连续与离散时间信号基础

Oppenheim S&S Ch.1 建立信号与系统分析的数学基础：CT/DT 信号定义、能量与功率分类、自变量变换、周期性与奇偶分解、基本信号（指数/正弦/冲激/阶跃）、系统六大性质。这是全书后续所有章节的公共语言。

CT 与 DT 信号

连续时间信号 $x(t)$：自变量 $t$ 取连续实数值，在连续区间上定义。

离散时间信号 $x[n]$：自变量 $n$ 取整数值，仅在离散时刻定义（也称为”序列”）。

标记约定：CT 用圆括号 $x(t)$，DT 用方括号 $x[n]$。

DT 信号可由 CT 信号采样得到：$x[n]=x(n{T}_s)$，其中 $T_s$ 为采样周期。

信号能量与平均功率

CT 信号

总能量：

$$E_{\infty }=\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }|x(t){|}^{2}dt\text{(Eq.1.6)}$$

平均功率：

$$P_{\infty }=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt\text{(Eq.1.8)}$$

DT 信号

总能量：

$$E_{\infty }=\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{n=-N}^N|x[n]{|}^2=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|x[n]{|}^2\text{(Eq.1.7)}$$

平均功率：

$$P_{\infty }=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N|x[n]{|}^2\text{(Eq.1.9)}$$

信号三分类

类型	条件	示例
有限能量信号	$E_{\infty }<\infty$，$P_{\infty }=0$	矩形脉冲、衰减指数
有限功率信号	$P_{\infty }<\infty$，$E_{\infty }=\infty$	常数信号、周期信号
两者均无穷	$E_{\infty }=\infty$，$P_{\infty }=\infty$	$x(t)=t$

自变量变换

三种基本操作（保持信号形状，改变时间轴）：

变换	CT 形式	物理含义
时移	$x(t-t_0)$	延迟（$t_0>0$）或超前（$t_0<0$）
反转	$x(-t)$	关于 $t=0$ 的时间反转
缩放	$x(at)$	$

复合变换 $x(at+\beta )$：先平移 $\beta$，再缩放/反转 $a$——顺序很重要。

周期信号

CT 周期信号：存在 $T>0$ 使得 $x(t)=x(t+T)$ 对所有 $t$ 成立。基波周期 $T_0$ 为最小正值 $T$。

$$x(t)=x(t+T)\text{(Eq.1.11)}$$

DT 周期信号：存在正整数 $N$ 使得 $x[n]=x[n+N]$ 对所有 $n$ 成立。基波周期 $N_0$ 为最小正整数 $N$。

$$x[n]=x[n+N]\text{(Eq.1.12)}$$

CT vs DT 关键差异：DT 正弦 $\cos ({\omega }_{0}n)$ 仅在 ${\omega }_0/2\pi$ 为有理数时才是周期信号；DT 复指数 $e^{j{\omega }_{0}n}$ 对频率有 $2\pi$ 周期性——$e^{j({\omega }_0+2\pi )n}=e^{j{\omega }_{0}n}$。

奇偶分解

任意信号可分解为偶部 + 奇部：

$$\text{Ev}\{x(t)\}=\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)]\text{(Eq.1.18)}$$ $$\text{Od}\{x(t)\}=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)]\text{(Eq.1.19)}$$

• 偶信号：$x(-t)=x(t)$
• 奇信号：$x(-t)=-x(t)$，且 $x(0)=0$

指数与正弦信号

CT 复指数

$$x(t)=C{e}^{at},C,a\in \mathbb{C}\text{(Eq.1.20)}$$

• $a>0$（实）：增长指数；$a<0$：衰减指数
• $a=j{\omega }_0$（纯虚）：周期复指数 $e^{j{\omega }_{0}t}$，基波周期 $T_0=2\pi /|{\omega }_0|$

Euler 关系：

$$e^{j{\omega }_{0}t}=\cos {\omega }_{0}t+j\sin {\omega }_{0}t\text{(Eq.1.26)}$$

一般复指数 $C{e}^{at}$，$a=r+j{\omega }_0$：

$$C{e}^{at}=|C|e^{rt}\cos ({\omega }_{0}t+\theta )+j|C|e^{rt}\sin ({\omega }_{0}t+\theta )\text{(Eq.1.43)}$$

$r>0$ → 增长正弦，$r<0$ → 衰减正弦（阻尼正弦，RLC 电路响应）。

DT 复指数

$$x[n]=C{\alpha }^n\text{或等价}x[n]=C{e}^{\beta n}\text{(Eq.1.44-1.45)}$$

• $|\alpha |>1$：增长；$|\alpha |<1$：衰减
• $\beta =j{\omega }_0$（纯虚）：$e^{j{\omega }_{0}n}$，周期条件：${\omega }_0=2\pi m/N$

DT 独有性质：$e^{j({\omega }_0+2\pi )n}=e^{j{\omega }_{0}n}$——频率 ${\omega }_0$ 和 ${\omega }_0+2\pi$ 产生相同序列。因此 DT 复指数只需在一个 $2\pi$ 区间内选取 ${\omega }_0$。

谐波相关复指数集：

• CT：${\varphi }_k(t)=e^{jk(2\pi /T)t}$，$k=0,\pm 1,\pm 2,\dots$（无穷多个不同信号）
• DT：${\varphi }_k[n]=e^{jk(2\pi /N)n}$（仅 $N$ 个不同信号，${\varphi }_{k+N}[n]={\varphi }_k[n]$）

单位冲激与阶跃函数

DT 单位冲激（单位样本）

$$\delta [n]=\{\begin{array}{ll}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}\text{(Eq.1.63)}$$

DT 单位阶跃

$$u[n]=\{\begin{array}{ll}1,& n\ge 0\\ 0,& n<0\end{array}\text{(Eq.1.64)}$$

关系：$\delta [n]=u[n]-u[n-1]$（一阶差分），$u[n]={\sum }_{k=-\infty }^n\delta [k]={\sum }_{k=0}^{\infty }\delta [n-k]$

筛选性质：$x[n]\delta [n-n_0]=x[n_0]\delta [n-n_0]$ （Eq.1.69）

CT 单位冲激

$$\delta (t)=\frac{du(t)}{dt}\text{(Eq.1.72)}$$ $$u(t)={\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )d\tau \text{(Eq.1.71)}$$

筛选性质：$x(t)\delta (t-t_0)=x(t_0)\delta (t-t_0)$ （Eq.1.77）

$\delta (t)$ 是理想化短脉冲（面积 = 1，宽度 → 0），不是普通函数，需在广义函数/分布理论框架下理解。

系统六大性质

系统 $x(t)\to y(t)$（或 $x[n]\to y[n]$）的基本分类：

性质	定义	示例
记忆性	输出取决于当前以外的输入值	$y[n]=x[n-1]$ 有记忆
可逆性	不同输入产生不同输出	$y(t)=x(t-1)$ 可逆
因果性	输出仅取决于当前和过去的输入	$y[n]=x[n]+x[n-1]$ 因果
稳定性（BIBO）	有界输入产生有界输出	$y[n]={\sum }_{k=-\infty }^{n}x[k]$ 不稳定
时不变性	输入时移 → 输出同样时移	$y(t)=\sin [x(t)]$ 时不变
线性	满足叠加性 + 齐次性	$y(t)=2x(t)$ 线性

线性判据：$a{x}_1(t)+b{x}_2(t)\to a{y}_1(t)+b{y}_2(t)$

同时满足线性 + 时不变的系统 = LTI 系统——全书核心分析对象，Ch.2 展开。

典型例题

能量 vs 功率：$x(t)=e^{-2t}u(t)$

$$E_{\infty }={\int }_0^{\infty }{e}^{-4t}dt=\frac{1}{4}<\infty ⟹\text{有限能量信号},P_{\infty }=0$$

DT 周期性判断：$x[n]=\cos (8\pi n/31)$

• ${\omega }_0/2\pi =4/31$（有理数）→ 周期信号
• 基波周期 $N_0=31$

奇偶分解：$x[n]=u[n]$

• $\text{Ev}\{u[n]\}=\frac{1}{2}[u[n]+u[-n]]=\frac{1}{2}$（$n\ne 0$），$1$（$n=0$）
• $\text{Od}\{u[n]\}=\frac{1}{2}[u[n]-u[-n]]=\frac{1}{2}\text{sgn}(n)$

双向链接

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来源：Oppenheim Signals and Systems 2e 深度解析

相关：离散时间信号与系统（Martin Ch.13 视角的 DT 信号理论）