无复位 ΔΣ ADC 技术

无需复位调制器或抽取滤波器，使用连续运行的 ΔΣ ADC 实现逐样本（sample-by-sample）A/D 转换，使其可用于多通道时分复用。

问题背景

ΔΣ ADC 的抽取滤波器有极长的脉冲响应（远超过 OSR $M$ 个样本），每个输出是多个输入的加权组合——即有记忆。这在多通道系统中导致通道间串扰（crosstalk）。

传统解决方案——IADC（增量型 ADC）：每 $M$ 个周期复位调制器和滤波器。代价：

三阶 IADC SQNR 损失 ~10 dB（相同 OSR）
三阶 IADC 热噪声损失 5.6 dB（因子 3.6）
总代价：需要 ~4× 更大输入电容或 ~4× 更大功耗来补偿

初学者提示：IADC 的复位”清除”了过去的记忆，但也丢弃了有价值的噪声整形信息。无复位技术的目标是在不丢弃信息的前提下消除记忆效应。

方法 1：Nyquist M-band 抽取滤波器

核心思想

Nyquist 滤波器（通信系统中用于消除码间干扰）的脉冲响应在 $n = k M$ （ $k \neq = 0$ ）处精确为零。虽然脉冲响应很长，但降采样 $M$ 倍后等效为冲激——无 ISI！

系统架构

$u [n]$ （ $f_{N} = f_{s} / M$ 率）→ 上采样 $M$ 倍 → DTDSM（STF=1）→ Nyquist 抽取滤波器 → 降采样 $M$ 倍
零阶保持（ZOH） $L$ 个周期提升 SNR，但引入记忆 → 用 inverse-sinc 均衡器补偿
RC-IS 滤波器 = Raised Cosine + Inverse-Sinc，级联实现为单个长 FIR

局限

需要长 FIR 在 $f_{s}$ 率运行 → 高数字功耗
需要 STF 精确为 1 → 模拟失配导致串扰

方法 2：多相分解 + Nyquist 率均衡器

核心定理

$f_{s} / M$ 率输入 → 上采样 $M$ → LTI 系统 $G (z)$ → 降采样 $M$ 的整个系统，等效为 $G_{0} (z)$ 在 $f_{s} / M$ 率运行，其中 $G_{0} (z)$ 是 $G (z)$ 的 $M$ -path 多相分解第一项：

G (z) = G_{0} (z^{M}) + z^{- 1} G_{1} (z^{M}) + \dots + z^{- (M - 1)} G_{M - 1} (z^{M})

证明直觉：上采样+延迟 $k$ +降采样 = 零（ $k = 1, \dots, M - 1$ ，降采样只采到零填充的零值）。

实际意义

$G (z) = S (z) \cdot STF (z) \cdot H (z)$ （S/H × STF × 抽取滤波器的级联）
$G_{0} (z)$ 是等效 $f_{N}$ 率传递函数
如果 $G_{0} (z) \neq = 1$ （有记忆），但它是 LTI → 可用 $G_{0}^{- 1} (z)$ 均衡！

新系统架构

使用传统多速率抽取滤波器（CIC + 半带 FIR）→ 低功耗
多相分解提取 $G_{0} (z)$ （低阶 FIR）
在 $f_{N}$ 率添加均衡器 $G_{0}^{in v} (z)$ → 进一步降低数字功耗

典型实例（ $M = 32$ ）：

$G_{0} (z)$ ：7-tap FIR
$G_{0}^{in v} (z)$ ：14-tap FIR
数字功耗 vs 方法 1 降低数倍

放宽 STF 约束

不再需要 STF=1 → 允许单比特量化器
量化器增益偏差通过均衡器自动补偿

自适应均衡器——克服模拟非理想性

问题

固定系数均衡器受限于：

STF 偏差（电容失配 + 量化器增益不确定）
S/H 非理想性
串扰：~-77 dB

LMS 自适应方案

w [n + 1] = w [n] - μ \cdot e [n] \cdot y [n]

训练方法：

冲激串输入（周期 $N$ ，大部分为零样本）
仅在 $x_{d} [n] = 0$ 时更新 → 无需精确数字参考
ISI 样本被强制趋零

效果：串扰从 -77 dB 改善至 < -89 dB

与 IADC 的对比

特性	IADC（复位）	无复位 ΔΣ ADC
SQNR 损失	~10 dB（三阶）	无
热噪声损失	5.6 dB（因子 3.6）	无
数字功耗	低（短脉冲响应）	中（均衡器在 $f_{N}$ ）
串扰	无（完全复位）	-89 dB（自适应均衡器）
适用场景	多通道、低速率	多通道、较高速率

S/H 噪声分析

翻转-around S/H 的总带内噪声：

N_{S / H} = 2 \frac{k T}{C} + \frac{2 γ}{M} \frac{k T}{C _{c}}

第一项：采样开关 kT/C 噪声
第二项：运放 hold-mode 连续时间噪声（被 ΔΣ 过采样和抽取滤波器抑制 $M$ 倍）

多通道扩展：π-Shifted 滤波器

本节内容来自 Kumar 2020（Kumar 2020 Multi-Channel CTDSM Without Reset 深度解析）。

多通道串扰问题

当 ΔΣ ADC 用于 MUX→ADC→DMUX 多通道系统时，等效冲激响应 $h_{e ff} [n]$ 的非零奇数样本导致通道间串扰。

零串扰充要条件： $h_{e ff} [n]$ 的奇数样本为零 → $H_{e ff} (ω - π) = H_{e ff} (ω)$

π-Shifted 滤波器

核心公式： $H_{π} (z) = G_{0} (- z)$ ，即 $h_{π} [n] = (- 1)^{n} g_{0} [n]$

vs 自适应逆均衡器：

特性	逆均衡器 $1/ G_{0} (z)$	π-Shifted $G_{0} (- z)$
阶数	≥ 24	7（有效 4）
功耗	645 μW	210 μW
面积	0.58 mm²	0.24 mm²
自适应	LMS 需要	仅需测量 $g_{0} [n]$
串扰	< -77.8 dBc	< -80.1 dBc

N 通道推广： $H_{2 π / N} (z) = \prod_{m = 1}^{N - 1} G_{0} (z e^{- j 2 πm / N})$ ，有效阶数 < 12（ $N \leq 16$ ）。

与已有知识的联系

概念	关系
IADC原理与动机	IADC 的复位代价是本文的出发点
ΔΣ调制器中的抽取与插值滤波	多速率抽取滤波器的实现基础
CIFF与CRFF前馈环路滤波器拓扑	CIFF + 前馈实现 STF=1
采样理论基础	多相分解与 Noble 恒等式
量化器理论与线性模型	量化器增益偏离 1 的问题
Kumar 2020 Multi-Channel CTDSM Without Reset 深度解析	多通道 π-shifted 滤波器扩展

参考文献

R. S. A. Kumar et al., “Reset-Free Memoryless ΔΣ ADC,” IEEE TCAS-I, 2018. → Kumar 2018 Reset-Free Memoryless ΔΣ ADC 深度解析
R. S. A. Kumar and N. Krishnapura, “Multi-Channel ADC Using a CTDSM Without Reset,” IEEE TCAS-I, 2020. → Kumar 2020 Multi-Channel CTDSM Without Reset 深度解析
D. Behera and N. Krishnapura, “A 2-channel 1MHz BW, 80.5 dB DR ADC using a DS modulator and zero-ISI filter,” ESSCIRC, 2014.（方法 1 原始论文）
J. Markus et al., “Theory and Applications of Incremental ΔΣ Converters,” IEEE TCAS-I, 2004. → Márkus 2004 Incremental ΔΣ Converters Theory 深度解析

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