Pavan 2018: Improved Chopping in CT-ΔΣ Converters Using FIR Feedback and N-Path Techniques

来源: S. Pavan, “Improved Chopping in Continuous-Time Delta–Sigma Converters Using FIR Feedback and N-Path Techniques,” IEEE TCAS-II, vol. 65, no. 5, pp. 552-556, May 2018.

基本信息

项目	内容
期刊	IEEE TCAS-II (Express Briefs)
年份	2018
作者	Shanthi Pavan (IIT Madras)
领域	CT-ΔΣ 调制器中斩波 + FIR 反馈 + N-Path 技术的组合
DOI	10.1109/TCSII.2018.2820017

论文定位

本文提出将 N-Path 斩波与 FIR 反馈 DAC 相结合，使 CT-ΔΣ 调制器中 OTA 的斩波频率可以大幅降低至 $f_{s} / (2 MN)$ ，同时避免单独使用任一技术时的局限性。

核心贡献：

N-Path 斩波的 LPTV 系统分析：奇数 N 可产生 $2 N$ 个唯一区间，等效将斩波频率提升 N 倍
N-Path + FIR 组合：8-tap FIR + 9-path 斩波 = 等效 72-tap FIR DAC，但布局复杂度大幅降低
DC 增益改善：N-Path 斩波使 OTA DC 增益提升 $20 lo g (N)$ dB
Monte Carlo 验证：10% 路径失配下最差 SNDR ~97 dB（vs 理论 106 dB）

初学者提示：本文是一篇精简的 Express Brief（仅 5 页），但涉及 LPTV 系统、N-Path 技术和 FIR DAC 三个核心概念的组合。建议先阅读失调消除技术和 CT-ΔΣ时钟抖动缓解与FIR反馈DAC 了解基础。

逐节深度解析

Section I: Introduction — 斩波在 CT-ΔΣ 中的挑战

斩波的必要性：CT-ΔΣ 调制器的输入积分器 OTA 中的 $1/ f$ 噪声是低带宽高精度设计的关键瓶颈。斩波（Chopping）是消除 $1/ f$ 噪声的高效手段。

斩波带来的问题：

斩波使积分器变为 线性周期时变（LPTV）系统
成形的量化噪声从 $2 f_{c}$ 的整数倍频率处混叠到信号带内
带外成形噪声功率远大于带内信号（差数十个数量级），即使少量混叠也会严重退化 SNDR

现有方案及其局限：

方案	斩波频率	优势	劣势
高速斩波	$f_{c} = f_{s}$	完全消除混叠	OTA DC 增益↓、线性度↓、失调电流↑
FIR 反馈	$f_{c} = f_{s} / (2 M)$	M-tap FIR 引入谱零点降低混叠	增大 M → STF 峰值↑、面积↑
N-Path 斩波（本文）	$f_{c} = f_{s} / (2 MN)$	进一步降低 $f_{c}$	布局复杂、需精确时钟偏置

低速斩波的四大优势（论文原文列举）：

DC 增益退化更小：斩波使输出寄生电容 $c_{2}$ 形成开关电容电阻 $R_{s w} \propto 1/ (f_{c} \cdot c_{2})$ ， $f_{c}$ 越低 → $R_{s w}$ 越大 → DC 增益越高
沟道电荷失配更小：开关操作频率降低 → 注入的失调电流更小
50% 占空比更容易保证： $f_{c}$ 低 → 上升/下降时间占周期比例更小
毛刺更少：非线性电流激励更少 → 线性度退化更小

Section II: Chopping in CT-ΔΣMs — LPTV 系统分析

关键框图（Fig.1-2）：

CT-ΔΣ 调制器输入积分器中，OTA 以 $f_{c}$ 斩波。积分器处理 $u (t) - v (t)$ ，其中 $v (t)$ 的低频分量近似等于 $u (t)$ ，因此积分器主要处理成形的量化噪声。

LPTV 混叠机制：

斩波使积分器的二维冲激响应 $h (t, τ)$ 具有周期 $T_{c} = 1/ f_{c}$
成形噪声从 $l \cdot 2 f_{c}$ （ $l$ 为整数）频率处混叠到带内
混叠增益由谐波传递函数 $H_{- l} (l ω_{c})$ 决定

FIR 反馈降低混叠（Fig.2）：

M-tap 等系数 FIR DAC 在反馈波形 $v_{1} (t)$ 中引入谱零点于 $f_{s} / M$ 的整数倍
若选择 $f_{c} = f_{s} / (2 M)$ ，则混叠频率恰好落在 FIR 零点上
例： $M = 12$ → $f_{c} = f_{s} /24$ ，混叠信号被大幅衰减

FIR 的局限：进一步降低 $f_{c}$ 必须增大 M，导致：

FIR DAC 面积增大
STF 出现峰值（peaking）
布局复杂度急剧上升

Section III: LPTV Systems and N-Path Chopping — 核心理论

LPTV 系统基础

LPTV 系统由二维冲激响应 $h (t, τ)$ 描述，其中 $h (t, τ) = h (t + T_{c}, τ)$ 。

对复指数输入 $e^{jω t}$ 的响应为：

y (t) = e^{jω t} \int_{0}^{\infty} h (t, τ) e^{- jω τ} d τ = e^{jω t} H (jω, t)

其中 $H (jω, t)$ 是时变增益，也是周期的： $H (jω, t) = H (jω, t + T_{c})$ 。

傅里叶级数展开：

H (jω, t) = l \sum H_{l} (jω) e^{j l ω_{c} t}

谐波传递函数 $H_{l} (jω)$ 量化了从输入频率 $ω$ 到输出频率 $ω + l ω_{c}$ 的增益。

初学者提示：LPTV 系统是理解斩波效应的关键数学工具。对于时不变系统，正弦输入只产生同频率正弦输出；但对于 LPTV 系统，输入频率 $ω$ 会产生 $ω + l ω_{c}$ 的谐波分量。

斩波积分器的特殊对称性

关键观察：Fig.1(b) 中的斩波积分器，虽然 $h (t, τ)$ 的周期是 $T_{c}$ ，但实际上：

h (t, τ) = h (t + T_{c} /2, τ)

物理解释：在斩波周期的两个半周期中，电路对输入”看起来”是一样的（正负输入互换，但差分输出不变）。

频域推论：所有奇数次谐波传递函数为零。因此，成形噪声仅从 $2 f_{c}$ 的整数倍处混叠到带内。

N-Path 斩波原理

结构（Fig.3）：

$N$ 个 sub-OTA，每个以相同频率 $f_{c}$ 斩波
相邻 sub-OTA 的斩波时钟偏移 $t_{o} = T_{c} / N$
所有 sub-OTA 的输出合并

奇数 N 的优势：

当 N 为奇数时， $T_{c}$ 可被分为 $2 N$ 个唯一区间（每段时长 $T_{c} / (2 N)$ ）
当 N 为偶数时，仅能分为 $N$ 个唯一区间

数学推导（以 N=3 为例）：

每个子区间内电路”看起来完全相同”
因此 $\hat{h} (t, τ) = \hat{h} (t + T_{c} / (2 N), τ)$
频域：仅 $\hat{H}_{2 N} (jω)$ 及其整数倍非零
等效斩波频率提升至 $N \cdot f_{c}$

偶数 N 的退化：

N 为偶数时仅有 $N$ 个唯一区间
等效斩波频率仅提升 $N /2$ 倍
因此论文后续均假设 N 为奇数

N-Path vs 单路径高频斩波对比

特性	N-Path（ $f_{c}$ 斩波 × N 路）	单路径（ $N f_{c}$ 斩波）
等效混叠频率	$2 N f_{c}$	$2 N f_{c}$
总功耗	相同（总 $g_{m}$ 相同）	相同
每次切换的寄生电容	$c_{2} / N$ （仅 1/N）	$c_{2}$ （全部）
DC 增益	$N \times$ 更高	基准
混叠噪声	$N \times$ 更小	基准
DC 增益改善	$20 lo g (N)$ dB	0 dB

物理解释：在 N-Path 设计中，每次斩波边沿仅切换 $1/ N$ 的总寄生电容。等效开关电容电阻 $R_{s w}$ 增大 $N$ 倍 → DC 增益提升 $N$ 倍。

仿真验证（Fig.5）

9-Path OTA（各以 $f_{c}$ 斩波）vs 单路径 OTA（以 $9 f_{c}$ 斩波）
$∣ H_{0} ∣$ （DC 增益）：9-Path 比单路径高 ~19 dB = $20 lo g (9)$
$∣ H_{- 18} ∣$ （混叠增益）：低频几乎相同，高频 9-Path 低 19 dB
解释：混叠由输入寄生 $c_{p 1}$ 决定（电流注入），DC 增益由输出寄生 $c_{p 2}$ 决定（开关电阻）

N-Path 的实际问题

布局挑战：OTA 需精确拆分为 N 个等份，对大 N 不可行
时钟布线：需 N 路不同相位的斩波时钟，时钟偏斜和寄生需严格控制
路径失配：各 sub-OTA 寄生电容失配导致非零 $\hat{H}_{l} (jω)$ （ $l$ 非 N 的整数倍）

Monte Carlo 仿真（Fig.6）：

三阶单比特 CT-ΔΣ，32-Path 斩波
$σ = 10%$ 寄生电容变化（非常保守）
$f_{s} = 6.144$ MHz， $f_{c} = f_{s} /32$ ，信号带宽 24 kHz
理论 SNDR ~106 dB，最差 ~97 dB（仅下降 ~9 dB）
估算： $20 lo g ((1/16) \cdot 3 σ) = 20 lo g (0.1875) \approx - 14.5$ dB → SNDR ≈ 67 + 30.5 ≈ 97.5 dB

Section IV: FIR Feedback and N-Path Chopping — 组合技术

核心思想

单独使用 N-Path 或 FIR 反馈各有局限：

N-Path（大 N）：布局极其复杂
FIR 反馈（大 M）：STF 峰值 + 面积

组合方案（Fig.7）：

N-Path 斩波输入积分器 + M-tap FIR 反馈 DAC
斩波频率： $f_{c} = f_{s} / (2 MN)$
FIR 零点在 $f_{s} / M$ 整数倍处，N-Path 将有效斩波频率提升至 $N f_{c}$

设计实例：

目标： $f_{c} = f_{s} /144$
传统方案 A：72-tap FIR DAC（单路径斩波）→ 面积巨大、STF 严重峰值
传统方案 B：144-Path 斩波（无 FIR）→ 布局不可行
本文方案：8-tap FIR + 9-Path 斩波 → $2 \times 8 \times 9 = 144$ ✓

仿真结果（Fig.8）

四组设计对比（ $f_{s} = 6.144$ MHz，信号带宽 24 kHz，OSR=128， $f_{c} = f_{s} /144 = 42.67$ kHz）：

配置	带内 SNDR	说明
理想 CT-ΔΣ（无斩波）	~107 dB	参考上限
单路径斩波 $f_{c} = f_{s} /144$ ，无 FIR	73 dB	严重混叠
单路径斩波 + 8-tap FIR	92 dB	FIR 将步长缩小 8× → 混叠减 ~18 dB
9-Path 斩波 + 8-tap FIR（本文）	~107 dB	几乎恢复理想性能

初学者提示：这篇论文的核心启示是”两个各有局限的技术组合后，局限性互相抵消”。FIR 减少了需要的路径数 N，N-Path 减少了需要的 FIR 抽头数 M，实现 $1 + 1 > 2$ 的效果。

Section V: Conclusion — 总结

N-Path 斩波：以低物理斩波频率实现高等效斩波频率
FIR 反馈：M-tap FIR 允许斩波频率降至 $f_{s} / (2 M)$
组合： $f_{c} = f_{s} / (2 MN)$ ，继承两者优势，消除各自劣势
仿真验证：8-tap FIR + 9-Path = 理想性能， $f_{c}$ 低至 42.67 kHz

关键参考文献

引用	内容
[1] Welland 1991	$f_{s}$ 速率斩波专利
[2] Billa 2016 ISSCC	FIR 反馈 + 斩波，280μW 98.5dB SNDR
[3] Billa 2017 JSSC	斩波 + FIR 反馈的完整分析与设计
[4] Pavan 2017 TCAS-I	斩波积分器分析
[5] Jiang 2017 ISCAS	CT-ΔΣ 中的斩波技术
[6] Pavan/Schreier/Temes 2e	ΔΣ 数据转换器教材
[7] Zadeh 1950	LPTV 系统频率分析经典论文
[9] Sukumaran 2014 JSSC	FIR 反馈低功耗设计（Sukumaran 2014 Single-Bit FIR Feedback Audio CTDSM 深度解析）

交叉引用表

本文概念	Wiki 页面
斩波技术基础	失调消除技术
FIR 反馈 DAC	CT-ΔΣ时钟抖动缓解与FIR反馈DAC
CT-ΔΣ 调制器	CT-ΔΣ调制
LPTV 系统理论	本文新概念（见概念页）
N-Path 斩波	本文新概念（见概念页）
16-bit 音频设计实例	16-bit音频CT-ΔΣ调制器设计实例

公式速查表

公式	含义
$f_{c} = f_{s} / (2 M)$	传统 FIR M-tap 允许的最小斩波频率
$f_{c} = f_{s} / (2 MN)$	N-Path + FIR 组合允许的最小斩波频率
$H (jω, t) = \sum_{l} H_{l} (jω) e^{j l ω_{c} t}$	LPTV 系统时变增益傅里叶展开
$y (t) = \sum_{l} H_{l} (jω) e^{j (ω + l ω_{c}) t}$	LPTV 对复指数的响应
$20 lo g (N)$ dB	N-Path 斩波的 DC 增益改善
$\hat{h} (t, τ) = \hat{h} (t + T_{c} / (2 N), τ)$	奇数 N 时的冲激响应周期（ $2 N$ 个唯一区间）
$20 lo g ((1/ N) \cdot 3 σ)$	失配导致的残余混叠误差估算

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