开关电容积分器与 SC 滤波器

概述

EE247 Lecture 9-10 详细介绍了开关电容（Switched-Capacitor, SC）滤波器。SC 技术用开关和电容替代电阻，实现精确的时间常数控制（精度决定于时钟频率和电容比，而非 RC 绝对值），是现代混合信号 IC 中离散时间滤波器的主流实现方式。

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SC 电阻等效原理

• 基本思想：开关电容以 f_s 频率在两个节点间转移电荷 → 等效电阻
• $R_{eq}=1/(f_s\cdot C_s)$
• 例：C_s = 1pF, f_s = 10MHz → R_eq = 100kΩ
• 等效时间常数的精度 = 电容比的精度 × 时钟精度（晶体振荡器 → ppm 级）

SC 积分器基本结构

两相非交叠时钟

• φ1：采样相（Cs 充电到 V_in）
• φ2：积分相（Cs 电荷转移到 CI）
• 传递函数：$V_o(z)=(C_s/C_I)\cdot V_{i}n(z)\cdot z^{-1/2}/(1-z^{-1})$

DDI（Direct Discrete Integrator）积分器

• 传递函数：$H_{DDI}(z)=\frac{C_s}{C_I}\cdot \frac{1}{z-1}$
• z→s 映射（双线性变换）：$s\to \frac{2}{T_s}\cdot \frac{z-1}{z+1}$
• 幅频响应：$|H_{DDI}(j\omega )|\approx \frac{C_s}{C_I}\cdot \frac{1}{\omega T_s}\cdot \frac{\omega T_s/2}{\sin (\omega T_s/2)}$

DDI 幅相误差（与理想连续时间积分器对比）

• f/f_s = 1/12 → 幅度误差 0.1dB, 相位误差 15°, Q_int = -3.8
• f/f_s = 1/32 → 幅度误差 0.014dB, 相位误差 5.6°, Q_int = -10.2
• 主要问题：相位误差。SC 积分器的 Q 取决于 f/f_s，限制了最大可用信号频率

其他 SC 积分器类型

• 无延迟积分器（Lossless Discrete Integrator）
• 前向欧拉（Forward Euler）
• 反向欧拉（Backward Euler）
• 双线性变换积分器（Bilinear Integrator）

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寄生不敏感 SC 积分器

结构要点：

• 底极板采样（Bottom-Plate Sampling）：采样开关连接到底极板（远离运放输入端）
• 所有寄生电容耦合到地或低阻抗节点 → 不影响电荷转移
• 全差分结构进一步抑制共模噪声

设计考量：

• 最小电容尺寸受 kT/C 噪声限制（噪声与匹配）
• 运放要求：建立时间 << T_s/2、增益 > 80dB（高精度）
• 开关尺寸：权衡导通电阻 R_on 与电荷注入/时钟馈通

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SC 滤波器设计流程

1. 连续时间原型：根据规格确定滤波器类型（Butterworth/Chebyshev/Elliptic）和阶数
2. s→z 变换：双线性变换（预畸变补偿频率偏移）或脉冲不变变换
3. SC 实现：将 z 域传递函数映射到 SC 积分器网络
4. 电容缩放：按 kT/C 噪声要求确定最小电容
5. 动态范围缩放：优化各积分器输出摆幅

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SC 滤波器噪声

• kT/C 噪声：每个开关在 φ1 相采样时在 C_s 上产生 kT/C_s 噪声
• 噪声折叠：SC 电路是采样系统 → 宽带噪声折叠到基带
• 总输出噪声：$\overline{v_{o,n}^2}=\alpha \cdot \frac{kT}{C_I}$（α 取决于滤波器拓扑和阶数）

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SC vs Gm-C vs Opamp-RC

特性	SC 滤波器	Gm-C 滤波器	Opamp-RC 滤波器
调谐需求	无需（时钟精度）	需要（Gm/C 绝对值）	需要（R/C 绝对值）
频率范围	中低频（<数十MHz）	高频（>10MHz）	中频（<100MHz）
噪声	kT/C 主导	Gm 噪声主导	运放噪声 + kT/C
设计复杂度	高（时钟/开关）	中（Gm 单元线性度）	低
对工艺变化敏感度	低（电容比）	高（绝对值）	高（绝对值）

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双向链接

• 连续时间Gm-C滤波器与片上自动调谐
• 信号流图技术与梯形滤波器设计
• 有源双二次节与积分器型滤波器
• 滤波器基础规格与品质因数
• 集成电路噪声分析
• kTC噪声与模拟动态范围
• 数据转换器基础
• 采样理论基础
• Barkely EE247 课程讲义深度解析
• Allen CMOS Analog Circuit Design 深度解析 — App.E SC 电路

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📘 Allen 3e 补充（Appendix E 开关电容电路系统覆盖）

Allen 3e 的附录 E 将 SC 电路从第 9 章（2e）移至附录并完整保留，覆盖了 EE247 未详细讨论的一些 SC CMFB 和低电压 SC 技术。

SC 电阻模拟（App.E.1）：

• $R_{eq}=1/(f_{s}C)$，精度取决于 $f_s$（晶振 ppm 级）和电容比（0.1-1%）
• 与 EE247 内容互补：EE247 强调 SC 积分器传递函数的 z 域推导，Allen 更关注非理想效应对 $R_{eq}$ 的影响

寄生不敏感 SC 积分器（App.E.2）：

• Allen 给出 完整的寄生电容分析：所有寄生节点被连接至地或低阻抗节点 → 不影响电荷转移
• 反相/同相积分器的完整 z 域传递函数对比

SC CMFB（App.E.4 — Allen 独特贡献）：

• 开关电容共模反馈的原理：无静态功耗，仅开关切换时消耗动态功耗
• 时钟频率需 $\gg$ 信号带宽以最小化 CMFB 输出纹波
• 适用于低功耗全差分 SC 系统

低电压 SC 技术（App.E.5 — Allen 3e 独特内容）：

• 自举开关（Bootstrap Switch）：$V_{GS}$ 恒定与输入电压无关 → 线性度大幅提升
• 时钟倍增：用片上电荷泵产生高于 $V_{DD}$ 的栅控电压
• 这些技术在 $\le 1.8V$ 工艺中尤为关键

SC 滤波器设计实例（App.E.3）：

• 一阶 SC 滤波器 → 双二阶节（Biguad）→ 高阶 SC 滤波器级联
• 包含完整的电容值设计过程（基于 z 域传递函数匹配）

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📘 Baker 3e 补充（Ch.25 SC 积分器的精确频率响应分析与开关设计）

Baker 对 SC 电路的独特贡献在于SC 积分器的精确频率响应分析（包含 $f_s$ 效应）和开关设计的工程细节。

1. SC 积分器精确频率响应（Ch.25）—— Baker 的独特贡献

与 EE247 和 Allen 侧重 z 域传递函数推导不同，Baker 给出了包含采样频率效应的精确幅频响应：

$$|H(e^{j\omega T})|=\frac{C_s}{C_I}\cdot \frac{1}{\omega T_s}\cdot \frac{\omega T_s/2}{\sin (\omega T_s/2)}$$

• 幅度误差源：$\omega T_s/2$ 与 $\sin (\omega T_s/2)$ 之比在 $f/f_s$ 较大时不可忽略
• 相位误差源：SC 积分器的固有相位延迟（约半个采样周期）
• 工程指导：为保证 < 0.1dB 幅度精度，信号频率应 < $f_s/12$

2. 寄生不敏感积分器的开关尺寸设计

Baker 给出开关尺寸的工程选择指导：

• 权衡三角形：导通电阻 $R_{on}$ ↔ 电荷注入 $Q_{ch}$ ↔ 时钟馈通 $C_{ov}$
• 最小开关尺寸：$W/L$ 需满足 $R_{on}{C}_s\ll T_s/2$（保证建立时间）
• 最大开关尺寸：受电荷注入和时钟馈通的精度约束

3. SC 电路的噪声建模（Ch.25）

Baker 提供了 SC 电路的噪声仿真方法：

• 采样噪声（kT/C）：$v_{n,RMS}^2=kT/C_s$，在 SC 积分器中折合到输出
• 运放噪声：$1/f$ 噪声和热噪声通过 SC 网络传输
• 噪声折叠：宽带噪声被采样操作折叠到基带——Baker 给出了定量分析方法

Baker 的 SC 覆盖 vs 其他教材：EE247 强调 SC 积分器的 z 域传递函数、幅相误差和滤波器设计；Allen App.E 覆盖 SC CMFB、低电压 SC 技术（自举开关/时钟倍增）。Baker 的独特价值在于 SC 积分器精确频率响应（含 $f_s$ 效应）和开关尺寸的工程选择指导。

关联页：Baker CMOS 电路设计版图与仿真 深度解析 §25

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📗 Sansen 补充（Ch.17 Switched-Capacitor Filters——从 SC 电阻模拟到开关电流滤波器）

Sansen Ch.17 对 SC 滤波器的覆盖与 EE247 和 Allen App.E 互补，强调从基本原理到高阶滤波器的完整链路，并包含其他教材不涉及的开关电流滤波器。

1. SC 积分器的精确传递函数

Sansen 推导了 SC 积分器的精确 z 域传递函数（包含运放有限增益和带宽的影响）：

$$H(z)=\frac{C_s}{C_I}\cdot \frac{z^{-1}}{1-(1+\frac{C_s}{C_I})z^{-1}}\text{（寄生敏感型）}$$

寄生不敏感积分器（Stray-Insensitive Integrator）是实际 SC 滤波器中最常用的构建块，消除了节点寄生电容的影响。

2. SC 滤波器综合方法

Sansen 覆盖两种 SC 滤波器设计方法：

方法	原理	优点	缺点
LC 梯形仿真法	用 SC 积分器模拟无源 LC 梯形	低灵敏度、大动态范围	设计复杂
双二阶节级联法	一阶和二阶 SC 节级联	设计简单	灵敏度较高

3. 运放的非理想性对 SC 电路的影响——定量分析

Sansen 定量分析运放有限参数对 SC 精度的影响，并给出了可直接用于设计的定量规则。

3.1 有限增益 $A_0$ 的效应

运放有限增益导致 SC 积分器的电荷转移不完全：

$$ϵ\approx \frac{1}{A_0}\cdot \frac{C_s+C_I+C_{in}}{C_I}$$

其中 $C_{in}$ 是运放输入电容。对于典型 SC 积分器（$C_s\approx C_I$），误差约 $ϵ\approx 3/A_0$。为达到 12-bit 精度（$ϵ<0.025\%$），需 $A_0>80$ dB。

有限增益对 SC 滤波器传递函数的影响表现为 z 域极点偏移：

$$H(z)=\frac{C_s}{C_I}\cdot \frac{z^{-1}}{1-(1+ϵ)z^{-1}}$$

其中 $ϵ$ 导致积分器泄漏（本应位于 z=1 的极点向内移动），在低频产生增益误差和相位误差。

3.2 有限 GBW 的效应——建立时间分析

SC 电路的工作速度受限于运放建立时间。在半个时钟周期 $T_s/2$ 内，运放必须完成电荷转移并使输出电压稳定到所需精度。

运放的单极点建立时间常数：$\tau =1/(2\pi GBW)$

对于 SC 积分器，闭环时间常数含有 $C_s$、$C_I$ 和运放 $g_m$ 的贡献：

$${\tau }_{cl}\approx \frac{C_L+C_s{C}_I/(C_s+C_I)}{2\pi GBW\cdot C_I/(C_s+C_I)}$$

简化后，达到 N-bit 精度所需的建立时间：

$$t_{settle}=n\cdot {\tau }_{cl}\text{其中}n=\ln (2^N)=N\cdot \ln 2$$

Sansen 给出的 OTA 设计定量规则：

$$GBW>5\cdot f_s$$

当 $GBW=5f_s$ 时：$t_{settle}\approx 1/(2\pi \cdot 5f_s)\approx 0.032/f_s$，在 $T_s/2$ 内可建立的等效时间常数个数为 $(1/(2f_s))/(1/(2\pi \cdot 5f_s))\approx 15.7$，即约 4 个 $\tau$，对应 8-bit 精度（$e^{-4}\approx 2\%$）。对更高精度需 $GBW>10f_s$。

有限 $GBW$ 还会引起 SC 滤波器的 Q 增强效应：运放的有限带宽使积分器的相移偏离 -90°，在滤波器谐振频率处产生额外的 Q 值误差。

3.3 有限转换速率 SR 的效应

当输入阶跃较大时，运放进入摆率限制模式，大信号建立由 SR 而非 GBW 决定：

$$t_{slew}=\frac{V_{step}}{SR}$$

Sansen 给出的 SR 设计要求：

$$SR>2\pi \cdot GBW\cdot V_{step}$$

该条件保证在阶跃响应中，线性建立区占主导而非摆率限制区。对于 SC 积分器，$V_{step}$ 取积分器输出最大摆幅：

$$SR>2\cdot V_{out,max}\cdot f_s$$

3.4 运放设计参数综合

非理想性	定量影响	Sansen 设计规则
有限增益 $A_0$	电荷转移误差 $ϵ\approx 1/A_0$	$A_0>80$dB（12-bit）
有限 $GBW$	建立时间 $t_{settle}=N\ln 2\cdot {\tau }_{cl}$	$GBW>5f_s$（中精度），$GBW>10f_s$（高精度）
有限 $SR$	大信号建立时间 $t_{slew}=V_{step}/SR$	$SR>2\pi \cdot GBW\cdot V_{step}$ 或 $SR>2V_{out,max}\cdot f_s$
输入噪声	$kT/C$ + 运放热噪声	按 SNR 要求设计 $C_s$
开关 $R_{on}$	$R_{on}{C}_s$ 时间常数	$R_{on}{C}_s\ll T_s/2$

设计流程：给定 $f_s$ 和精度 N-bit → 确定 $GBW>5-10f_s$ → 确定 $C_s$（kT/C 噪声）→ 确定 $g_m=2\pi GBW\cdot C_L$ → 确定尾电流 $I_{TAIL}=g_m\cdot (V_{GS}-V_T)$。

4. 开关电流滤波器（Switched-Current Filters）——Sansen 独有

Sansen 在 Ch.17 末尾覆盖开关电流（SI）滤波器技术：

• 原理：用电流镜替代运放 + SC 网络，利用电流镜像存储电荷
• 优点：无需运放 → 更低功耗，纯 CMOS 工艺兼容
• 缺点：精度受沟道长度调制和时钟馈通影响
• 适用：低电压、低功耗应用

Sansen vs EE247/Allen/Baker：EE247 提供 SC 积分器 z 域分析和二阶滤波器设计；Allen App.E 覆盖 SC CMFB 和低电压 SC 技术；Baker §25 覆盖 SC 精确频响和开关设计。Sansen Ch.17 的开关电流滤波器是其他经典教材均未覆盖的内容。

关联页：Sansen 模拟集成电路设计精粹 深度解析 §17

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📘 Martin 补充（Ch.14 Switched-Capacitor Circuits——寄生不敏感积分器与SC增益电路）

Martin Ch.14 对 SC 电路的覆盖与 EE247、Allen、Baker、Sansen 互补，其独特价值在于寄生不敏感积分器的系统分析（包含完整寄生分析）和SC 增益电路（其他教材较少覆盖）。

1. 寄生不敏感积分器的高阶分析

Martin 对 SC 积分器的分析比其他教材更完整：

• 完整寄生模型：包含底极板寄生 $C_p$、开关寄生、运放输入寄生
• 有限运放增益效应：$V_o(z)=\frac{C_s}{C_I}\cdot V_i(z)\cdot \frac{z^{-1/2}}{1-(1+1/A_0)z^{-1}}$——增益误差分析
• 有限运放带宽效应：$\tau =1/GBW$ 处的建立时间定量分析

2. 相关双采样（CDS）技术

Martin 详细分析了 CDS 技术——这是其他教材覆盖较浅的内容：

• 原理：采样相存储失调/噪声 → 积分相相减消除
• 1/f 噪声抑制：CDS 可将 $1/f$ 噪声转折频率降低 1-2 个数量级
• 应用：高精度 SC 积分器、SC 比较器前置失调消除

3. SC 增益电路

Martin 独特的 SC 增益电路覆盖：

• SC 增益级：$V_o/V_i=C_s/C_I$，精度仅取决于电容比
• 可编程增益：通过开关切换不同电容比实现
• 差分 SC 增益级：全差分结构的共模抑制特性

4. Ch.14 与其他教材对比

维度	Martin Ch.14	EE247	Allen	Baker	Sansen
寄生不敏感积分器	完整寄生模型	z 域传递函数	定性地	开关尺寸	精度分析
CDS 技术	详细分析	—	—	—	—
SC 增益电路	独特覆盖	—	—	—	—
高阶滤波器	设计实例	设计流程	设计流程	—	综合方法

Martin 的独特价值：Ch.14 对 CDS 技术和 SC 增益电路的覆盖是其他经典教材（EE247/Allen/Baker/Sansen）均未详细涉及的内容。其寄生不敏感积分器的完整寄生分析也为实际设计提供了比 EE247 z 域分析更全面的工程视角。

关联页：Martin Analog Integrated Circuit Design 深度解析 §14