广义二阶结构与最优 NTF 设计

§3.5 将 MOD2 的设计推广到最一般的形式：通过输入前馈路径（$b_1,b_2,b_3$）和反馈路径（$a_1,a_2,a_3$）实现对 STF 和 NTF 的完全控制。在此基础上，通过优化 NTF 零点位置（将 dc 处的双重零点分裂为通带内的复共轭零对），可获得 3.5 dB 的额外 SQNR 提升；再通过最优极点设计，总体可获得约 6 dB 的峰值 SQNR 改善。

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前后关系

上下文：二阶ΔΣ调制器MOD2原理介绍了标准 MOD2（NTF = $(1-z^{-1}{)}^2$，STF = $z^{-1}$）。MOD2替代架构展示了多种工程实现。§3.5 是 MOD2 理论部分的最高点——通过完全参数化的广义结构理解设计空间的边界，并找到 SQNR 最优解。

后续章节：

• 高阶ΔΣ调制器与NTF（Ch.4）将 MOD2 的 NTF 优化思想推广到 L 阶，优化零点布置（§4.4）是该章的核心技术
• MASH ΔΣ调制器（Ch.5）利用级联架构在高阶数下避免稳定性－精度的矛盾

交叉引用：

• 高阶ΔΣ调制器与NTF（§4.4 NTF 零点优化）是本节最优 NTF 零点分裂的 L 阶推广
• ΔΣ误差反馈结构 对应广义结构中 $a_i=0$ 的特例

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原理介绍

广义二阶结构的导出

标准 MOD2（图 3.2）只有两个输入点：$u$ 到第一级积分器输入，$\upsilon$ 到第一级和第二级积分器输入。

广义结构（图 3.23）同时允许 $u$ 通过三个前馈系数 $b_1,b_2,b_3$ 注入到三个求和节点（第一积分器输入、第二积分器输入、量化器输入）。

广义结构（图 3.24）还允许 $\upsilon$ 通过三个反馈系数 $a_1,a_2,a_3$ 反馈到三个求和节点。

输入前馈路径：STF 的 FIR 特性（图 3.23）

当仅添加输入前馈（无反馈极点，$a_1=a_2=a_3=0$）：

$$STF(z)=b_1+b_2(1-z^{-1})+b_3(1-z^{-1}{)}^2$$

• 二阶 FIR 滤波器 → STF 有两个零点
• “免费”的信号预滤波：集成到 ADC 中不增加有源电路
• 可设计为低通、带阻（陷波）等响应
• NTF 不受影响：仍为 $(1-z^{-1}{)}^2$

示例：$b_1=b_2=0,b_3=1$ → $STF(z)=(1-z^{-1}{)}^2$（高通 STF），在 dc 处抑制输入信号——某些应用中（如音频 dc 阻挡）有用。

反馈路径：NTF 的极点引入（图 3.24）

加入反馈系数后：

$$NTF(z)=\frac{(1-z^{-1}{)}^2}{A(z)}$$ $$STF(z)=\frac{B(z)}{A(z)}$$

其中：

$$B(z)=b_1+b_2(1-z^{-1})+b_3(1-z^{-1}{)}^2$$ $$A(z)=1-(a_1+a_2+a_3-2)z^{-1}+(1-a_2-2a_3)z^{-2}+a_3{z}^{-3}$$

$A(z)$ 在 NTF 和 STF 中引入共同的极点。

• $a_3$ 项使 NTF 的阶数提升到 3，但没有增加 NTF 的带内零点数（仍为 dc 处双零）
• $a_3$ 因此极少使用
• 通常 $a_1$ 和 $a_2$ 用于优化 NTF 的极点位置，从而改善 SQNR

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最优 NTF 零点放置

基本思想

标准 MOD2 的 NTF 在 dc（$z=1$）处有二阶零点。但如果将这两个零点从 $z=1$ 处分裂为通带内的复共轭零点对 $z=e^{\pm j{\omega }_0}$，NTF 在极低频处会略微增大（零点不再在 dc），但在通带的中高频段噪声会显著降低——总体上带内噪声积分减小。

优化目标

对于修改后的 NTF $NTF(z)\propto (1-e^{j{\omega }_0}{z}^{-1})(1-e^{-j{\omega }_0}{z}^{-1})$，在低频处：

$$|NTF(e^{j\omega })|\approx K|{\omega }^2-{\omega }_0^2|,|\omega |\ll 1$$

确定哪个 ${\omega }_0$ 能使带内噪声功率最小：

$$\text{最小化：}I({\omega }_0)={\int }_0^{\pi /OSR}({\omega }^2-{\omega }_0^2{)}^{2}d\omega$$

求解

$$\frac{\partial I}{\partial {\omega }_0}={\int }_0^{\pi /OSR}-2({\omega }^2-{\omega }_0^2)\cdot 2{\omega }_{0}d\omega =0$$ $$\Rightarrow {\int }_0^{\pi /OSR}({\omega }^2-{\omega }_0^2)d\omega =0$$ $$\Rightarrow \frac{(\pi /OSR{)}^3}{3}-{\omega }_0^2\cdot \frac{\pi }{OSR}=0$$ $$\boxed{{\omega }_{opt}=\frac{\pi }{\sqrt{3}\cdot OSR}}$$

SQNR 改善

$$\frac{I(0)}{I({\omega }_{opt})}=\frac{{\int }_0^{\pi /OSR}{\omega }^{4}d\omega }{{\int }_0^{\pi /OSR}({\omega }^2-{\omega }_{opt}^2{)}^{2}d\omega }=\frac{9}{4}$$ $$SQN{R}_{\text{improvement}}=10{\log }_{10}(9/4)\approx 3.5\text{ dB}$$

零点的 z 域位置

$$z_{opt}=e^{\pm j{\omega }_{opt}}=e^{\pm j\pi /(\sqrt{3}\cdot OSR)}$$

当 OSR 很大时，零点非常接近 $z=1$。实际上，${\omega }_{opt}$ 约等于通带边界的 $1/\sqrt{3}$。

最优 NTF 设计（含极点）

通过数值搜索（在 OSR=128 条件下），最优 NTF 的分母为：

$$A(z)=1-0.5z^{-1}+0.16z^{-2}$$ $$NT{F}_{opt}(z)=\frac{(1-e^{j{\omega }_{opt}}{z}^{-1})(1-e^{-j{\omega }_{opt}}{z}^{-1})}{1-0.5z^{-1}+0.16z^{-2}}$$

与标准 MOD2 的 SQNR 对比（图 3.25）

参数	标准 MOD2	最优 NTF	改善
NTF 零点	$z=1$（二阶）	$z=e^{\pm j{\omega }_{opt}}$	—
NTF 极点	无（$z=0$）	$A(z)$ 的根	—
峰值 SQNR @ OSR=128	~88 dB	~94 dB	+6 dB
SQNR 曲线线性度	大信号饱和明显	更线性	好
最大输入	~ -5 dBFS	~ -2 dBFS	摆幅增大

注意：零点分裂理论预测仅 3.5 dB 改善，额外约 2.5 dB 来自极点优化带来的更优 NTF 形状。

最优 NTF 的 SQNR 曲线特性

图 3.25 的最优 NTF SQNR 曲线具有两个重要特征：

1. 更线性：在很大幅度范围内 SQNR 近似线性增长
2. 更高峰值：峰值 SQNR 约 94 dB vs 标准 MOD2 的 ~88 dB（OSR=128，双电平量化器）
3. 更晚饱和：输入接近满幅（约 -2 dBFS）时才出现饱和，标准 MOD2 在 -5 dBFS 即饱和

这意味着最优 NTF 不仅提高了峰值 SQNR，还增加了可用输入范围。

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数学推导

零点分裂后 NTF 的带内噪声计算

$$|NTF(e^{j\omega }){|}^2=|(1-e^{j{\omega }_0}{e}^{-j\omega })(1-e^{-j{\omega }_0}{e}^{-j\omega }){|}^2=|e^{-j2\omega }(e^{j\omega }-e^{j{\omega }_0})(e^{j\omega }-e^{-j{\omega }_0}){|}^2$$ $$=16{\sin }^2\left(\frac{\omega -{\omega }_0}{2}\right){\sin }^2\left(\frac{\omega +{\omega }_0}{2}\right)\approx ({\omega }^2-{\omega }_0^2{)}^2(\omega ,{\omega }_0\ll 1)$$

广义结构的 STF/NTF 一般公式

$$\frac{V(z)}{U(z)}=\frac{b_1+b_2(1-z^{-1})+b_3(1-z^{-1}{)}^2}{1+a_1(1-z^{-1})+a_2(1-z^{-1}{)}^2+a_3(1-z^{-1}{)}^3}$$

展开后得到前文的 $B(z)$ 和 $A(z)$。注意分母中 $(1-z^{-1})$ 的幂次对应反馈系数路径的积分器级数。

$a_3$ 为何不增加带内零点

NTF 的零点由前向路径的零点决定。在图 3.24 中，前向路径是两个积分器级联，始终提供 $(1-z^{-1}{)}^2$ 的零点。$a_3$ 影响的是分母（极点），不增加新的零点。因此 NTF 的带内零点始终保持为 2 个（除非在前向路径中增加谐振器，如 Ch.11 BP-ΔΣ 中的 CRFB 结构）。

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关键洞察

1. NTF 零点分裂是 ΔΣ 设计中最重要的自由度之一：将零点从 dc 移动到通带内的优化位置可显著提高 SQNR
2. 3.5 dB 的 SQNR 提升近似与 OSR 无关：零点优化在任意 OSR 下都有效
3. 最优 NTF 包含极点：$A(z)=1-0.5z^{-1}+0.16z^{-2}$ 是特定场景（OSR=128）的数值解，实际设计需针对目标 OSR 重新优化
4. 广义结构提供了理论完整性和设计灵活性的框架：但实际实现中通常只使用 CIFB 或 CIFF 结构（Ch.4.7）
5. 结构 vs NTF 是正交的设计维度：先确定目标 NTF（通过零点/极点优化），再选择拓扑来实现 —— 这是 Ch.4 系统化设计方法的基础

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参考文献

1. S. Pavan, R. Schreier, and G. C. Temes, Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §3.5. IEEE Press/Wiley, 2017.
2. R. Schreier, “An empirical study of high-order single-bit delta-sigma modulators,” IEEE Trans. Circuits Syst. II, vol. 40, no. 8, pp. 461-466, 1993.
3. S. R. Norsworthy, R. Schreier, and G. C. Temes, Delta-Sigma Data Converters: Theory, Design, and Simulation. IEEE Press, 1997. （NTF 零点/极点优化的经典参考）

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相关页面

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