频谱估计与窗函数

ΔΣ 调制器输出序列中含有大量带外整形噪声，精确的频谱估计是评估调制器性能（SQNR/SNDR/DR）的核心手段。附录A 系统介绍了窗函数选择、缩放与噪声带宽（NBW）计算、频谱平均技术及其数学背景。

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前后关系

上下文：附录A 是全书唯一专门讨论频谱测量的章节，为 ΔΣ 调制器的仿真和测试提供方法论支持。

前置知识：傅里叶级数与周期信号分析、一阶ΔΣ调制器（理解噪声整形输出频谱特征）

后接：设计章节（Ch.7, Ch.10）中的 SNR/SNDR 测量均依赖此方法

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窗函数

窗函数的选择动机

对长度为 $N$ 的数据加窗后再做 FFT，等效于频域卷积：

$$X_w(e^{j\omega })=X(e^{j\omega })\ast W(e^{j\omega })$$

窗函数的主瓣宽度决定频率分辨率，旁瓣高度决定频谱泄漏程度。

常用窗函数（表 A.1）

窗函数	定义 $w[n]$	主瓣宽度	最高旁瓣	NBW（归一化）
矩形 (Rect)	$1$	$2/N$	$-13$ dB	$1/N$
Hann	$0.5-0.5\cos (2\pi n/N)$	$4/N$	$-32$ dB	$1.5/N$
Hann²	$[0.5-0.5\cos (2\pi n/N){]}^2$	$6/N$	$-47$ dB	$1.94/N$

关键权衡：

• 信号泄漏：强信号经旁瓣泄漏到邻近频段，可能淹没弱信号
• 噪声泄漏：带外整形噪声经旁瓣泄漏到带内，抬高噪声本底
• 结论：ΔΣ 调制器频谱中包含大量带外噪声，使用 Hann 或 Hann² 窗优于矩形窗，可有效抑制噪声泄漏

N 值选择

推荐 $N=64\times OSR$。更小的 $N$ 使带内 FFT 点数不足，更大的 $N$ 可降低 NBW 但增加仿真时间。

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缩放与噪声带宽 (NBW)

正弦信号缩放

使用峰值幅度为 $M$ 的正弦信号，加窗FFT后的频谱缩放因子为 $MN/(2\cdot W(0))$，其中 $W(0)=\sum w[n]$ 是窗函数的 dc 增益。

实际实现中，采用 spec = fft(v.*ds_hann(N))/(M*N/4) 等缩放方式，使频谱幅度直接以 dBFS 表示。

噪声缩放与 NBW

噪声功率的 PSD 估计需考虑窗函数的等效噪声带宽：

$$NBW=\frac{||w|{|}_2^2}{W(0{)}^2}=\frac{\sum w^2[n]}{{\left(\sum w[n]\right)}^2}$$

• 矩形窗：$NBW=1/N$
• Hann 窗：$NBW=1.5/N$
• Hann² 窗：$NBW=1.94/N$

PSD 估计值 = 频谱幅度² / NBW，单位为 dBFS/Hz 或 dBFS/NBW。

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频谱平均技术

多记录平均（Bartlett/Welch 方法）

将 $N$ 点数据分为 $K$ 段，每段 $M=N/K$ 点，对各段 PSD 取平均：

$${\hat{S}}_{xx}(f)=\frac{1}{K}\sum _{k=1}^K{\hat{S}}_{xx}^{(k)}(f)$$

效果：方差降低 $K$ 倍，但频率分辨率降低 $K$ 倍。

频率平滑

对单段 FFT 结果在频率轴上进行滑动平均：

$${\hat{S}}_{xx}(f_k)=\frac{1}{2L+1}\sum _{i=-L}^L{\hat{S}}_{xx}(f_{k+i})$$

效果：保留时间分辨率但牺牲频率分辨率。

累积频谱（Cumulative Spectrum）

$$\text{CS}(f)={\int }_0^f{S}_{xx}(\nu )d\nu$$

以 dB 为单位从 dc 到 $f$ 的累积噪声功率，可用于快速判断带内噪声总量。

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完整示例流程

典型 MATLAB 代码流程（基于 delsig 工具箱）：

OSR = 32; H = synthesizeNTF(5, OSR, 1);
N = 64*OSR; fB = ceil(N/(2*OSR));
f = 85; u = 0.5*sin(2*pi*f/N*[0:N-1]);
v = simulateDSM(u, H);
spec = fft(v.*ds_hann(N))/(N/4);
snr = calculateSNR(spec(1:fB), f);

关键步骤：

1. 生成测试信号（满幅为 $nlev-1$）
2. 仿真调制器输出
3. 加 Hann 窗 + FFT
4. 缩放使频谱读数为 dBFS/NBW
5. 用 calculateSNR 计算带内 SNR

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数学背景

Wiener-Khinchin 定理

对于平稳随机过程 $x[n]$，PSD 是自相关函数的 DTFT：

$$S_{xx}(f)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{R}_{xx}[m]e^{-j2\pi fm}$$

PSD 估计的偏差与方差

• 偏差：加窗使频谱卷积，主瓣宽度限制频率分辨率
• 方差：单段 FFT 的方差为信号功率的平方，不随 $N$ 减小
• 平均是减少方差的唯一手段（多记录或频率平滑）

量化噪声 PSD 的理想公式

对线性模型下的 ΔΣ 调制器：

$$S_q(f)=\frac{4}{3M^2}\cdot |NTF(e^{j2\pi f}){|}^2\text{(单位：dBFS/NBW)}$$

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参考文献

1. Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), Appendix A. IEEE Press/Wiley.
2. Welch, P. D. (1967). “The use of fast Fourier transform for the estimation of power spectra.” IEEE Trans. Audio Electroacoust., AU-15, 70-73.
3. Harris, F. J. (1978). “On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform.” Proc. IEEE, 66(1), 51-83.

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