线性时不变系统与卷积

Oppenheim S&S Ch.2 从冲激表示出发，严格推导卷积和/积分，建立 LTI 系统的完整时域分析框架：卷积运算性质、因果性/稳定性的冲激响应判据、微分/差分方程描述的因果 LTI 系统、奇异函数。

核心思想：信号 = 冲激的叠加

任意信号可表示为移位冲激的加权和：

$$x[n]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x[k]\delta [n-k]\text{(Eq.2.2，筛选性质)}$$ $$x(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$$

离散时间卷积和

推导逻辑：

1. 将输入分解为移位冲激：$x[n]={\sum }_{k}x[k]\delta [n-k]$
2. 线性系统对各冲激的响应：$\delta [n-k]\to h_k[n]$
3. 时不变性：$h_k[n]=h_0[n-k]\equiv h[n-k]$
4. 叠加得到输出

卷积和定义：

$$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x[k]h[n-k]\triangleq x[n]\ast h[n]\text{(Eq.2.6-2.7)}$$

核心结论：LTI 系统由 $h[n]$ 完全表征——只需知道对一个冲激的响应。

图形计算四步法：

1. 选取一个 $n$ 值
2. 将 $h[k]$ 反转得到 $h[-k]$，再平移 $n$ 得到 $h[n-k]$
3. 逐点相乘 $x[k]\cdot h[n-k]$
4. 对所有 $k$ 求和

连续时间卷积积分

$$y(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau \triangleq x(t)\ast h(t)\text{(Eq.2.33-2.34)}$$

图形计算四步法（与离散时间类似）：

1. 将 $h(\tau )$ 反转得到 $h(-\tau )$，再平移 $t$ 得到 $h(t-\tau )$
2. 逐点相乘 $x(\tau )\cdot h(t-\tau )$
3. 对 $\tau$ 从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 积分

典型例：$x(t)=e^{-at}u(t)$（$a>0$），$h(t)=u(t)$

$$y(t)=\frac{1}{a}(1-e^{-at})u(t)$$

卷积运算性质

性质	表达式	系统含义
交换律	$x\ast h=h\ast x$	输入与冲激响应角色可互换
分配律	$x\ast (h_1+h_2)=x\ast h_1+x\ast h_2$	并联 LTI：$h_{eq}=h_1+h_2$
结合律	$x\ast (h_1\ast h_2)=(x\ast h_1)\ast h_2$	级联 LTI：$h_{eq}=h_1\ast h_2$

级联顺序无关：LTI 系统级联的总冲激响应 = 各冲激响应的卷积，且与级联顺序无关（交换律 + 结合律）。这是 LTI 系统独有的性质——非线性系统不可交换级联顺序。

LTI 系统八大性质

1. 无记忆性

• DT：$h[n]=K\delta [n]$，输出 $y[n]=Kx[n]$
• CT：$h(t)=K\delta (t)$，输出 $y(t)=Kx(t)$

2. 可逆性

逆系统的冲激响应 $h_i$ 满足：

$$h[n]\ast h_i[n]=\delta [n]\text{(Eq.2.67)}$$ $$h(t)\ast h_i(t)=\delta (t)\text{(Eq.2.66)}$$

例：累加器 $h[n]=u[n]$ 的逆 = 一阶差分 $h_i[n]=\delta [n]-\delta [n-1]$

3. 因果性

$$h[n]=0,n<0\text{(Eq.2.77)}$$ $$h(t)=0,t<0\text{(Eq.2.80)}$$

因果 LTI 的卷积简化：

$$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]h[n-k]=\sum _{k=0}^{+\infty }h[k]x[n-k]\text{(Eq.2.78-2.79)}$$

4. 稳定性（BIBO）

$$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|h[k]|<\infty \text{(Eq.2.86)}$$ $${\int }_{-\infty }^{+\infty }|h(\tau )|d\tau <\infty \text{(Eq.2.87)}$$

冲激响应绝对可和/绝对可积 ⟺ BIBO 稳定（充要条件）

例：累加器 $h[n]=u[n]$ 不稳定（$\sum u[n]=\infty$）

5. 阶跃响应

$$s[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}h[k],h[n]=s[n]-s[n-1]\text{(Eq.2.91-2.92)}$$ $$s(t)={\int }_{-\infty }^{t}h(\tau )d\tau ,h(t)=\frac{ds(t)}{dt}$$

微分/差分方程描述的因果 LTI 系统

CT：线性常系数微分方程

$$\sum _{k=0}^N{a}_k\frac{d^{k}y(t)}{d{t}^k}=\sum _{k=0}^M{b}_k\frac{d^{k}x(t)}{d{t}^k}\text{(Eq.2.107)}$$

例（一阶 RC 电路）：$\frac{d{v}_C(t)}{dt}+\frac{1}{RC}{v}_C(t)=\frac{1}{RC}{v}_S(t)$

DT：线性常系数差分方程

$$\sum _{k=0}^N{a}_{k}y[n-k]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]\text{(Eq.2.112)}$$

例（银行账户模型）：$y[n]-1.01y[n-1]=x[n]$

递归 vs 非递归

• 非递归（FIR）：$y[n]={\sum }_{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$（无反馈，$h[n]$ 有限长）
• 递归（IIR）：$y[n]=\sum b_{k}x[n-k]-{\sum }_{k=1}^N{a}_{k}y[n-k]$（有反馈，$h[n]$ 可无限长）

初始条件与因果性

初始静止条件：若 $x[n]=0$（$n<n_0$），则 $y[n]=0$（$n<n_0$）。此条件保证系统是因果且 LTI 的。

奇异函数

奇异函数（singularity functions）= 单位冲激及其导数/积分的统一框架：

符号	名称	定义
$u_{-1}(t)$	单位冲激 $\delta (t)$	理想化短脉冲
$u_0(t)$	单位阶跃 $u(t)$	${\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )d\tau$
$u_1(t)$	单位斜坡 $r(t)$	${\int }_{-\infty }^{t}u(\tau )d\tau =t\cdot u(t)$
$u_{-2}(t)$	冲激偶 ${\delta }^{\prime }(t)$	$\delta (t)$ 的导数

运算性质：

$$\delta (t)\ast \delta (t)=\delta (t)⟹u_{-k}(t)\ast u_{-l}(t)=u_{-(k+l)}(t)$$

典型例题

因果 LTI 稳定性判断：$h(t)=e^{-at}u(t)$，$a>0$

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-at}dt=\frac{1}{a}<\infty ⟹\text{稳定}$$

因果 LTI 不稳定：$h[n]=(0.5{)}^{n}u[n]+2^{n}u[-n-1]$

• 第一项：$\sum (0.5{)}^n=2$（收敛）
• 第二项：$\sum 2^n=\infty$（发散）→ 不稳定（且非因果，因 $u[-n-1]$ 在 $n<0$ 非零）

双向链接

前置：连续与离散时间信号基础

后续：傅里叶级数与周期信号分析 | 连续时间傅里叶变换 | Laplace变换与z变换

来源：Oppenheim Signals and Systems 2e 深度解析