Avallone 2021 TCAS1 BB-DPLL PN Analysis 深度解析

Luca Avallone（UCD）、Mario Mercandelli、Alessio Santiccioli、Michael Peter Kennedy、Salvatore Levantino、Carlo Samori（Politecnico di Milano）在 IEEE TCAS-I 2021 上提出了 BB-DPLL 的最全面相位噪声分析模型。关键创新：（1）基于非线性映射推导的时域抖动闭式表达式（Eq.12），与仿真误差 < 1%（vs 文献 [12] 的 12.3%–50%+ 误差）；（2）单时钟域时变模型（Fig.5）正确计入分频器下采样导致的频谱折叠效应（Eq.19）；（3）输出/输入相位噪声 PSD 的全闭式表达式（Eq.46–47），在所有工作模式（参考主导、DCO 主导、可比）下与仿真完美匹配；（4）基于测量结果的实验验证（Fig.10）。

---

基本信息

属性	值
标题	A Comprehensive Phase Noise Analysis of Bang-Bang Digital PLLs
作者	L. Avallone, M. Mercandelli, A. Santiccioli, M. P. Kennedy, S. Levantino, C. Samori
机构	University College Dublin (UCD) / Politecnico di Milano
期刊	IEEE Transactions on Circuits and Systems—I: Regular Papers, Vol.68, No.7, July 2021
类型	纯理论分析（无芯片实现，基于行为仿真 + 公开测量验证）

---

vs 已有来源定位

维度	Zanuso 2009 [BBPD]	Marucci 2014 [BB-PLL]	Kuan/Liu 2016 [ALGC]	Avallone 2021 [综合分析]
分析方法	线性化 + 仿真	线性化 + 仿真	时间序列分析	非线性映射 + 时变离散时间模型
BBPD 增益	仅 DCO 噪声 [20] / 仅 REF 噪声 [21]	迭代数值求解	闭式（REF+DCO） Eq.10	闭式（REF+DCO） Eq.9+12
抖动预测误差	无闭式	无闭式	< 5%（仿真验证）	< 1%（所有工作条件）
相位噪声谱	无	连续时间近似 [11]	无	全闭式时变谱 Eq.46–47
频谱折叠效应	忽略	忽略	忽略	计入（δ^[h] 序列 Eq.19）
实验验证	无	无	有（270fs jitter）	基于 [17] 测量数据验证 Fig.10

---

§I. 引言：现有 BB-DPLL 噪声分析的局限

核心目标

为 BB-DPLL 设计者提供精确的相位噪声谱闭式预测工具，加速设计空间探索。

现有工作的不足

工作	局限
[6–9]	仅估计有效 BPD 增益和输入参考抖动方差
[10]	离散时间模型较准确，但 BPD 增益估计不足，仅适用于参考噪声主导情形
[11]	连续时间模型 + 仅考虑 DCO 随机游走噪声
[12]（最先进）	同时考虑 REF + DCO 噪声，但连续时间近似导致抖动估计和相位噪声谱不准确

本文的突破

1. 输入参考抖动：由 DPLL 非线性映射的线性时域分析推导（非 PSD 积分）
2. 相位噪声谱：离散时间域模型，计入时间变化效应（DPLL 多速率固有属性）

---

§II. 线性化 BB-DPLL 模型

多速率时域模型（Fig.2）

参考域（慢时钟，fr）          DCO 域（快时钟，fv=N·fr）
┌──────────┐   上采样+ZOH   ┌──────────┐
│ PI DLF   │ ──────────→  │ DCO (KT) │ ─→ tv[h] ─→ ÷N ─→ td[k]
│ β+α/(1-z⁻¹)│              │ + Tv0[h]  │
└──────────┘              └──────────┘
     ↑                         │
     │  ε[k]=sign(Δt[k])       │ t'v[h]
     └────── [BPD] ←──────────────┘
                    ↑
                tr[k] (参考时钟)

• 慢时钟域：同步于参考频率 $f_r$
• 快时钟域：运行于 DCO 频率 $f_v=N{f}_r$
• DLF 输出：上采样 + 零阶保持（ZOH） → 慢→快时钟域转换

线性化 BPD 模型

BBPD 的 sign(·) 非线性 → 线性等效：

$$\epsilon [k]=\text{sign}(\Delta t[k])=K_{\text{BPD}}\cdot \Delta t[k]+q[k]\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中线性化增益为最小化量化误差功率的最优值：

$$K_{\text{BPD}}=\frac{E[\epsilon [k]\cdot \Delta t[k]]}{E[\Delta t[k{]}^2]}\text{\hspace{1em}(2)}$$

对高斯分布求解：

$$K_{\text{BPD}}=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\cdot \frac{1}{{\sigma }_{\Delta t}}\text{\hspace{1em}(9)}$$

量化噪声方差：

$${\sigma }_q^2=1-K_{\text{BPD}}^2\cdot {\sigma }_{\Delta t}^2=\frac{\pi -2}{\pi }\text{\hspace{1em}(11)}$$

---

§III. 抖动分析（核心贡献 1）

时域递推方程

从 Fig.2 模型推导分频器时间戳的递推关系：

$$t_d[k+1]=t_d[k]+\sum _{h=Nk+1}^{N(k+1)}\left\{T_{v0}[h]+K_T(\beta \epsilon [k]+\psi [k])\right\}\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $\psi [k]=\psi [k-1]+\alpha \epsilon [k]$ 为 DLF 积分路径输出。

稳态下（$\alpha \ll \beta$，忽略 $\psi$ 影响）：

$$\Delta t[k+1]=\Delta t[k]\cdot (1-\chi )+(t_r[k+1]-t_r[k])-\frac{\chi }{K_{\text{BPD}}}q[k]-\sum _{h=Nk+1}^{N(k+1)}{T}_{v0}[h]\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中 $\chi =N\beta K_T{K}_{\text{BPD}}$。

稳态方差：

$${\sigma }_{\Delta t}^2=\frac{2}{2-\chi }{\sigma }_{t_r}^2+\frac{\chi }{2-\chi }\cdot \frac{{\sigma }_q^2}{K_{\text{BPD}}^2}+\frac{N}{\chi (2-\chi )}{\sigma }_{T_{v0}}^2\text{\hspace{1em}(8)}$$

闭式抖动表达式

代入 K_BPD 和 σ_q²：

$$\boxed{{\sigma }_{\Delta t}=\frac{\eta }{2}+\sqrt{{\left(\frac{\eta }{2}\right)}^2+{\sigma }_{t_r}^2}}\text{\hspace{1em}(12)}$$

其中：

$$\boxed{\eta =\sqrt{\frac{\pi }{2}}\cdot \left(\frac{{\sigma }_{T_{v0}}^2}{2\beta K_T}+\frac{N\beta K_T}{2}\right)}\text{\hspace{1em}(13)}$$

最优比例增益

$$\boxed{{\beta }_{\text{opt}}=\frac{{\sigma }_{T_{v0}}}{K_T\sqrt{N}}}\text{\hspace{1em}(14)}$$

• 与参考噪声无关（与 Kuan/Liu 2016 Eq.15 一致）
• 仅取决于 DCO 周期抖动和 DCO 增益

精度验证（Table I）

Case	条件	Eq.(12) 误差 vs 仿真	[12] 误差 vs 仿真
(a)	参考噪声主导	< 1%	12.3%
(b)	理想参考（DCO 主导）	< 1%	> 50%
(c)	可比噪声	< 1%	~20%
(d)	中等	< 1%	12.3%

Fig.4：β 参数扫描下，Eq.(12) 与仿真完美匹配，而 [12] 和连续时间近似（Appendix C）均有显著误差。

---

§IV. 相位噪声谱分析（核心贡献 2）

时变模型（Fig.5）

关键创新：单时钟域（DCO 域）时变模型，正确计入：

• 分频器下采样引起的频谱折叠
• 通过 ${\delta }^{△}[h]$ 序列（Eq.19）建模

前向路径传递函数

$$H_{fw}(z)=K_{\text{BPD}}{K}_T\left(\beta +\frac{\alpha }{1-z^{-N}}\right)\frac{1-z^{-N}}{1-z^{-1}}\frac{1}{1-z^{-1}}\text{\hspace{1em}(18)}$$

下采样与频谱折叠

$${\delta }^{△}[h]=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }\delta [h-Nm]=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{j\frac{2\pi }{N}nh}\text{\hspace{1em}(19)}$$

下采样后的 z 变换：

$$t_d[z]=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{t}_v^{\prime }\left(z{e}^{j\frac{2\pi }{N}n}\right)\text{\hspace{1em}(21)}$$

这意味着在 $\pm f_v/2$ Nyquist 频带内有 N 个相同副本，分别由 $t_v^{\prime }(z)$ 频移 $n{f}_r/2$ 后叠加。

关键传递函数定义

$${\bar{G}}^{△}(z)=\frac{1}{1+[H(z){]}^{△}},H(z)=H_{fw}(z)A(z)\text{\hspace{1em}(26,30)}$$ $$G^{△}(z)=\frac{H(z)}{1+[H(z){]}^{△}}\text{\hspace{1em}(33)}$$

其中 $[g(z){]}^{△}=\frac{1}{N}{\sum }_{n=0}^{N-1}g(z{e}^{j\frac{2\pi }{N}n})$（折叠算子）。

全噪声贡献 PSD

BPD 输入参考相位噪声：

$$\boxed{S_{\varphi \Delta t,\text{tot}}(f)=\left(S_{{\varphi }_{\text{ref}}}+\frac{|[H(z){]}^{△}{|}^2\cdot (2\pi f_r{)}^2}{K_{\text{BPD}}^2}{S}_q+\frac{1}{N^2}\sum _{n=0}^{N-1}{S}_{{\varphi }_{\text{dco}}}(f-n{f}_r)\right)\cdot |{\bar{G}}^{△}(z){|}^2}\text{\hspace{1em}(46)}$$

DPLL 输出相位噪声：

$$\boxed{S_{{\varphi }_v,\text{tot}}(f)=\left(S_{{\varphi }_{\text{ref}}}+\frac{(2\pi f_r{)}^2}{K_{\text{BPD}}^2}{S}_q\right)\cdot |G^{△}(z){|}^2+S_{{\varphi }_{\text{dco}}}(f)\cdot {\left|1-\frac{G^{△}(z)}{N}\right|}^2+|G^{△}(z){|}^2\cdot \frac{1}{N^2}\sum _{n=1}^{N-1}{S}_{{\varphi }_{\text{dco}}}(f-n{f}_r)}\text{\hspace{1em}(47)}$$

噪声贡献分解（Fig.6）

三种工作模式的匹配验证：

Case	主导噪声	关键观察
(a)	参考噪声主导	带内 PSD = $S_{{\varphi }_{\text{ref}}}$，[12] 在带内偏差 ~2 dB
(b)	DCO 噪声主导	DCO 折叠副本清晰可见，[12] 严重低估
(c)	可比噪声	所有贡献相当，本文完美匹配仿真

假设验证

• 白量化噪声（Fig.7）：仿真量化噪声谱平坦 → Eq.(17) $S_q={\sigma }_q^2/f_r$ 合理
• 高斯 $\Delta t$ 分布（Fig.8）：仿真直方图与高斯 PDF（Eq.12 方差）完美匹配

忽略频谱折叠的后果（Fig.9）

不包含频谱折叠的模型（Appendix B）在 DCO 噪声主导时导致的相位噪声谱预测严重失真。

测量验证（Fig.10）

基于 Levantino [17] 的宽带分数-N PLL（等效整数-N）三组滤波器设置：

• $f_r=40$ MHz, $N=90$
• 提取参数：${\sigma }_{t_r}=1157$ fs, ${\sigma }_{T_{v0}}=7.34$ fs, $K_T=65.20$ fs
• 三组 $(\beta ,\alpha )$ 设置下，Eq.(47) 预测与测量完美吻合

---

关键结论与公式汇总

设计流程意义

1. 给定系统参数（$N,f_r,K_T,\beta ,\alpha$）和噪声参数（$S_{{\varphi }_{\text{ref}}},S_{{\varphi }_{\text{dco}}}(\Delta f)$）
2. 用 Eq.(12)–(13) 计算 ${\sigma }_{\Delta t}$
3. 用 Eq.(9) 计算 $K_{\text{BPD}}$
4. 用 Eq.(11) 计算 ${\sigma }_q^2$ → $S_q$
5. 用 Eq.(46)–(47) 预测完整输入/输出相位噪声谱
6. 快速参数扫描找到最优设计点

与 [12] 的根本性差异

方面	[12]（连续时间）	本文（离散时变）
${\sigma }_{\Delta t}$ 推导	PSD 积分 → 误差大	非线性映射时域分析 → 误差 < 1%
DCO 噪声贡献因子	Eq.(57) 缺因子 2	Eq.(12) 精确
量化噪声贡献	低估	Eq.(11) 精确
频谱折叠	忽略	δ^[h] 序列精确建模
传递函数	连续时间 s 域	离散时间 z 域 + 折叠算子

---

双向链接

概念页：

• Bang-Bang PFD 原理与非线性 — BPD 线性化增益 Eq.(9)、量化噪声 Eq.(11)
• DPLL 环路架构与行为 — 多速率模型、PI DLF
• PLL 相位噪声与抖动分析 — 时变模型、频谱折叠、闭式 PSD 表达式
• ΔΣ 调制器基础 — 量化噪声 PSD 模型相关

实体页：

• Salvatore Levantino — 通讯作者之一，BB-DPLL 噪声分析权威
• Carlo Samori — 资深作者

演进关系：

• Kuan Liu 2016 JSSC BB-PLL ALGC 深度解析 — 前序闭式 BBPD 增益推导，本文进一步精化
• Seong UNIST KAIST 2019 JSSC FPEC DPLL 深度解析 — FPEC 实现在数值上验证了 BB-DPLL 噪声模型
• Hwang KAIST 2022 JSSC PDS-ΔΣM Fractional-N DPLL 深度解析 — 分数-N 扩展，仍需参考 BB-DPLL 基础模型
• Kang Liu 2023 JSSC FPC DCDL DPLL 深度解析 — 继承时域噪声分析方法论