CT-ΔΣ N-Path 斩波与 FIR 反馈组合技术

将 N 个相位偏移的斩波路径与 FIR 反馈 DAC 相结合，在保持低物理斩波频率的同时，实现高等效斩波频率和低混叠噪声。

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核心思想

在 CT-ΔΣ 调制器的输入积分器中：

1. 斩波消除 OTA 的 $1/f$ 噪声，但使成形噪声从 $2f_c$ 整数倍处混叠到带内
2. FIR 反馈在反馈波形中引入谱零点，降低混叠源的强度
3. N-Path 斩波将 $N$ 个 sub-OTA 以相位偏移 $T_c/N$ 并行斩波，等效将斩波频率提升 $N$ 倍

组合效果：斩波频率可降至 $f_c=f_s/(2MN)$，而无需巨大的 FIR DAC（大 $M$）或不可行的布局（大 $N$）。

初学者提示：理解本技术需要三个前置知识：(1) 斩波原理（见 失调消除技术）；(2) FIR 反馈 DAC 原理（见 CT-ΔΣ时钟抖动缓解与FIR反馈DAC）；(3) LPTV 系统基础（见下方详解）。

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详细技术内容

1. LPTV 系统分析框架

斩波积分器是线性周期时变（Linear Periodically Time-Varying）系统。

二维冲激响应：$h(t,\tau )$ — 输入在 $t-\tau$ 时刻施加冲激，在 $t$ 时刻观察输出。周期性：$h(t,\tau )=h(t+T_c,\tau )$。

时变增益的傅里叶展开：

$$H(j\omega ,t)=\sum _l{H}_l(j\omega )e^{jl{\omega }_{c}t}$$

谐波传递函数（Harmonic Transfer Functions, HTF）：$H_l(j\omega )$ 量化从输入频率 $\omega$ 到输出频率 $\omega +l{\omega }_c$ 的增益。

LPTV 对复指数的响应：

$$y(t)=\sum _l{H}_l(j\omega )e^{j(\omega +l{\omega }_c)t}$$

对斩波积分器的特殊性质：

• 单路径斩波积分器：$h(t,\tau )=h(t+T_c/2,\tau )$（半周期对称）
• 所有奇数次 HTF 为零 → 混叠仅来自 $2f_c$ 整数倍

2. N-Path 斩波原理

结构：

• $N$ 个 sub-OTA（每个阻抗缩放 $N$ 倍），总跨导不变
• 各 sub-OTA 以相同 $f_c$ 斩波，相邻时钟偏移 $t_o=T_c/N$
• 所有输出合并

奇数 N vs 偶数 N：

特性	奇数 N	偶数 N
唯一区间数	$2N$	$N$
等效斩波频率提升	$N$ 倍	$N/2$ 倍
冲激响应周期	$T_c/(2N)$	$T_c/N$
非零 HTF	${\hat{H}}_{\pm 2N},{\hat{H}}_{\pm 4N},\dots$	${\hat{H}}_{\pm N},{\hat{H}}_{\pm 2N},\dots$

初学者提示：奇数 N 优于偶数 N 的原因在于：奇数 N 时，在任意时刻，N 个 sub-OTA 的斩波状态组合都是唯一的（形成 $2N$ 个不同状态），而偶数 N 时某些状态重复。

3. N-Path 的性能优势

DC 增益改善：

$$\Delta A_{DC}=20\log (N)\text{ dB}$$

物理原因：每次斩波边沿仅切换 $1/N$ 的总输出寄生电容 $c_{p2}$，等效开关电容电阻增大 $N$ 倍。

混叠噪声减小：

• 每次斩波边沿注入虚拟地的电流减小 $N$ 倍（因为切换的 $c_{p1}$ 减小 $N$ 倍）
• DC 增益增大 $N$ 倍
• 两者效果抵消后，低频混叠增益与单路径高频斩波几乎相同
• 高频混叠增益额外降低 $20\log (N)$ dB

4. 与 FIR 反馈的组合

FIR 反馈原理（回顾 CT-ΔΣ时钟抖动缓解与FIR反馈DAC）：

• M-tap 等系数 FIR DAC 在 $f_s/M$ 整数倍处引入谱零点
• 选择 $f_c=f_s/(2M)$，使混叠频率落在 FIR 零点上

组合公式：

$$f_c=\frac{f_s}{2MN}$$

等效关系：

方案	参数	复杂度
纯 FIR（单路径斩波）	$M_{eff}=MN$ tap	STF 峰值 + 大面积
纯 N-Path（无 FIR）	$N_{eff}=2MN$ path	布局不可行
FIR + N-Path（本文）	$M$ tap + $N$ path	适中

设计实例：

• $f_s=6.144$ MHz，$f_B=24$ kHz，OSR = 128
• 目标：$f_c=42.67$ kHz $=f_s/144$
• 本文方案：8-tap FIR + 9-Path → $2\times 8\times 9=144$ ✓
• 等效于：72-tap FIR 单路径 或 144-Path 无 FIR

5. 路径失配的影响与鲁棒性

失配机制：sub-OTA 寄生电容 $c_{p1}$、$c_{p2}$ 的失配导致非零 ${\hat{H}}_l(j\omega )$（$l$ 不是 $2N$ 的整数倍），产生额外混叠。

残余误差估算：

• $N$ 路径中，每次仅切换 $1/((N-1)/2)$ 的总寄生
• 完美匹配时这些电流在信号带内完全抵消
• 失配时残余误差约为 $20\log ((1/((N-1)/2))\cdot 3\sigma )$ dB

Monte Carlo 结果（32-Path, $\sigma =10\%$）：

• 理论 SNDR：~106 dB
• 最差情况：~97 dB（仅降 ~9 dB）
• 结论：N-Path 斩波对路径失配相当鲁棒

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设计约束与折衷

设计参数	约束	影响
$N$ 必须为奇数	否则等效频率仅提升 $N/2$	选择 $N=3,5,7,9,\dots$
Sub-OTA 匹配	$\sigma <10\%$ 可接受	输入寄生 $c_{p1}$ 匹配最关键
时钟偏斜	N 路时钟需精确 $T_c/N$ 偏移	布线寄生需严格控制
FIR 抽头数 $M$	不宜过大（STF 峰值）	$M\le 12$ 为宜
总等效 $2MN$	受限于目标 $f_c$ 和 $f_s$	典型值 32-144

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与已有知识联系

概念	关系
失调消除技术	斩波是失调/1/f消除的主要手段，N-Path 是斩波的改进
CT-ΔΣ时钟抖动缓解与FIR反馈DAC	FIR 反馈 DAC 的矩方法理论
CT-ΔΣ调制	CT-ΔΣ 调制器整体框架
16-bit音频CT-ΔΣ调制器设计实例	12-tap FIR DAC 的实际应用案例
Pavan 2018 N-Path Chopping FIR Feedback 深度解析	本概念的来源论文详解

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参考文献

1. S. Pavan, “Improved Chopping in Continuous-Time Delta–Sigma Converters Using FIR Feedback and N-Path Techniques,” IEEE TCAS-II, 2018.
2. S. Billa, A. Sukumaran, and S. Pavan, “A 280μW 24kHz-BW 98.5dB-SNDR chopped single-bit CTDSM,” ISSCC, 2016.
3. S. Billa, A. Sukumaran, and S. Pavan, “Analysis and design of continuous-time delta–sigma converters incorporating chopping,” JSSC, 2017.
4. S. Pavan, “Analysis of chopped integrators, and its application to CT-ΔΣ modulator design,” TCAS-I, 2017.
5. L. A. Zadeh, “Frequency analysis of variable networks,” Proc. IRE, 1950.（LPTV 经典论文）
6. K. Thompson et al., “Segmented chopping amplifier,” U.S. Patent 10 687 416, 2004.（N-Path 斩波专利）