高阶失配整形原理

§6.5。将失配整形从一阶推广到高阶存在与 ΔΣ 调制器相同的稳定性挑战。本节详细推导向量基（Vector-Based）和树形两种高阶实现，并比较其 MNP 信号依赖性。

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前后关系

上下文：§6.2–§6.4 讨论了多种一阶失配整形方案（旋转、Butterfly、Bi-DWA、树形），其在 OSR 中等的应用中提供 9 dB/倍频程的 MNP 改善。当 OSR 进一步增大或要求更强失配抑制时，需要高阶整形（15 dB/倍频程）。

后续章节：

• §6.6（三电平分段DAC与过渡误差整形）将失配整形泛化到三电平和非单元元素

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原理介绍

6.5.1 向量基失配整形（Vector-Based，图 6.25）

这是最通用的高阶失配整形框架，核心是 M 个并行的误差反馈（error-feedback）ΔΣ 环路，共享同一个输入并受到共同的向量量化器（VQ）约束。

系统方程

系统包含 M 个完全相同的滤波器（MTF(z)），其输出为向量 $\mathbf{sy}$：

$$\mathbf{sy}[n]=f(\mathbf{se}[n])$$

在误差反馈形式下：

$$\mathbf{SY}(z)=\mathbf{SU}(z)+\text{MTF}(z)\mathbf{SE}(z)(6.11)$$

其中 $\mathbf{SU}$ 是公共偏移向量，$\mathbf{SE}(z)=\mathbf{SY}(z)-\mathbf{SV}(z)$ 是量化误差向量。

VQ 约束：$\sum s_{v,i}[n]=\nu [n]$，即输出 ‘1’ 的总数必须等于输入码 $\nu [n]$。

DAC 输出推导

设 $D(z)$ 为 DAC 输出，$\mathbf{ee}$ 为元素误差向量（满足 $\sum e{e}_i=0$）。由 $\mathbf{SV}\cdot \mathbf{ee}$ 的线性组合可得（式 6.17）：

$$D(z)=V(z)+\text{MTF}(z)(\mathbf{SE}(z)\cdot \mathbf{ee})$$

失配误差 $\mathbf{ee}$ 被 MTF(z) 整形，正如同量化噪声被 NTF 整形一样！

VQ 的实现

选择 $\mathbf{sy}$ 中最大的 $\nu [n]$ 个分量设为 1，其余为 0。为消除 $\mathbf{sy}$ 分量间的公共偏移，设置：

$$\mathbf{su}[n]=-\min (\mathbf{sy}[n])$$

使得 $\mathbf{sy}$ 中至少有一个 0。

MTF(z) = 1 - z⁻¹ 时等价于旋转

当 MTF(z) = 1 - z⁻¹（一阶整形）时，VQ 的递归操作与旋转完全一致（§6.5.1 的数值示例验证了这一点）。这说明旋转是向量基框架的特例。

二阶 MTF 示例（图 6.26）

使用 MTF(z) 满足 $\Vert \text{MTF}{\Vert }_{\infty }=1.5$，零位在 DC，极点在 Butterworth 位置。OSR=16 时 SNDR 达 92 dB，比旋转（87 dB）高 5 dB，且频谱无杂散。

二阶向量基 MNP 估算（式 6.22）：

$$\text{MNP}\approx \frac{2{\pi }^2{\sigma }^2}{9M(\text{OSR}{)}^3}$$

代入 $M=16,\sigma =1\%,\text{OSR}=16$ → -82 dBFS（仿真值约 -90 dBFS，仍高估 8 dB）。

硬件实现难点

VQ 需要排序操作找到最大的 $\nu [n]$ 个分量。硬件排序代价高，可采用：

• 部分排序（Partial Sort）
• 阈值迭代法：通过二分搜索找到阈值 $r[n]$，使 $\sum 1(s{y}_i>r)=\nu [n]$

VQ 本质上等价于 M 个 1-bit ΔΣ 环路 + 选数约束，其稳定性比普通 1-bit ΔΣ 更差。需采取：

1. 限制 DAC 输入范围（添加额外元素以提供裕量）
2. 饱和逻辑
3. 复位逻辑

6.5.2 树形高阶结构

在图 6.19 的树形 ESL 中，每个开关块的 $s[n]$ 信号由高阶 ΔΣ 调制器生成（图 6.27），满足：

$$S(z)=\text{MTF}(z)\cdot E(z)(6.23)$$

二阶 MTF 示例（图 6.27）

量化器输出被限制为偶数（当 $x[n]$ 为偶时）或奇数（当 $x[n]$ 为奇时），且 $s[n]$ 范围限制在 $[-L,L]$ 内，其中 $L=\min (x[n],2^k-1-x[n])$。

得到的 MTF（式 6.24）：

$$\text{MTF}(z)=\frac{(z-1{)}^2}{z^2-1.25z+0.5}$$

$\Vert \text{MTF}{\Vert }_{\infty }=1.5$。

图 6.28 的频谱确认了二阶整形（40 dB/decade 斜率），但 SNDR 仅 75 dB——远不如同阶向量基方法。

MNP 信号依赖性对比（图 6.29）

方案	临界信号电平	低信号区 MNP	高信号区行为
旋转（一阶）	无临界点	随信号增大而减小	始终稳定
二阶树形	-6 dBFS	略低于旋转	> -6 dBFS 时 MNP 急剧恶化
二阶向量基	-1 dBFS	比旋转低 5 dB	> -1 dBFS 时 MNP 恶化

OSR 缩放率：一阶 9 dB/倍频程，二阶 15 dB/倍频程。因此高阶整形在 OSR ≥ 16 时才有实际优势。

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关键洞察

1. 向量基框架的统一性：失配整形的旋转、一阶/二阶都可以统一到 $M$ 个并行 MTF(z) 环路的框架下，相当于用 $M$ 个 1-bit ΔΣ 调制器来”调制”元素选择
2. VQ 稳定性的根本局限：VQ 中的 $\sum s{v}_i=\nu$ 约束意味着所有回路共享一个耦合量化器，其稳定性比独立 $M$ 个 ΔΣ 环路更差——这是高阶 DEM 无法回避的基本代价
3. 树形结构的低效性：二阶树形 SNDR（75 dB）远低于二阶向量基（92 dB），主要因为树形结构中每层开关块独立工作，缺乏全局优化
4. 信号依赖性的设计含义：旋转适合全程信号（MNP 随信号增大而改善），高阶整形适合低至中等信号电平。设计者需根据应用场景的信号统计特性选择方案

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参考文献

1. Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §6.5. IEEE Press/Wiley.
2. Schreier, R., & Zhang, B. (1995). “Noise-Shaped Multibit D/A Convertor Employing Unit Elements.” Electronics Letters, 31(20), 1712-1713.
3. Yasuda, A., et al. (1998). “A Third-Order ΔΣ Modulator Using Second-Order Noise-Shaping Dynamic Element Matching.” IEEE JSSC, 33, 1879-1886.
4. Welz, J., & Galton, I. (2001). “Simplified Logic for First-Order and Second-Order Mismatch-Shaping DACs.” IEEE TCAS-II, 48(11), 1014-1027.

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