过采样 ΣΔ 调制器基础——从 EE247 视角

概述

EE247 Lectures 23-25 介绍了过采样 ΣΔ（Sigma-Delta）ADC 的原理与设计。ΣΔ 调制器通过过采样和噪声整形，用速度换取精度，在高分辨率中低频转换器中占据统治地位。

注意：EE247 的 ΣΔ 内容为入门级别，与 Pavan ΔΣ 数据转换器 Ch.2 深度解析等已有详细概念互补。本页侧重 EE247 特有的工程设计视角。

过采样基本原理

奈奎斯特 ADC vs 过采样 ADC

奈奎斯特 ADC：f_s ≈ 2f_B → 一次转换产生 N 位输出
过采样 ADC：f_s >> 2f_B → 通过噪声整形获得高精度
OSR（过采样率）：OSR = f_s / (2f_B)

过采样降噪

量化噪声均匀分布在 0 到 f_s/2
过采样后带内噪声： $Q_{b w}^{2} = \frac{Δ ^{2}}{12} \cdot \frac{1}{OSR}$
每倍 OSR → 3dB SQNR 改善（0.5 bit/倍频程）

一阶 ΣΔ 调制器

结构

积分器 + 1-bit 量化器 + 1-bit DAC 反馈
积分器对（输入 - 反馈）累积误差

线性模型分析

NTF（噪声传递函数）： $NTF (z) = 1 - z^{- 1}$ （一阶高通特性）
STF（信号传递函数）： $STF (z) = z^{- 1}$ （纯延迟）
带内噪声功率： $Q_{b w}^{2} \approx \frac{Δ ^{2}}{12} \cdot \frac{π ^{2}}{3} \cdot (\frac{1}{OSR})^{3}$
SQNR： $\approx 6.02 N + 1.76 - 5.17 + 30 lo g (OSR) dB$

一阶 ΣΔ 问题

Idle Tone（空闲音）：DC 输入时的周期性码模式
比较器迟滞敏感性：迟滞 < D/25 不影响 SNR

二阶 ΣΔ 调制器

结构

双积分器级联 + 反馈
NTF： $NTF (z) = (1 - z^{- 1})^{2}$
带内噪声： $Q_{b w}^{2} \approx \frac{Δ ^{2}}{12} \cdot \frac{π ^{4}}{5} \cdot (\frac{1}{OSR})^{5}$
SQNR： $\approx 6.02 N + 1.76 - 12.9 + 50 lo g (OSR) dB$

SC 实现

SC 积分器构建二阶 ΣΔ 调制器
两相非交叠时钟控制积分和采样
噪声源：kT/C（开关）、运放热噪声、1/f 噪声

级联 ΣΔ 调制器（Cascaded/MASH）

将低阶调制器级联 → 等效高阶噪声整形（避免稳定性问题）
1-1-1 三阶级联：等效 3 阶 NTF
2-1 级联：二阶级联一阶
关键问题：对模拟精度的敏感性（级间匹配、增益误差）

高阶 ΣΔ 调制器

稳定性问题

量化器有效增益 G_eff 随输入变化
G_eff 降低 → 根轨迹趋向不稳定
NTF 极点设计需留足稳定裕度

设计方法

确定 NTF 阶数 L、OSR、量化位数 N
NTF 零点优化（分裂零点改善 SQNR）
极点设计（Butterworth/Chebyshev 分布）
环路滤波器系数计算
节点缩放（动态范围优化）
稳定性验证（瞬态仿真、根轨迹分析）

非理想效应

极限环（Limit Cycles）：小 DC 输入时输出码的周期性模式 → 产生带内杂散
Dither（抖动注入）：在量化器前加入小幅度噪声 → 打破极限环、消除空闲音

带通 ΣΔ 调制器

NTF 零点分布在 z = ±j（对应于带通中心频率）
通过低频→带通变换：z → -z²
适用于 IF/RF 信号直接数字化

EE247 与 Pavan 教材的视角差异

方面	EE247（本页）	Pavan ΔΣ 教材
深度	入门-中级，侧重概念	深入-高级，侧重数学分析
稳定性	根轨迹图	NTF 极点优化 + MSA
NTF 设计	表格+系数	Bode 灵敏度积分、系统化方法
CT-ΔΣ	未覆盖	第 8-10 章详细讨论
数字滤波器	Sinc 滤波器	优化数字滤波器

双向链接

📘 Baker 3e 补充（Ch.17 使用 ΔΣ 调制的感测技术——独特应用视角）

Baker Ch.17 的独特之处在于将 ΔΣ 调制器应用于感测场景（而非传统 ADC），这是 Gray/Razavi/Allen/EE247 均不涉及的内容。

1. ΔΣ 调制感测原理（Ch.17）

Baker 从感测系统的工程视角出发，将 ΔΣ 调制器作为感测前端：

基本感测链：感测器（如闪存单元、图像像素）→ 一阶 ΔΣ 调制器 → 计数器 → 数字输出
低位数字码字：不是传统 ADC 的并行 N-bit 输出，而是串行比特流经计数器得到数字值
杯容量概念（Bucket Capacity）：感测节点电容的电荷被 ΔΣ 调制器按杯单位”舀走”——杯容量越小分辨率越高

2. 闪存感测应用（Ch.17）

位线电压感测：闪存单元的位线电压通过 ΔΣ 调制器转换为数字码
比较器阈值偏移：使用 ΔΣ 反馈调整比较器阈值以补偿工艺变化
不完全建立：感测节点时间常数对精度的限制——Baker 给出了建立误差的定量分析

3. CMOS 图像传感器应用（Ch.17）

像素复位噪声：使用 ΔΣ 调制器对参考和信号双采样消除复位噪声
列并行 ΔΣ ADC：每列一个 ΔΣ 调制器，同时对所有像素行进行转换
固定模式噪声（FPN）消除：通过相关双采样（CDS）和 ΔΣ 反馈消除
对比传统 ADC：ΔΣ 方案的优点是列电路简单（只需积分器+比较器），无需高精度电容匹配

Baker 的 ΔΣ 覆盖 vs EE247/Pavan：EE247 提供 ΔΣ 调制器作为 ADC 的入门-中级分析（NTF/STF/SQNR）；Pavan 教材深入数学化分析（Bode 灵敏度积分/MSA/CT-ΔΣ）。Baker Ch.17 的独特定位是 ΔΣ 的感测应用——不是追求最高 SQNR 的 ADC，而是利用 ΔΣ 反馈的鲁棒性和简单性实现高精度感测。

关联页：Baker CMOS 电路设计版图与仿真深度解析 §17

📗 Sansen 补充（Ch.21 Low-power Sigma-Delta AD Converters——Switched-Opamp 技术）

Sansen Ch.21 专门覆盖低功耗 ΣΔ ADC 设计，其核心贡献是Switched-Opamp（开关运放）技术——通过消除传统 SC 电路中的关键开关来实现低电压操作。

1. ΣΔ 调制基本原理

Sansen 覆盖 ΣΔ 调制的核心概念：

过采样（Oversampling）： $f_{s} ≫ 2 f_{B}$ ，将量化噪声分布在更宽的频带
噪声整形（Noise Shaping）：高通滤波量化噪声，将低频噪声推至高频

STF 和 NTF：

信号传递函数： $STF (z) = H (z) / (1 + H (z))$
噪声传递函数： $NTF (z) = 1/ (1 + H (z))$

2. 开关问题（The Switch Problem）

低电压 CMOS 工艺中的关键挑战：

单管开关在 $V_{DD} < 2 V_{T}$ 时无法正常导通
CMOS 传输门在低电压下也面临导通电阻过大的问题
传统的自举开关（Bootstrapped Switch）虽可缓解但复杂度高

3. Switched-Opamp 技术——Sansen 的标志性贡献

Switched-Opamp（开关运放）的核心思想是移除输入开关，用运放的开关控制替代：

传统 SC 积分器	Switched-Opamp 积分器
输入需要开关	无输入开关
运放始终开启	运放在采样相关闭
需要自举开关	无需自举
最低电压受限	可低至 1V 以下

Switched-Opamp 的工作时序：

采样相：运放关闭（输出高阻），输入信号直接对采样电容充电
积分相：运放开启，采样电容上的电荷转移到积分电容

4. 其他低功耗技术

Sansen 还覆盖：

时钟控制比较器：只在需要时开启，降低平均功耗
电流复用 ΣΔ：通过电流镜共享降低总电流
亚阈值偏置：输入管工作在弱反型区，最大化 $g_{m} / I_{D}$

5. Sansen vs EE247/Pavan/Baker

维度	Sansen Ch.21	EE247	Pavan	Baker §17
Switched-Opamp	核心覆盖	未覆盖	未覆盖	未覆盖
低电压技术	系统化	少量	少量	无
ΣΔ 原理	基础	入门-中级	深入数学化	感测应用
噪声整形	基础	中级	高级	感测视角

Sansen 的独特价值：Ch.21 的 Switched-Opamp（开关运放） 技术是 Sansen 课题组对低电压 ΣΔ ADC 领域的标志性贡献。这一章节是经典教材中唯一系统覆盖该技术的资料。对于设计亚 1V 低功耗 ΣΔ ADC，Sansen Ch.21 是不可替代的参考。

关联页：Sansen 模拟集成电路设计精粹深度解析 §21

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