CT-ΔΣ 环路滤波器非线性分析与辅助运放技术

§10.9 建立弱非线性 OTA 的电流注入分析框架——利用 $\alpha$ 缩放法将弱非线性调制器分解为两个线性系统的级联，优雅地分离信号失真、噪声混叠和交叉调制效应。§10.9.1 介绍辅助运放技术——通过已知电流的”外部补偿”使 OTA 几乎无电流流过，从根本上消除非线性。

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前后关系

上下文：§10.8 解决了 OTA 有限带宽对 NTF 的影响（通过系数调谐恢复）。§10.9 解决另一维度的 OTA 非理想性——非线性。即使带宽无限，OTA 的 $G_3{v}^3$ 项也会导致信号失真和噪声混叠。

前置知识：

• CT-ΔΣ积分器实现与OTA架构 — OTA-RC 积分器结构
• CT-ΔΣ系统化设计定心与闭环拟合 — 线性非理想性的系统化补偿
• CT-ΔΣ调制基础与一阶CT-MOD1 — CT-MOD1 基本工作原理
• 量化器理论与线性模型 — 加性噪声模型

后续内容：

• 16-bit音频CT-ΔΣ调制器设计实例 — FIR DAC 缓解非线性
• CT-ΔΣ比较器与反馈DAC设计 — 辅助运放在单/多比特时的功耗

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原理介绍

弱非线性 OTA 模型

假设全差分且弱非线性，输出电流可写为：

$$i_o=G(v_i)=G_1{v}_i+G_3{v}_i^3\text{（vi 足够小以避免饱和）}$$

三种简化模型（图 10.42）：

1. 单级 OTA：单一跨导的非线性
2. 前馈补偿 OTA：多个跨导各自的非线性
3. 通用弱非线性跨导：$\pm G_3{v}^3$ 修正

电流注入法——$\alpha$ 缩放分离

考虑 CT-MOD1（图 10.43a），弱非线性 OTA 模型如图 10.43b（含有限 $G_m$、输入/输出寄生 $c_i,c_o$）。

节点方程（矩阵形式，式 10.37）：

$$\mathbf{C}\dot{x}+\mathbf{G}x+{\mathbf{G}}_3{x}^3={\mathbf{F}}_{1}u(t)+{\mathbf{F}}_{2}v(t)$$ $$v(t)=v_{\text{dac}}(t)+e(t)$$

其中 $x$ 为节点电压向量，${\mathbf{G}}_3{x}^3$ 为非线性项。

$\alpha$ 缩放法核心（图 10.44，式 10.39-10.42）：

假设若将输入 $u$ 和量化噪声 $e$ 缩放 $\alpha$ 倍，$x$ 和 $v$ 也应相应变化。但非线性 $G_3$ 的存在导致：

$$x(t)=\alpha x^{(1)}(t)+{\alpha }^3{x}^{(3)}(t)$$

代入并比较 $\alpha$ 和 ${\alpha }^3$ 的系数：

线性系统（$\alpha$ 阶，式 10.41）：

$$\mathbf{C}{\dot{x}}^{(1)}+\mathbf{G}{x}^{(1)}={\mathbf{F}}_{1}u+{\mathbf{F}}_2{v}_{\text{dac}}^{(1)}+{\mathbf{F}}_{2}e$$

这就是非线性关闭的 CT-MOD1——输出 $v^{(1)}[n]$ 即为理想调制器的输出。

三次系统（${\alpha }^3$ 阶，式 10.42）：

$$\mathbf{C}{\dot{x}}^{(3)}+\mathbf{G}{x}^{(3)}={\mathbf{G}}_3(x^{(1)}{)}^3+{\mathbf{F}}_1\cdot 0+{\mathbf{F}}_2\cdot 0$$

含义：输入 $u$ 和量化噪声 $e$ 置零、量化器旁路，但在线性 CT-MOD1 的内部节点注入电流源 ${\mathbf{G}}_3(x^{(1)}{)}^3$。输出 $v^{(3)}[n]$ 完全是非线性导致的附加项。

总输出：

$$v[n]=v^{(1)}[n]+v^{(3)}[n](10.43)$$

三阶 CIFF 验证（图 10.45）

9 级量化器、6.144 MHz 采样、前馈补偿 OTA 的 CT-ΔΣ：

• 理想 SNDR：125.7 dB
• 含弱非线性 OTA（SPICE）：91.2 dB
• 电流注入法预测：92.4 dB（与 SPICE 仅差 ~1 dB）

SNDR vs 输入幅度曲线（图 10.46）：电流注入法与 SPICE 高度吻合。

$v^{(3)}[n]$ 的组成：

• $(v^{(1)}{)}^3$ 展开后有三类分量：
  1. 信号失真（$u^3$ 项）
  2. 噪声混叠（$e^3$ 型——整形量化噪声自混合后折回带内）
  3. 交叉调制（$u{e}^2$ 和 $u^{2}e$）

改善线性度的电路技术（§10.9.1）

方法 1：增大 OTA $G_m$（暴力法）

• 更大 $G_m$ → 虚拟地节点摆幅更小 → $v_i$ 更小 → $G_3{v}_i^3$ 更小
• 代价：功耗增加

方法 2：辅助运放技术（Assisted Opamp，图 10.47，Pavan 2010）

根本问题：单比特 NRZ DAC 反馈 $v(t)$ 轨到轨跳变，有限 $G_m$ 下虚拟地电压需随反馈跳变摆动。大幅摆幅激发 OTA 非线性。

关键洞察：OTA 需要灌入的电流是已知的——即 $(u-v_{\text{dac}})/R$。

实现（图 10.47）：

• 辅助跨导 $1/R$：将 $u/R$ 注入虚地点
• 辅助电流舵 DAC：将 $v_{\text{dac}}/R$ 注入虚地点
• OTA 仅需处理辅助电流与实际电流的失配——几乎无电流流过

优点：

• 虚拟地电位 $\varphi \approx 0$（即使有限 $G_m$）
• 辅助电路噪声/失真折合到输入被 $R{G}_{\text{ota}}$ 衰减（因为噪声注入点在 OTA 输出端）
• 不改变极点位置（$u=v_{\text{dac}}=0$ 时辅助消失）

缺点：

• 多比特/FIR DAC 时辅助电流可能超过 OTA 自身电流 → 辅助功耗上升

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关键要点

1. 电流注入法利用 $\alpha$ 幂次差异优雅分离线性和非线性响应——线性部分 $\propto \alpha$，三次部分 $\propto {\alpha }^3$。这使复杂非线性调制器的分析降维为两个线性系统的级联
2. 非线性附加项 $v^{(3)}[n]$ 包含三类分量：信号失真（HD₃）、噪声混叠（整形 $e$ 的自混合）、交叉调制（$u{e}^2$ 和 $u^{2}e$）——这是 CT-ΔΣ 中 SNR 退化中难以直觉预测的部分
3. 电流注入法可以扩展到任意阶 CT-ΔΣ，且与 SPICE 仿真高度吻合（~1 dB 误差）——是系统级评估非线性影响的强大工具
4. 辅助运放的核心思想是将”未知”电流变为”已知”——既然输入和 DAC 输出都是可访问的信号，就不应让 OTA 承担处理这些大电流的任务
5. 辅助运放不改变稳定性和极点位置——$u=v_{\text{dac}}=0$ 时辅助消除，恢复为无辅助积分器
6. 辅助运放在多比特/FIR DAC 下的功耗需仔细评估——辅助电流可能超过 OTA 原生电流

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参考文献

1. Pavan, S. (2020). “Efficient simulation of weak nonlinearities in continuous-time oversampling converters.” IEEE Trans. Circuits Syst. I, 67(12), 4837–4847.
2. Pavan, S. & Sankar, P. (2010). “Power reduction in continuous-time delta-sigma modulators using the assisted opamp technique.” IEEE J. Solid-State Circuits, 45(7), 1365–1374.
3. Enz, C. & Temes, G. C. (1996). “Circuit techniques for reducing the effects of opamp imperfections.” Proc. IEEE, 84(11), 1584–1614.

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📙 Rosa 补充（Ch.4 前端积分器非线性与 DAC ISI）

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.4 对 CT-ΣΔM 的非线性机制增加了实用分析。

前端积分器非线性分析（§4.5）

Rosa 分析了前端 OTA-RC 积分器的非线性失真机制：

• OTA 有限增益 $A(v)$ 导致虚拟地不完美，输入电压 $v_{in}\approx v_{out}/A(v)$
• 非线性跨导 $g_m(v)$ 产生信号相关的积分电流
• 失真估计：${\text{HD}}_3\approx \frac{V_{out,pk}^2}{4\cdot A_0\cdot V_{od}^2}$（$V_{od}$ 为过驱动电压）
• 对 CIFF 拓扑：前端积分器处理全带信号，线性度要求最高

DAC 码间干扰（ISI）（§4.5.2）

Rosa 分析了 NRZ DAC 的 ISI 机制：

• NRZ 脉冲的上升/下降时间不对称导致码间干扰
• 等效模型：DAC 输出不仅依赖于当前码，还依赖于前一码的状态
• ISI 产生信号相关的非线性失真，与前端积分器非线性叠加
• 缓解：RZ DAC（每周期归零消除记忆效应）或 FIR DAC（平滑过渡）

差异定位：Pavan Ch.10 侧重辅助运放技术的线性化方案；Rosa 增加了 前端积分器失真的定量估计和 DAC ISI 的机制分析。