根轨迹法

根轨迹法是经典控制理论中最直观的设计工具之一。它展示增益变化时闭环极点的运动轨迹，将稳定性、动态性能与系统参数直接联系起来。

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基本概念

定义

根轨迹：当开环增益 $K$ 从 $0\to +\infty$ 变化时，闭环特征方程 $1+KG(s)H(s)=0$ 的根在 $s$ 平面上移动的轨迹。

根轨迹方程

$$1+KG(s)H(s)=0⟹KG(s)H(s)=-1$$

分解为两个条件：

• 幅值条件：$K|G(s)H(s)|=1$
• 相角条件：$\angle G(s)H(s)=(2k+1)\pi$，$k=0,\pm 1,\pm 2,\dots$

相角条件是判断某点是否在根轨迹上的充要条件；幅值条件用于确定该点对应的 $K$ 值。

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绘制基本法则

设开环传递函数 $KG(s)H(s)=K\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)}$，$n\ge m$。

法则	内容
起点与终点	$K=0$ 时从开环极点出发；$K\to \infty$ 时到达开环零点（含 $n-m$ 个无穷远零点）
分支数	$n$ 条分支（= 开环极点数）
实轴上的根轨迹	实轴上某段右侧的开环零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
渐近线	$n-m$ 条渐近线，交点 ${\sigma }_a=\frac{\sum p_i-\sum z_j}{n-m}$，角度 ${\phi }_a=\frac{(2k+1)\pi }{n-m}$
分离点	根轨迹在实轴上的汇合/分离点满足 $\sum \frac{1}{s-p_i}=\sum \frac{1}{s-z_j}$ 或 $\frac{dK}{ds}=0$
出射/入射角	从复数极点出发的出射角 = $\pi +\sum \angle (s-z_j)-{\sum }_{j\ne i}\angle (s-p_j)$
与虚轴交点	令 $s=j\omega$ 代入特征方程，或用 Routh 判据求临界 $K$

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广义根轨迹

参数根轨迹

当变化的不是增益 $K$，而是某个参数 $a$ 时：

$$1+a\cdot \frac{P(s)}{Q(s)}=0$$

将方程整理为标准根轨迹形式，以 $a$ 为”等效增益”绘制。

零度根轨迹

正反馈系统：$1-KG(s)H(s)=0$

• 相角条件变为：$\angle G(s)H(s)=2k\pi$（$0°,360°,\dots$）
• 实轴判据：右侧零极点总数为偶数
• 渐近线角度：${\phi }_a=\frac{2k\pi }{n-m}$

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利用根轨迹分析性能

闭环极点与性能的关系

极点位置	动态行为
负实轴	单调衰减（无振荡）
左半平面共轭复数	衰减振荡
虚轴上	等幅振荡（临界稳定）
右半平面	发散（不稳定）

设计策略

• 增加零点（如超前校正）→ 根轨迹左移 → 增大阻尼、改善稳定性
• 增加极点（如滞后校正）→ 根轨迹右移 → 可能降低稳定性
• 增大增益 $K$ → 闭环极点沿根轨迹移动 → 可能穿越虚轴导致不稳定

附加效应

• 增加零点：吸引根轨迹向零点弯曲，增大阻尼比
• 增加极点：排斥根轨迹远离极点，减小阻尼比
• 偶极子（零极点紧邻）：对根轨迹影响很小，可用来改变稳态误差而不影响动态

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物理直觉

根轨迹的几何意义

• 开环极点 = “发射源”，开环零点 = “吸引汇”
• 根轨迹 = 闭环极点在 $K$ 变化下的运动路径
• $n-m$ 条分支趋向无穷远 = 系统有 $n-m$ 个”多余”极点

与 Bode 图的联系

• 根轨迹上的虚轴交点 ↔ Bode 图的增益穿越频率
• 根轨迹上极点的阻尼比 ↔ Bode 图的相位裕度

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与已有知识的关联

• 闭环传递函数 → 控制系统数学模型
• 极点位置与稳定性 → 线性系统时域分析（Routh 判据互补）
• 频域对应 → 频域分析法与稳定性（Nyquist 图）
• PLL 中的根轨迹 → PLL图形化分析与稳定性判据（Gardner 视角）

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来源：胡寿松 自动控制原理 第八版 深度解析 Ch.4