旋转实现与替代失配整形拓扑

§6.3–§6.4。讨论旋转选择（DWA）的电路实现方式（对数移位器、参考加扰），以及三种改进型一阶失配整形拓扑——Butterfly Shuffler、A-DWA/Bi-DWA、树形结构 ESL。

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前后关系

上下文：§6.2 建立了旋转选择（DWA）的基本原理——通过单元循环取用实现一阶失配整形。实际实现中需考虑：（1）旋转器延迟对 ΔΣ ADC 反馈时序的影响；（2）旋转的确定性本质导致的杂散问题。

后续章节：

• §6.5（高阶失配整形原理）将失配整形推广至二阶，讨论向量基 VQ 和树形高阶结构
• §6.6–§6.7（三电平分段DAC与过渡误差整形）泛化到三电平和非单元元素

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原理介绍

6.3 旋转的电路实现

基本架构（图 6.9）

旋转选择器的最直观实现包括：

1. 数字积分器：维护指针位置 $\text{ptr}[n]=(\text{ptr}[n-1]+m[n])\mathrm{mod}M$
2. 旋转移位器：将 thermometer 编码的 $m[n]$ 位数据按 $\text{ptr}[n]$ 进行循环移位

指针的更新仅依赖当前周期的 $m[n]$，与移位操作可流水化处理，因此指针更新不是关键路径。

对数移位器（图 6.10）

高速实现使用对数移位器结构，由 ${\log }_{2}M$ 级 2:1 MUX 组成，每级控制一个比特位的移位量。总延迟 $t_d=({\log }_{2}M)\cdot t_{\text{MUX}}$。

MUX 优化（图 6.11）：

1. 消除反相器——使用直通型（非反相）MUX
2. 大器件驱动 S/$\overline{S}$ 信号——控制信号在数据之前就绪，可预充电到正确的控制电平

参考加扰（Reference Shuffling，图 6.12）

旋转移位器位于 Flash ADC 输出之后，其延迟会侵占比较器再生时间。解决方法：在翻转 ADC 之前旋转参考电压。

参考加扰使用模拟移位器（图 6.13）：

• (a) 任意排列模拟 MUX：$M$ 个 $M$ 输入的模拟 MUX，灵活性最高
• (b) 硬连线旋转：固定循环旋转模式的模拟开关，速度快、面积小

参考加扰后，各比较器的输出按旋转后的顺序排列，需使用一元转二进制转换器（Unary-to-Binary，图 6.14），本质是一个加法器树。

旋转实现的意外之喜

实现旋转比随机选择更简单！随机选择需要支持 $M!$ 种排列；旋转仅需 $M$ 种排列。若用随机指针代替旋转指针，同样的硬件可实现部分随机选择。

6.4.1 Butterfly Shuffler（图 6.15）

由 ${\log }_{2}M$ 列、每列 $M/2$ 个交换单元组成，结构类似 FFT 的 butterfly 运算。

交换规则：

• (a) 两个输入位相同时 → 直接通过
• (b) 两个输入位不同时 → 将 ‘1’ 交替路由到上/下输出

特点：

• 状态位数量：$(M/2){\log }_{2}M$ 位（vs 旋转的 ${\log }_{2}M$ 位）
• 更丰富的单元使用模式 → 大幅降低周期性和可见谐波（图 6.16）
• SNDR 约 81 dB（vs 旋转 87 dB），以 6 dB 代价换取更好的频谱纯度

6.4.2 A-DWA 与 Bi-DWA

A-DWA（Advancing DWA）：每次完成一轮完整旋转后，将指针增加一个固定偏移量（推荐 $M/3$）。图 6.17 显示杂散变得模糊，但 SNDR 降至 79 dB，比旋转更差。

Bi-DWA（Bi-Directional DWA，图 6.18）：交错进行正向和反向旋转。实现极其简单——只需要在每个时钟周期决定旋转方向。

效果：频谱几乎完全消除 tone，具有清晰的一阶整形特征。SNDR 约 81 dB，虽比旋转低 6 dB，但鉴于其代价低、鲁棒性好，是实践中最常用的方案。

6.4.3 树形结构 ESL（图 6.19）

将 $m+1$ bit 的输入数据逐层拆分为两个宽度减半的数据流，直至 1 bit，每个 bit 对应一个 DAC 单元。

开关块（Switching Block，图 6.20-6.21）

每个开关块 $S_{k,r}$ 的功能：

• 输入：$k$ bit 数据 $x[n]$
• 输出：$x_0[n],x_1[n]$，满足 $x_0[n]+x_1[n]=x[n]$
• $s[n]$ 信号控制如何拆分

基本 s[n] 生成规则（式 6.9，一阶整形）：

$$s[n]=\{\begin{array}{ll}0,& x[n]\text{ even}\\ 1,& x[n]\text{ odd and previous }s\ne 0\\ -1,& x[n]\text{ odd and previous }s\ne -1\end{array}$$

这就是 2 元素 DAC 交替选择规则的推广。图 6.21 展示了不需要加法器的实现——利用冗余 LSB 表示直接控制拆分。

仿真（图 6.22）显示 SNDR 约 80 dB，比旋转低 7 dB。

带 dither 的树形结构（图 6.23-6.24）

增加随机位 $r[n]$，修改 s[n] 生成规则（式 6.10）：

$$s[n]=\{\begin{array}{ll}0,& x[n]\text{ even}\\ 1,& x[n]\text{ odd and }ss[n]=-1\\ -1,& x[n]\text{ odd and }ss[n]=1\\ r[n],& x[n]\text{ odd and }ss[n]=0\end{array}$$

其中 $ss[n]={\sum }_{i=0}^{n-1}s[i]$。该规则的 PSD 被 严格证明为平滑（无 tone）（Welz & Galton, 2004）。代价是 SNDR 降至 75 dB，比 Bi-DWA 低 6 dB。

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关键洞察

1. 对数移位器是关键路径：旋转移位器的延迟直接侵占 ADC 比较器再生时间，参考加扰通过”先旋转参考、后比较”将此延迟从关键路径中移除
2. 状态位的数量 ≠ 性能：Butterfly 有 $O(M\log M)$ 状态位但 SNDR 低于旋转（$O(\log M)$ 状态位），说明更多状态不一定更好
3. Bi-DWA 的最佳性价比：正反交替旋转以 6 dB SNDR 代价换来近乎完美的无 tone 频谱，且实现复杂度几乎为零，是实践中的首选方案
4. Welz–Galton 树形结构的理论价值：首个被严格证明 PSD 平滑的 DEM 算法，虽 SNDR 最低，但在要求绝对无 tone 的场景（如高保真音频）中不可替代

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参考文献

1. Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §6.3-§6.4. IEEE Press/Wiley.
2. Adams, R. W., & Kwan, T. W. (1995). “Data-Directed Scrambler for Multi-Bit Noise Shaping D/A Converters.” U.S. Patent 5,404,142.
3. Lee, D.-H., & Kuo, T.-H. (2007). “Advancing Data Weighted Averaging Technique for Multi-Bit Sigma-Delta Modulators.” IEEE TCAS-II, 54(10), 838-842.
4. Fujimori, I., et al. (2000). “A 90-dB SNR 2.5-MHz Output-Rate ADC Using Cascaded Multibit Delta-Sigma Modulation at 8× OSR.” IEEE JSSC, 35(12), 1820-1828.
5. Welz, J., & Galton, I. (2001). “Simplified Logic for First-Order and Second-Order Mismatch-Shaping DACs.” IEEE TCAS-II, 48(11), 1014-1027.
6. Welz, J., & Galton, I. (2004). “A Tight Signal-Band Power Bound on Mismatch Noise in a Mismatch-Shaping DAC.” IEEE Trans. Info. Theory, 50(4), 593-607.
7. Yang, W., et al. (2008). “A 100mW 10MHz-BW CT ΔΣ Modulator with 87dB DR.” ISSCC, 498-499.

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