双极晶体管小信号模型

当信号幅度远小于偏置点（$|\Delta V_{BE}|<V_T\approx 26$ mV）时，BJT 的非线性大信号特性可以线性化为小信号等效电路。Hybrid-π 模型是 BJT 最常用的小信号模型，其参数直接由偏置点（I_C、V_CE）决定。正确理解和运用小信号模型是模拟 IC 设计的核心技能。本文基于 Gray §1.4 提炼。

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前后关系

前置知识：

• 双极晶体管大信号特性（§1.3）— 小信号参数由大信号偏置点决定
• pn结耗尽区分析（§1.2）— 耗尽电容构成寄生参数

本书内部链条：

• 双极晶体管小信号模型（本文，§1.4）→ 单管与多管放大器（Ch.3）— 用模型计算增益和阻抗
• → 电流镜与有源负载（Ch.4）— 电流镜输出电阻用 r_o 计算
• → 运算放大器设计基础（Ch.6）— 运放增益带宽积由 g_m/C 决定
• → 集成电路频率响应（Ch.7）— 寄生电容 C_π/C_μ 决定极点位置
• → 反馈放大器稳定性与补偿（Ch.9）— 补偿电容与 g_m 的关系
• → 集成电路噪声分析（Ch.11）— 噪声模型中用到 g_m、r_b

外部关联：

• 运算放大器设计 — 运放设计中大量使用 Hybrid-π 模型
• 频率补偿技术 — Miller 补偿利用 C_μ 的 Miller 效应
• 电路中的Jitter与Phase Noise — 振荡器设计中 BJT 的小信号参数

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原理介绍

1.4.1 跨导 g_m

定义：

$$g_m=\frac{d{I}_C}{d{V}_{BE}}=\frac{I_S}{V_T}\exp \frac{V_{BE}}{V_T}=\frac{I_C}{V_T}$$

关键性质：

• 仅取决于集电极偏置电流 $I_C$，与器件尺寸、工艺无关
• 室温下：$g_m=I_C/26\text{mV}=38.5\text{mS/mA}$
• 温度每升高 1°C，g_m 下降约 0.33%

线性条件：当 $|\Delta V_{BE}|<V_T$（即 < 26 mV）时，误差 < 10%。 由泰勒展开：

$$I_C=I_C\left[1+\frac{v_i}{V_T}+\frac{1}{2}{\left(\frac{v_i}{V_T}\right)}^2+\cdots \right]$$

忽略二次及以上项得 $i_c=g_m{v}_i$。

1.4.2 基区充电电容 C_b

当 $V_{BE}$ 变化时，基区存储的少子电荷相应变化，表现为电容：

推导：基区少子电荷 $Q_e$ 与 $I_C$ 的关系：

$${\tau }_F=\frac{Q_e}{I_C}=\frac{W_B^2}{2D_n}$$

${\tau }_F$ 称为正向基区渡越时间，典型值 10500 ps（npn），140 ns（横向 pnp）。

变化量关系：

$$q_h=q_e={\tau }_F\cdot i_c$$ $$C_b=\frac{q_h}{v_i}={\tau }_F\cdot \frac{i_c}{v_i}={\tau }_F{g}_m$$

最终：

$$C_{\pi }=C_b+C_{je}={\tau }_F{g}_m+C_{je}$$

其中 $C_{je}$ 是发射结耗尽层电容（见 pn结耗尽区分析），对于正偏结通常估计为 $2C_{je0}$。

1.4.3 输入电阻 r_π

$$r_{\pi }=\frac{v_i}{i_b}=\frac{v_i}{i_c/{\beta }_0}=\frac{{\beta }_0}{g_m}$$

其中 ${\beta }_0$ 是小信号电流增益，通常 ${\beta }_0\approx {\beta }_F$。

数值示例：$I_C=1\text{mA},{\beta }_0=100,g_m=38.5\text{mS}$：

$$r_{\pi }=\frac{100}{0.0385}=2.6\text{k}\Omega$$

1.4.4 输出电阻 r_o

由 Early 效应（见 双极晶体管大信号特性 §1.3.2）：

$$r_o=\frac{\Delta V_{CE}}{\Delta I_C}=\frac{V_A}{I_C}$$

• 典型值：$I_C=1\text{mA},V_A=50\text{V}\Rightarrow r_o=50\text{k}\Omega$
• 可表示为：$r_o=1/(\eta g_m)$，其中 $\eta =kT/q{V}_A$，若 $V_A=100\text{V}$ 则 $\eta =2.6\times 10^{-4}$

1.4.5 基本 Hybrid-π 模型

结合上述元件得到 BJT 小信号基本模型（Gray Fig. 1.18）：

        C
        |
       g_m·v_1  r_o
        |
B —— r_π —— E
    |  |
    C_π
    |
    v_1

基本模型参数总结（均为偏置点 I_C 的函数）：

参数	表达式	示例值 (I_C=1mA)	与 I_C 的关系
g_m	I_C/V_T	38.5 mS	∝ I_C
r_π	β₀/g_m	2.6 kΩ (β=100)	∝ 1/I_C
r_o	V_A/I_C	50 kΩ (V_A=50V)	∝ 1/I_C
C_b	τ_F·g_m	0.385 pF (τ_F=10ps)	∝ I_C
C_π	C_b + C_je	0.40.6 pF	≈ ∝ I_C

1.4.6 集电极-基极电阻 r_μ

表示 $V_{CE}$ 变化通过基区宽度调制对基极电流的反馈影响：

$$r_{\mu }=\frac{\Delta V_{CE}}{\Delta I_{B1}}=r_o\cdot \frac{\Delta I_C}{\Delta I_{B1}}$$

下限：$r_{\mu }={\beta }_0{r}_o$（如果基极电流全部由 I_B1 组成） 实际：集成 npn 中 I_B2 占主导，故 $r_{\mu }\gg 10{\beta }_0{r}_o$

1.4.7 寄生参数

在实际集成电路 BJT 中，需要添加以下寄生元件（Gray Fig. 1.19-1.20）：

电容寄生

电容	符号	来源	典型值（零偏, 最小尺寸）	电压依赖
发射结耗尽电容	C_je	BE 结耗尽区	10 fF	$C_{je0}/\sqrt{1-V_{BE}/{\psi }_{0e}}$
集电结耗尽电容	C_μ	BC 结耗尽区	10 fF	$C_{\mu 0}/(1+V_{CB}/{\psi }_{0c}{)}^{n_c}$
衬底结电容	C_cs	集电区-衬底结	20 fF	$C_{cs0}/(1+V_{CS}/{\psi }_{0s}{)}^{n_s}$

重要：衬底始终接最负电源，因此 C_cs 在等效电路中一端接地。

C_μ 的行为：对于厚集电极器件，小偏压时按缓变结（n≈1/3），大偏压时按突变结（n≈1/2）变化。对于现代薄集电极工艺，耗尽层可迅速穿通到埋层，C_μ 随电压变化缓慢。

电阻寄生

电阻	符号	典型值	说明
基极电阻	r_b	50~500 Ω	分布效应，随 I_C 增大因电流拥挤而减小
集电极电阻	r_c	20~500 Ω	含 r_c1/r_c2/r_c3 三部分，埋层可降低
发射极电阻	r_ex	1~3 Ω	高电流时重要

完整小信号等效电路

在基本模型基础上添加寄生后得到 Gray Fig. 1.20 的完整电路：

            r_b         C_μ
B ————[r_b]————B'————∥———— C
            |    |           |
           C_π  r_π   g_m·v₁  r_o  r_c
            |    |           |     |
            E ——————————————+—————+  
            |
           r_ex
            |
           E'（外部发射极）

• 内部基极节点 B’ 与外基极 B 通过 r_b 隔离
• C_μ 从 B’ 连接到 C，是 Miller 倍增的关键路径
• C_cs 从内部集电极到地（衬底）

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设计示例

题目：I_C = 1 mA, V_CB = 3 V, V_CS = 5 V，器件参数如下：

• C_je0 = 10 fF, n_e = 0.5, ψ_0e = 0.9 V
• C_μ0 = 10 fF, n_c = 0.3, ψ_0c = 0.5 V
• C_cs0 = 20 fF, n_s = 0.3, ψ_0s = 0.65 V
• β_0 = 100, τ_F = 10 ps, V_A = 20 V
• r_b = 300 Ω, r_c = 50 Ω, r_ex = 5 Ω

计算：

1. $g_m=1\text{mA}/26\text{mV}=38.5\text{mS}$
2. $r_{\pi }=100/0.0385=2.6\text{k}\Omega$
3. $r_o=20/0.001=20\text{k}\Omega$
4. $C_b=10\text{ps}\times 38.5\text{mS}=0.385\text{pF}$
5. C_je ≈ 2 × C_je0 = 20 fF（正偏近似）
6. $C_{\mu }=10/(1+3/0.5{)}^{0.3}=5.6\text{fF}$
7. $C_{c}s=20/(1+5/0.65{)}^{0.3}=9.4\text{fF}$

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使用注意事项

1. 低频简化：偏置电流 < 1 mA 时，通常可忽略 r_b、r_c、r_ex
2. 高频时必须包含 C_π 和 C_μ，且 C_μ 通过 Miller 效应倍增
3. r_o 在高增益级（如 Cascode）中至关重要
4. pnp 与 npn 模型结构相同，仅电流方向反转
5. 小信号分析仅适用于 $|\Delta V_{BE}|<10\text{mV}$ 以确保线性度

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参考文献

1. P. R. Gray, P. J. Hurst, S. H. Lewis, R. G. Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, 5th ed., Wiley, 2009, §1.4.
2. L. J. Giacoletto, “Study of pnp Alloy Junction Transistors from DC through Medium Frequencies,” RCA Review, vol. 15, pp. 506-562, Dec. 1954.
3. P. R. Gray, R. G. Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, 1st ed., Wiley, 1977.
4. R. L. Pritchard, Electrical Characteristics of Transistors, McGraw-Hill, 1967.

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双向链接

本文链接到

• pn结耗尽区分析 — 耗尽电容 C_je、C_μ、C_cs
• 双极晶体管大信号特性 — 偏置点决定小信号参数
• 双极晶体管微波特性与异质结 — $f_T$ 延迟分量与微波性能
• Gray 模拟集成电路分析与设计 深度解析 — 来源导航页
• Sze Physics of Semiconductor Devices 深度解析 — Sze 补充来源

链接到本文

• 单管与多管放大器 — 使用 Hybrid-π 模型分析增益
• 电流镜与有源负载 — r_o 决定电流镜输出阻抗
• 运算放大器设计基础 — 运放带宽由 g_m/C 决定
• 集成电路频率响应 — 寄生电容决定极点位置
• 反馈放大器稳定性与补偿 — Miller 电容补偿原理
• 集成电路噪声分析 — 噪声模型中用到 g_m、r_b
• 运算放大器设计 — 运放小信号分析
• 频率补偿技术 — Miller 补偿依赖 C_μ

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📘 Martin 补充：Gummel-Poon 模型（Ch.8）

Martin §8.1-§8.3 提供了比 Gray 更深入的 Gummel-Poon（GP）模型覆盖，这是 SPICE 中 BJT 仿真的标准大信号模型。

GP 模型的核心方程：

$$I_C=I_S\left[\exp \left(\frac{V_{BE}}{n_F{V}_T}\right)-\exp \left(\frac{V_{BC}}{n_R{V}_T}\right)\right]-\frac{I_S}{{\beta }_R}\left[\exp \left(\frac{V_{BC}}{n_R{V}_T}\right)-1\right]$$

其中 $n_F$（正向注入系数）和 $n_R$（反向注入系数）在中电流时接近 1，低电流时增加。

GP 模型相比 Ebers-Moll 的改进：

1. 基区宽度调制（Early 效应）：$V_A$ 通过 $I_S$ 的 $V_{CE}$ 依赖性建模
2. 基区电荷存储：$Q_B={\tau }_F{I}_C+C_{JE}{V}_{BE}+C_{JC}{V}_{BC}$，决定 $f_T$
3. 高注入效应（Kirk 效应）：$I_C$ 饱和导致 ${\beta }_F$ 下降
4. 电流增益滚降：$f_T$ 随频率上升，$\beta (f)={\beta }_0/(1+jf/f_{\beta })$，$f_T={\beta }_0{f}_{\beta }$

SPICE GP 参数与 Hybrid-π 的关系：

• $g_m=I_C/V_T$（与 GP 模型中 $I_S\exp (V_{BE}/V_T)$ 一致）
• $r_{\pi }={\beta }_F/g_m$
• $r_o=V_A/I_C$（GP 模型中 Early 电压的直接体现）
• $C_{\pi }=C_{JE}+{\tau }_F{g}_m$（GP 模型中正向渡越时间 ${\tau }_F$ 决定扩散电容）

差异定位：Gray §1.3-§1.4 以 Ebers-Moll 为主 + Hybrid-π 小信号模型，对 Gummel-Poon 仅简要提及；Razavi §3 以 MOS 为主，BJT 覆盖有限；Martin §8.3 提供 GP 模型的 SPICE 参数完整介绍，适合仿真驱动的设计方法。

关联页：Martin Analog Integrated Circuit Design 深度解析 §8

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📚 Sze 补充——$f_T$ 延迟分量物理分析、s 参数与噪声系数（Ch.5 §5.3）

Sze Ch.5 §5.3 从器件物理视角深入分析了 $f_T$ 的各延迟分量，补充了 Gray §1.4 中仅以 ${\tau }_F{g}_m$ 概括的基区充电电容的物理来源。

1. $f_T$ 的延迟分量分解（§5.3.1）

$$\frac{1}{2\pi f_T}={\tau }_e+{\tau }_b+{\tau }_c+{\tau }_{cc}+{\tau }_{cs}$$

延迟分量	表达式	物理来源
发射极充电	${\tau }_e\approx (kT/q)(C_{je}+C_{jc})/I_C$	发射结电容充电
基区渡越	${\tau }_b=W_B^2/(2D_n)$	基区少子扩散（对应 Gray 的 ${\tau }_F$）
集电区空间电荷	${\tau }_c=W_{DC}/(2v_s)$	集电结耗尽区中以饱和速度漂移
集电极充电	${\tau }_{cc}=r_C{C}_{cs}$	集电极串联电阻对衬底电容充电
衬底充电	${\tau }_{cs}$	寄生衬底电容

关键洞察：${\tau }_c=W_{DC}/(2v_s)$ 表明减小集电结耗尽区宽度和提高饱和速度均可提升 $f_T$。这是 Gray 模型中未显式包含的延迟分量。

2. $f_T\cdot BV$ 品质因数（§5.3.1）

$$f_T\cdot B{V}_{CEO}\approx 400\text{GHzcdotpV (Si)}$$

这表明 $f_T$ 与击穿电压之间存在根本性权衡——高击穿需要低掺杂厚集电区，但增加渡越时间。

3. s 参数与最大振荡频率（§5.3.2）

在微波频率下，h 参数不再适用，改用 s 参数。 unilateral gain 为：

$$U=\frac{|s_{21}-s_{11}{|}^2}{(1-|s_{11}{|}^2)(1-|s_{22}{|}^2)}$$

$f_{max}$ 定义为 unilateral gain 降为 1 的频率：

$$f_{max}=\sqrt{\frac{f_T}{8\pi r_b{C}_{\mu }}}$$

关键：$f_{max}$ 不仅取决于 $f_T$，还受基极电阻 $r_b$ 和反馈电容 $C_{\mu }$ 制约。

4. 噪声系数（§5.3.2）

$$N{F}_{min}=1+\frac{f}{f_T}\left(\frac{2\pi f_T{r}_b{C}_{\mu }}{{\beta }_0}+\cdots \right)$$

噪声系数随频率线性增加，低 $r_b$ 和高 $f_T$ 是低噪声设计的关键。

5. 开关特性（§5.3.3）

存储时间：

$$t_s={\tau }_B\ln \frac{I_B}{I_B-I_C/{\beta }_0}$$

Schottky 钳位可防止深度饱和，将 $V_{BC}$ 限制在 ~0.3-0.4 V，大幅减少存储电荷。

差异定位：Gray §1.4 以 Hybrid-π 等效电路为主，$f_T$ 仅由 $C_{\pi }={\tau }_F{g}_m+C_{je}$ 概括；Sze §5.3 将 $f_T$ 分解为五个物理延迟分量，并给出 s 参数、噪声系数和开关特性的定量分析，适合微波和开关电路设计。

关联页：Sze Physics of Semiconductor Devices 深度解析 Ch.5 | 双极晶体管微波特性与异质结 §1-§4