连续时间 Gm-C 滤波器与片上自动调谐

概述

EE247 课程在讨论完 Opamp-RC 积分器型滤波器后，引入 Gm-C（跨导-电容）滤波器作为高频连续时间滤波器的首选方案。同时，由于片上 RC 时间常数工艺偏差可达 ±20-30%，必须引入自动调谐电路来校准滤波器的频率响应。

Gm-C 积分器

基本结构

核心：跨导单元（Gm 单元）驱动积分电容 C
传递函数： $H (s) = G_{m} / (s C)$ （与 Opamp-RC 积分器形式相同）
优点：无运放 → 可工作到更高频率（>10MHz），适合射频/中频应用
缺点：线性度受 Gm 单元限制，不如 Opamp-RC

源耦合对（Source-Coupled Pair）Gm 单元

基本结构：

差分对 M1/M2 + 尾电流源 I_SS
差分输出电流 ΔI_d 作为输入电压 Δv_i 的函数

大信号特性：

$Δ I_{d} = I_{SS} \cdot \frac{Δ v _{i} /2}{( I _{SS} / k ^{'} ) + ( Δ v _{i} /2 ) ^{2}}$ ，其中 k’ = μC_ox·W/L
当 Δv_i 增大时，有效 Gm 下降 → 非线性

线性度分析：

三次谐波失真： $H D_{3} = \frac{1}{32} (\frac{v ^ _{i}}{V _{GS} - V _{t h}})^{2}$
三阶互调： $I M_{3} \approx \frac{3}{32} (\frac{v ^ _{i}}{V _{GS} - V _{t h}})^{2}$
例：IM3 @ 1% 时 $\overset{v}{^}_{i, ma x} \approx 230 m V_{r m s}$ （假设 V_GS-V_th = 1V）

改进线性度技术：

源极退化电阻
多栅技术（Multi-tanh）
偏置电流调谐

Gm-C 滤波器的动态范围

6 阶 Butterworth 带通滤波器（Q=10, C=5pF）：
- 总噪声： $v_{n, r m s} \approx 3 \cdot 6 k T / (Q \cdot C_{in t g}) \approx 160 μ V$
- 最大信号：230mV_rms
- 动态范围： $D R = 20 lo g (230 mV /160 μ V) \approx 63 d B$

自动片上调谐（Automatic On-Chip Tuning）

为什么需要调谐

片上 R、C、Gm 的绝对精度通常只有 ±20-30%
但滤波器频率响应要求 ±1-5% 的精度
匹配精度好（相对值可控制到 <0.1%），但绝对值变化大

主-从调谐（Master-Slave Tuning）

基本原理：

Master 电路（通常为 VCO 或参考滤波器）置于 PLL 或 FLL 中锁到精确参考时钟
Slave（目标滤波器）与 Master 使用相同的控制电压
控制电压调整 Gm 或 R 值 → 校准时间常数

PLL 调谐：

Master VCO 结构：环形振荡器（每级为 Gm-C 积分器或 Opamp-RC 积分器）
PLL 锁定 VCO 频率到参考时钟（如晶振 10MHz）
PLL 控制电压同时施加到 Slave 滤波器
优点：频率锁定精度高（与 PLL 带宽相关）
缺点：需要额外的 PLL 电路

频率锁定环（FLL）：

直接从滤波器提取相位/频率信息
与参考时钟比较 → 调整控制电压
比 PLL 简单但精度可能较低

电容阵列调谐

二进制加权电容子带（如 6-bit 电容阵列）
数字控制切换电容值 → 粗调 + 细调
通常与 Gm/R 连续调谐结合使用

调谐精度考量

主-从失配：版图匹配、温度梯度
老化效应：长期漂移
调谐范围：通常设计为覆盖 ±50%（足够覆盖工艺偏差 + 温度变化）

与 Opamp-RC 滤波器对比

特性	Gm-C	Opamp-RC
频率范围	>10MHz（可达 GHz）	<100MHz
线性度	一般（Gm 单元限制）	好（闭环运放）
功耗	低（无运放）	中等
调谐	需要（Gm/C 绝对值变化大）	需要（R/C 绝对值变化大）
面积	较小	较大
设计复杂度	中等	低

双向链接

📗 Sansen 补充（Ch.19 Continuous-time Filters——Active RC/MOSFET-C/Gm-C 系统对比）

Sansen Ch.19 覆盖全部三种连续时间滤波器实现方案（Active RC、MOSFET-C、Gm-C），提供三者系统对比以及MOSFET-C 的详细分析。

1. 三种实现方案对比

方案	线性度	S/N	THD	频率上限	调谐方式
Active RC	极好	可达 100dB	< -90dB	低（受运放限制）	RC 值调整
MOSFET-C	好	80-90dB	< -70dB	中	栅压 VCR
Gm-C	中	60-80dB	< -50dB	高（>10MHz）	Gm 调谐

2. Active RC 滤波器的特点

运放 + R、C 无源元件
运放开环增益在通带内应 ≫ 滤波器 Q 值
RC 绝对值误差约 20% → 需频率调谐
适用于低频高精度应用（THD < -90dB）

3. MOSFET-C 滤波器的独特优势

Sansen 详细分析 MOSFET-C 方案，这是其他教材较少深入讨论的：

MOSFET 作为压控电阻： $R_{o n} = 1/ (μ C_{o x} (W / L) (V_{GS} - V_{T}))$
偶次非线性抵消：差分结构可部分抵消偶次失真
完全抵消：特殊拓扑可同时抵消奇偶非线性（Tsividis JSSC 1986）
调谐方便：通过 $V_{G}$ 连续调谐电阻值

4. Gm-C 滤波器

Sansen 分析 Gm-C 的优缺点：

最高频率：无运放，Gm 单元可工作至 GHz
线性度限制：差分对的线性范围有限（ $\pm V_{o v}$ ）
g_m 偏置调节：通过尾电流控制 g_m 实现频率调谐

5. Sansen vs EE247 的对比

维度	Sansen Ch.19	EE247
Active RC	结构级	二阶节详细设计
MOSFET-C	详细分析	未覆盖
Gm-C	对比性覆盖	二阶节详细设计 + 自动调谐
三者对比	系统对比表	单独各讲

Sansen 的独特价值：Ch.19 的MOSFET-C 滤波器和三种方案的系统对比是其他教材和 EE247 讲义未覆盖的独特内容。

关联页：Sansen 模拟集成电路设计精粹深度解析 §19

📘 Martin 补充（Ch.12 Continuous-Time Filters——Active RC/MOSFET-C/Gm-C 系统覆盖）

Martin Ch.12 对连续时间滤波器的覆盖与 Sansen Ch.19 和 EE247 互补，其独特价值在于统一处理三种 CT 滤波器实现方案（Active RC、MOSFET-C、Gm-C）并提供定量设计指导，特别是 MOSFET-C 滤波器的详细分析。

1. 三种 CT 滤波器统一的系统视角

Martin 在 Ch.12 开头给出了三种 CT 滤波器的统一系统级处理：

共同基础：所有 CT 滤波器本质都是积分器 + 反馈网络的组合，区别在于积分器的实现方式
频率调谐的必要性：无论哪种实现，片上 RC/Gm/C 绝对值的工艺偏差都需要自动调谐
统一的设计流程：从 s 域传递函数 → 信号流图 → 积分器实现 → 实际电路

2. MOSFET-C 滤波器的详细分析（Martin 的独特贡献）

Martin 对 MOSFET-C 的覆盖深度超越其他教材：

MOSFET 压控电阻线性化技术：通过 $V_{D S} ≪ 2 (V_{GS} - V_{T})$ 保证线性区工作
完全差分结构：利用差分对称性抵消偶次非线性
非线性抵消拓扑：Tsividis 提出的特殊结构——用四个 MOSFET 组成的平衡结构同时抵消奇偶失真
与 Gm-C 的对比：MOSFET-C 线性度优于 Gm-C 但频率低于 Gm-C

3. 有源 RC 滤波器的系统设计

灵敏度分析：Martin 提供了有源 RC 滤波器对 R、C 元件容差的灵敏度公式
动态范围优化：各积分器输出摆幅的缩放技术
Q 增强效应：运放有限增益-带宽积导致的实际 Q 值偏离设计值

4. Ch.12 与 Sansen/EE247 对比

维度	Martin Ch.12	Sansen Ch.19	EE247
MOSFET-C	最详细（线性化/拓扑/版图）	中等	未覆盖
Active RC	系统级（灵敏度/Q增强）	对比性覆盖	二阶节详细设计
Gm-C	系统级	对比性覆盖	二阶节+自动调谐
三者统一对比	定量设计指导	定性对比表	各讲分离

Martin 的独特价值：Ch.12 提供三种 CT 滤波器的统一系统级处理，其中 MOSFET-C 滤波器的详细分析（线性化技术、非线性抵消拓扑）是其他教材未达到的深度。

关联页：Martin Analog Integrated Circuit Design 深度解析 §12

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