}{2L}\cdot \frac{T_s}{2}$$

该环流导致：

1. 各相电流不均——一相承担更多负载电流，热应力增加
2. 磁芯偏磁——可能引起电感饱和
3. 额外铜损——降低整体效率

驱动延迟不匹配

设两相驱动延迟差为 $\tau$，等效占空比偏差 $\Delta d=\tau /T_s$：

• $\tau =10$ns，$T_s=1\mu$s（$f_c=1$MHz）→ $\Delta d=0.01=1\%$
• $\tau =50$ns → $\Delta d=5\%$（显著环流）

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G11 交错系统的相电流均衡控制

均衡控制的必要性

实际交错系统中，各相参数不可避免存在差异（电感容差、导通电阻 $R_{DS(on)}$ 差异、PCB 布局不对称），导致相间电流不平衡。不平衡的后果：

1. 电流最大相的 MOSFET 和电感热应力最高（限制总输出功率）
2. 磁芯饱和风险增加
3. 输入/输出纹波对消效果退化

被动均衡方法

方法	原理	优点	缺点
输出阻抗匹配	各相串联相同的小电阻	简单、无控制环路	增加损耗、不能自适应
耦合电感	磁集成使电流自动均衡	无损耗、快速响应	设计复杂、成本高
对称布局	PCB 走线和器件位置对称	零成本	效果有限

主动均衡控制

1. 逐周期限流法（最常用）

每相独立检测电流，设定相同的峰值限流值 $I_{\text{limit}}$：

$$d_k[n]=\min (d_{\text{comp}}[n],d_{k,\text{limit}}[n])$$

其中 $d_{\text{comp}}[n]$ 为电压环输出的占空比指令，$d_{k,\text{limit}}[n]$ 由该相电流峰值决定。

2. 平均电流均衡法

每相平均电流 $⟨i_{Lk}⟩$ 与参考值 $⟨i_L{⟩}_{\text{ref}}=I_{\text{load}}/N$ 比较，误差经 PI 补偿后微调该相占空比：

$$d_k[n]=d_{\text{common}}[n]+K_p(⟨i_L{⟩}_{\text{ref}}-⟨i_{Lk}⟩[n])+K_i\sum (⟨i_L{⟩}_{\text{ref}}-⟨i_{Lk}⟩)$$

3. 无传感器均衡

通过检测各相开关节点 $v_{swk}(t)$ 的导通时间 $t_{\text{on},k}$ 差异来推断电流不平衡，无需额外电流传感器：

$${\hat{I}}_{Lk}\propto \frac{V_{\text{in}}-V_o}{L_k}\cdot t_{\text{on},k}$$

均衡控制的工程权衡

方案	复杂度	传感器需求	动态响应	成本影响
逐周期限流	低	每相一个比较器	快	低
平均电流均衡	中	每相一个 ADC 通道	中等	中
耦合电感	低（被动）	无	最快	中-高
无传感器	中-高	无显式传感器	慢	低

VRM 应用中的多相均衡示例

典型 CPU 电压调节模块（VRM）采用 $N=4$ 或 $N=6$ 相交错 Buck，控制器（如 Infineon XDPE 系列）集成以下均衡功能：

1. 每相独立电流检测（DCR 或 SenseFET）
2. 温度补偿的电流校准
3. 自动相位投切（轻载时关闭多余相）
4. 相电流动态均衡（开/闭环）

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H.1 串联交错案例

基本原理

交错技术不仅适用于并联变换器，同样适用于串联连接的变换器。原书明确指出：

The same analysis and ripple cancellation principle also apply to converters connected in series.

对于 $N$ 个相同变换器串联，每相载波相移 $2\pi /N$：

• 输入电压由各变换器分担（适用于高压输入降压应用）
• 输出电流流经各变换器（与并联结构对偶）
• 谐波对消原理同样适用：除 $N$ 倍载波频率外所有谐波被消除

串联交错 vs 并联交错

特性	并联交错	串联交错
电流等级	$N$ 倍单相电流	单相电流
电压等级	单相电压	$N$ 倍单相电压
谐波对消对象	输入/输出电流纹波	输入/输出电压纹波
典型应用	CPU VRM、低电压大电流	高压直流变换、固态变压器
对偶形状	多相交错 Buck	多单元串联 Boost（输入并联输出串联）
均流/均压	需相电流均衡	需单元电压均衡

串联交错举例：多单元串联 Boost PFC

$N$ 个 Boost 单元输入并联、输出串联，载波相移 $2\pi /N$：

• 输入侧：各单元输入电流叠加，最低纹波频率 $N{f}_c$
• 输出侧：各单元输出电压串联，总输出电压 $N\times V_{\text{out,unit}}$，纹波对消等效于 $N$ 相并联的电流对消
• 器件应力：每个单元仅承受 $1/N$ 的总输出电压，可使用低耐压 MOSFET（具有更低的 $R_{\text{ds(on)}}$）

串联交错的工程优势

1. 高压应用：无需高压额定器件，使用低电压 MOSFET + 串联结构，导通损耗更低
2. 容错能力：一个单元故障时其余单元仍可运行（降额模式），提高系统可靠性
3. 模块化扩展：通过增减串联单元数量适应不同电压等级，简化平台设计
4. EMI 改善：与并联交错相同的谐波对消效益，降低输入/输出滤波器尺寸

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双向链接

来源：Sun PWM 开关电子系统 Ch2 深度解析 §2.3.3

前置概念：

• PWM基本形式与载波类型 — PWM 基本原理
• PWM频谱建模与双重傅里叶级数 — PWM 频谱模型（谐波对消的数学基础）
• PWM小信号建模 — PWM 小信号模型

相关概念：

• 多电平变换器基础特性 — 时域谐波消除（$f_{\text{app}}=n{f}_{\text{sw}}$）
• 多电平斩波器矢量化调制器 — 多电平 xZOH 调制器
• Class-D EMI抑制技术 — 扩频与 EMI
• Class-D多通道设计 — 多通道串扰问题

相关实体：

• Jian Sun — 本章作者，非对称交错提出者
• Thierry Meynard — 多电平变换器领域权威