线性系统时域分析

时域分析法直接在时间域研究系统对典型输入的响应，是最直观的分析方法。核心任务：求性能指标（超调量、调节时间、稳态误差）并判断稳定性。

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一阶系统

标准形式

$$G(s)=\frac{1}{Ts+1}$$

阶跃响应

$$c(t)=1-e^{-t/T},t\ge 0$$

• 无超调、无振荡
• 调节时间 $t_s\approx 3T$（5% 误差带）
• 时间常数 $T$ 越小，响应越快

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二阶系统

标准形式

$$G(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

其中 ${\omega }_n$ = 自然频率，$\zeta$ = 阻尼比。

阻尼比与响应形态

$\zeta$ 范围	极点位置	响应形态
$\zeta =0$	虚轴上 $\pm j{\omega }_n$	等幅振荡
$0<\zeta <1$	左半平面共轭复数	衰减振荡（最常用）
$\zeta =1$	负实轴重根 $-{\omega }_n$	临界阻尼，无振荡
$\zeta >1$	负实轴两个不同实根	过阻尼，单调上升

欠阻尼（$0<\zeta <1$）阶跃响应

$$c(t)=1-\frac{e^{-\zeta {\omega }_{n}t}}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\sin ({\omega }_{d}t+\beta )$$

其中 ${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$ 为阻尼振荡频率，$\beta =\arctan \frac{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\zeta }$。

核心性能指标

指标	公式	物理意义
峰值时间	$t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}=\frac{\pi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}$	首次达到最大值的时间
超调量	$\sigma \%=e^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%$	最大偏差与稳态值之比
调节时间(5%)	$t_s\approx \frac{3.5}{\zeta {\omega }_n}$	进入 ±5% 误差带的时间
调节时间(2%)	$t_s\approx \frac{4.4}{\zeta {\omega }_n}$	进入 ±2% 误差带的时间

工程最佳阻尼比

• $\zeta =0.707$（最佳工程阻尼）：$\sigma \%\approx 4.3\%$，快速性与平稳性兼顾
• 一般要求 $\zeta =0.4\sim 0.8$，对应 $\sigma \%=25\%\sim 1.5\%$

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高阶系统

主导极点法

当高阶系统有一对共轭极点距虚轴最近，且其他极点距虚轴的距离 > 5 倍时：

• 这对极点称为主导极点
• 高阶系统可近似为二阶系统分析
• 闭环零点和远离虚轴的极点影响暂态分量的细节，但不改变主要动态特征

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稳定性分析

稳定的充要条件

系统特征方程 $a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_n=0$ 的所有根都在左半 $s$ 平面（$\text{Re}(s_i)<0$）。

Routh 判据

不需要求解特征根，仅通过代数运算判断稳定性：

1. 列写 Routh 表
2. 稳定条件：Routh 表第一列所有元素均为正值
3. 第一列符号变化次数 = 右半平面极点数

Routh 表特殊情况

• 某行第一个元素为零：用极小正数 $\epsilon \to 0^{+}$ 代替，继续计算
• 某行全为零：存在对称于原点的根（如 $\pm j\omega$），用上一行构造辅助多项式求导代替

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稳态误差

终值定理法

$$e_{ss}=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot E(s)=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}$$

系统型别与静态误差系数

输入	0 型系统	I 型系统	II 型系统
阶跃 $R$	$\frac{R}{1+K_p}$，$K_p=K$	0	0
斜坡 $Rt$	$\infty$	$\frac{R}{K_v}$，$K_v=K$	0
抛物线 $\frac{R{t}^2}{2}$	$\infty$	$\infty$	$\frac{R}{K_a}$，$K_a=K$

其中 $K$ 为开环增益（$G(s)H(s)$ 中 $s\to 0$ 时的系数）。

减小稳态误差的方法

• 提高开环增益 $K$
• 增加积分环节（提高系统型别）
• 采用复合控制（前馈补偿扰动）

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物理直觉

二阶系统的极点在 $s$ 平面的位置

• ${\omega }_n$ = 极点到原点的距离
• $\zeta$ = 极点与负实轴的夹角的余弦（$\zeta =\cos \theta$）
• $\zeta$ 越小 → 极点越靠近虚轴 → 振荡越剧烈
• ${\omega }_n$ 越大 → 极点离原点越远 → 响应越快

Routh 判据的本质

Routh 表第一列元素的符号变化反映了特征多项式在右半平面根的个数——无需实际求根，纯粹代数判断。

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与已有知识的关联

• Laplace 变换求解微分方程 → Laplace变换与z变换
• 二阶系统频域对应 → 频域分析法与稳定性（谐振峰值 $M_r$）
• 稳定性与反馈 → 反馈放大器稳定性与频率补偿（模拟 IC 视角）
• 数学模型 → 控制系统数学模型
• 根轨迹 → 根轨迹法

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来源：胡寿松 自动控制原理 第八版 深度解析 Ch.3