通信系统基础

核心思想：通信系统通过调制（Modulation）将信息信号嵌入适合传输的载波中，在接收端通过解调（Demodulation）恢复原始信号。幅度调制（AM）、频率调制（FM）、频分复用（FDM）和时分复用（TDM）是通信系统的基本范式。

1. 幅度调制（AM）基本原理

1.1 调制模型

将信息信号 $x(t)$（调制信号）乘以载波 $c(t)$ 产生已调信号：

$$y(t)=x(t)c(t)$$

载波有两种常用形式：

载波类型	表达式	已调信号频谱
复指数载波	$c(t)=e^{j({\omega }_{c}t+{\theta }_c)}$	$Y(j\omega )=X(j(\omega -{\omega }_c))$（单边搬移）
正弦载波	$c(t)=\cos ({\omega }_{c}t+{\theta }_c)$	$Y(j\omega )=\frac{1}{2}[X(j(\omega -{\omega }_c))+X(j(\omega +{\omega }_c))]$（双边搬移）

1.2 关键区别

• 复指数载波：频谱仅搬移到 $+{\omega }_c$，$x(t)$ 可通过乘以 $e^{-j{\omega }_{c}t}$ 直接恢复，对 ${\omega }_c$ 无约束
• 正弦载波：频谱同时搬移到 $\pm {\omega }_c$，需满足 ${\omega }_c>{\omega }_M$（信号最高频率）才能避免频谱重叠

2. 正弦 AM 解调

2.1 同步解调（Synchronous Demodulation）

已调信号再乘以相同载波，然后通过低通滤波器：

$$w(t)=y(t)\cos {\omega }_{c}t=x(t){\cos }^2{\omega }_{c}t=\frac{1}{2}x(t)+\frac{1}{2}x(t)\cos 2{\omega }_{c}t$$

低通滤波器（增益 2，截止频率 ${\omega }_{co}$ 满足 ${\omega }_M<{\omega }_{co}<2{\omega }_c-{\omega }_M$）提取 $\frac{1}{2}x(t)$ 项，恢复 $x(t)$。

相位不同步的影响：若解调载波相位为 ${\varphi }_c$、调制载波相位为 ${\theta }_c$，低通输出为 $x(t)\cos ({\theta }_c-{\varphi }_c)$。相位差 $\pi /2$ 时输出为零！

2.2 异步解调（Asynchronous Demodulation）

在调制端加入直流偏置使信号恒正：

$$y(t)=[x(t)+A]\cos {\omega }_{c}t,A>K=\max |x(t)|$$

接收端用包络检波器（二极管 + RC 电路）直接跟踪包络，无需本地载波同步。

• 调制指数：$m=K/A$（$0<m\le 1$）
• $m$ 越大→载波功率占比越小→发射效率越高，但包络检波精度越差
• 权衡：发射功率效率 vs 接收机复杂度（公共广播偏好奇异解调以降低接收机成本）

3. 频分复用（FDM）

多路信号用不同载波频率调制后叠加传输：

$$w(t)=\sum _i{x}_i(t)\cos {\omega }_{c_i}t$$

• 各路信号占据不同频段，互不重叠
• 解复用：带通滤波选择特定频道 → 解调恢复原始信号
• 典型应用：AM 广播（~1 MHz 频段）、电话通信、有线电视
• 超外差接收：用中频（IF）级固定带通滤波器替代可调谐滤波器

4. 单边带调制（SSB）

正弦 AM 的双边带信号在正负频率处各有一个镜像边带，只需保留一个即可：

类型	缩写	带宽	复杂度
双边带含载波	AM-DSB/WC	$4{\omega }_M$	低
双边带抑载波	AM-DSB/SC	$4{\omega }_M$	中
单边带抑载波	AM-SSB/SC	$2{\omega }_M$	高

实现方法：

1. 滤波法：对 DSB 信号用锐截止高/低通滤波器去除不需要的边带
2. 相移法：利用 $90°$ 移相网络 $H(j\omega )=\{\begin{array}{ll}-j,& \omega >0\\ +j,& \omega <0\end{array}$ 产生正交分量，相加/减抵消一个边带

5. 脉冲串载波调制与时分复用（TDM）

5.1 脉冲串载波调制

用周期脉冲串 $c(t)$（周期 $T$，脉宽 $\Delta$）作为载波：

$$y(t)=x(t)c(t)$$

$C(j\omega )$ 为间隔 ${\omega }_c=2\pi /T$ 的冲激串，傅里叶系数 $a_k=\frac{\sin (k{\omega }_c\Delta /2)}{\pi k}$，故：

$$Y(j\omega )=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_{k}X(j(\omega -k{\omega }_c))$$

当 ${\omega }_c>2{\omega }_M$（Nyquist 条件）且 $a_0\ne 0$ 时，可用低通滤波器恢复 $x(t)$。

5.2 时分复用（TDM）

• 脉冲串调制信号仅在脉宽 $\Delta$ 期间非零，其余时间可传输其他信号
• 各路信号分配不同时隙（每 $T$ 秒重复的宽度 $\Delta$ 的时间槽）
• $\Delta /T$ 越小，可复用路数越多
• 解复用：时间门控（Time Gating）选择对应时隙

FDM vs TDM：FDM 给各路分配不同频段，TDM 给各路分配不同时段。

6. 脉冲幅度调制（PAM）与码间干扰

6.1 PAM 信号

用采样值 $x(nT)$ 调制脉冲序列的幅度（而非传输时间切片）：

$$y(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(nT)p(t-nT)$$

其中 $p(t)$ 为脉冲波形（如矩形脉冲 = 采样保持）。只要采样率 $>2{\omega }_M$，$x(t)$ 可精确恢复。

6.2 码间干扰（ISI）

信道带宽受限或群延迟不恒定导致脉冲展宽，相邻脉冲重叠：

• 解决方案：使用带限脉冲 $p(t)$，使其在其他采样时刻过零
• sinc 脉冲：$p(t)=\frac{T_1\sin (\pi t/T_1)}{\pi t}$，在 $t=k{T}_1$（$k\ne 0$）处为零
• 更一般地，满足升余弦（raised cosine）等 Nyquist 脉冲条件的频谱形状均可消除 ISI

6.3 数字 PAM 与 PCM

• 数字 PAM：$x[n]$ 量化为有限幅度值，用有限种脉冲幅度传输
• PCM（脉冲编码调制）：每个采样编码为二进制序列，每位用两种幅度之一的脉冲传输
• 可附加奇偶校验等编码实现差错检测/纠正

7. 正弦频率调制（FM）

7.1 角度调制概述

载波 $c(t)=A\cos \theta (t)$，角度调制用 $x(t)$ 控制 $\theta (t)$：

调制方式	已调信号	瞬时频率 ${\omega }_i(t)=\frac{d\theta (t)}{dt}$
相位调制（PM）	$y(t)=A\cos [{\omega }_{c}t+k_{p}x(t)]$	${\omega }_c+k_p\frac{dx(t)}{dt}$
频率调制（FM）	$y(t)=A\cos \left[{\omega }_{c}t+k_f\int x(\tau )d\tau \right]$	${\omega }_c+k_{f}x(t)$

FM 的优势：包络恒定 → 发射机可始终工作于峰值功率；信道幅度扰动可被接收端消除。

7.2 窄带 FM（$m\ll \pi /2$）

设 $x(t)=A\cos {\omega }_{m}t$，调制指数 $m=\Delta \omega /{\omega }_m=k_{f}A/{\omega }_m$：

$$y(t)\approx \cos {\omega }_{c}t-m\sin {\omega }_{m}t\sin {\omega }_{c}t$$

• 频谱与 AM-DSB/WC 类似（载波 + 边带），但载波与边带有 $\pi /2$ 相位差
• 边带带宽 = 调制信号带宽（与 $m$ 无关）

7.3 宽带 FM（$m$ 大）

$$y(t)=\cos ({\omega }_{c}t+m\sin {\omega }_{m}t)$$

• 频谱含载波 $\pm {\omega }_c$ 及无穷多边带 $\pm {\omega }_c+n{\omega }_m$
• 有效边带带宽（Bessel 函数衰减）：$B=2m{\omega }_m=2\Delta \omega =2k_{f}A$
• 带宽远大于调制信号带宽，且正比于调制信号幅度

7.4 FM 解调

• 微分 + 包络检波：FM → 微分转化为 AM → 包络检波恢复 $x(t)$
• 锁相/鉴频：直接跟踪相位或频率变化

8. 离散时间调制

8.1 DT 正弦 AM

$$y[n]=x[n]c[n]$$

频域为周期卷积：$Y(e^{j\omega })=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X(e^{j\theta })C(e^{j(\omega -\theta )})d\theta$

• 复指数载波 $c[n]=e^{j{\omega }_{c}n}$：$Y(e^{j\omega })=X(e^{j(\omega -{\omega }_c)})$，解调用 $e^{-j{\omega }_{c}n}$
• 正弦载波 $c[n]=\cos {\omega }_{c}n$：频谱在 $\pm {\omega }_c+k\cdot 2\pi$ 处复制，需满足：

$${\omega }_M<{\omega }_c<\pi -{\omega }_M$$

（第二项约束来自 DT 频谱 $2\pi$ 周期性，CT 中无此约束）

8.2 DT 频分复用与转调制

• M 路 DT FDM：各路带宽限制在 $\pi /M$，需先升采样（upsample）再调制叠加
• 转调制（Transmodulation）：在离散域实现 TDM↔FDM 转换，避免不必要的 D/A 和 A/D 转换

9. 初学者要点

1. 调制 = 频谱搬移：乘以载波使信号频谱移至适合传输的频段
2. 同步解调需相位锁定，异步解调用包络检波但需发射载波分量（功率浪费）
3. FDM 分频段，TDM 分时段——两种基本的多路复用策略
4. FM 用带宽换抗噪性：宽带 FM 带宽远大于 AM，但抗干扰能力更强
5. DT 调制与 CT 调制原理相同，但需额外注意频谱 $2\pi$ 周期性带来的约束

参见

• 连续时间傅里叶变换 — 乘法性质是 AM 分析的基础
• 离散时间傅里叶变换 — DT 调制的频域分析
• 采样定理与信号重建 — PAM 与采样的关系
• 信号与系统的时频特性 — 群延迟与 ISI
• Oppenheim Signals and Systems 2e 深度解析 — Ch.8 来源页