离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换 (DTFT)

核心思想：DTFT 是 CTFT 的离散时间对应。关键区别：$X(e^{j\omega })$ 在频域上总是以 $2\pi$ 为周期。

1. 定义

综合方程（逆变换）：

$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$$

分析方程（正变换）：

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$

记号：$x[n]\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }X(e^{j\omega })$

积分在任意长度为 $2\pi$ 的区间上进行，因为 $X(e^{j\omega })e^{j\omega n}$ 以 $2\pi$ 为周期。

2. CTFT vs DTFT 关键差异

特征	CTFT $X(j\omega )$	DTFT $X(e^{j\omega })$
频域周期性	一般非周期	总是周期 $2\pi$
综合方程积分范围	$(-\infty ,+\infty )$	任意 $2\pi$ 区间
高频含义	$\Vert \omega \Vert \to \infty$	$\omega$ 接近 $\pi$ 的奇数倍
低频含义	$\omega \approx 0$	$\omega$ 接近 $2\pi$ 的偶数倍

原因：离散时间复指数 $e^{j(\omega +2\pi )n}=e^{j\omega n}$——频率相差 $2\pi$ 的整数倍时完全相同。

3. 收敛条件

分析方程 $\sum x[n]e^{-j\omega n}$ 收敛的充分条件：

• 绝对可和：${\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }|x[n]|<\infty$
• 有限能量：${\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }|x[n]{|}^2<\infty$

综合方程在有限区间 $2\pi$ 上积分，无收敛问题（与 CTFS 有限求和类似）。

4. 周期信号的 DTFT

$e^{j{\omega }_{0}n}$ 的 DTFT（${\omega }_0$ 为 $2\pi$ 的有理数倍时信号周期）：

$$X(e^{j\omega })=\sum _{l=-\infty }^{+\infty }2\pi \delta (\omega -{\omega }_0-2\pi l)$$

一般周期信号 $x[n]={\sum }_{k=⟨N⟩}{a}_k{e}^{jk(2\pi /N)n}$：

$$X(e^{j\omega })=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_k\delta \left(\omega -\frac{2\pi k}{N}\right)$$

常用变换对：

信号	DTFT
$1$（常数）	${\sum }_{l}2\pi \delta (\omega -2\pi l)$
$\cos {\omega }_{0}n$	${\sum }_l\pi [\delta (\omega -{\omega }_0-2\pi l)+\delta (\omega +{\omega }_0-2\pi l)]$
$\sin {\omega }_{0}n$	${\sum }_l\frac{\pi }{j}[\delta (\omega -{\omega }_0-2\pi l)-\delta (\omega +{\omega }_0-2\pi l)]$
周期冲激串 ${\sum }_k\delta [n-kN]$	$\frac{2\pi }{N}{\sum }_l\delta \left(\omega -\frac{2\pi l}{N}\right)$

5. 典型变换对

信号 $x[n]$	DTFT $X(e^{j\omega })$
$a^{n}u[n],\Vert a\Vert <1$	$\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$
$a^{\Vert n\Vert },\Vert a\Vert <1$	$\frac{1-a^2}{1-2a\cos \omega +a^2}$
$\delta [n]$	$1$
$u[n]$	$\frac{1}{1-e^{-j\omega }}+{\sum }_l\pi \delta (\omega -2\pi l)$
矩形脉冲 $\Vert n\Vert \le N_1$	$\frac{\sin \omega (N_1+\frac{1}{2})}{\sin (\omega /2)}$
$\delta [n-n_0]$	$e^{-j\omega n_0}$
$(n+1)a^{n}u[n]$	$\frac{1}{(1-a{e}^{-j\omega }{)}^2}$

6. DTFT 性质表

6.1 基本性质

性质	时域	频域
周期性	—	$X(e^{j(\omega +2\pi )})=X(e^{j\omega })$
线性	$ax[n]+by[n]$	$aX(e^{j\omega })+bY(e^{j\omega })$
时移	$x[n-n_0]$	$e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega })$
频移	$e^{j{\omega }_{0}n}x[n]$	$X(e^{j(\omega -{\omega }_0)})$
共轭	$x^{\ast }[n]$	$X^{\ast }(e^{-j\omega })$
时间反转	$x[-n]$	$X(e^{-j\omega })$
时间扩展	$x_{(k)}[n]$（插入 $k-1$ 个零）	$X(e^{jk\omega })$

6.2 共轭对称性（$x[n]$ 为实信号）

• $X(e^{-j\omega })=X^{\ast }(e^{j\omega })$
• $|X(e^{j\omega })|$ 为偶函数，$\angle X(e^{j\omega })$ 为奇函数
• 实偶 → $X$ 实偶；实奇 → $X$ 纯虚奇
• 奇偶分解：$\mathcal{E}v\{x[n]\}\leftrightarrow \text{Re}\{X(e^{j\omega })\}$，$\mathcal{O}d\{x[n]\}\leftrightarrow j\text{Im}\{X(e^{j\omega })\}$

6.3 差分与累加

运算	时域	频域
一阶差分	$x[n]-x[n-1]$	$(1-e^{-j\omega })X(e^{j\omega })$
累加	${\sum }_{m=-\infty }^{n}x[m]$	$\frac{1}{1-e^{-j\omega }}X(e^{j\omega })+\pi X(e^{j0}){\sum }_k\delta (\omega -2\pi k)$
频域微分	$nx[n]$	$j\frac{dX(e^{j\omega })}{d\omega }$

6.4 Parseval 关系

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|x[n]{|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }|X(e^{j\omega }){|}^{2}d\omega$$

$|X(e^{j\omega }){|}^2$ 称为能量密度谱。

7. 卷积性质

$$y[n]=h[n]\ast x[n]\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }Y(e^{j\omega })=H(e^{j\omega })X(e^{j\omega })$$

• 稳定 DT LTI 系统 $\Rightarrow$ $\sum |h[n]|<\infty$ $\Rightarrow$ $H(e^{j\omega })$ 收敛
• DT 理想低通：$H(e^{j\omega })=1,|\omega |<{\omega }_c$ → $h[n]=\frac{\sin {\omega }_{c}n}{\pi n}$（非因果）
• 低通↔高通转换：$H_{hp}(e^{j\omega })=H_{lp}(e^{j(\omega -\pi )})$ → $h_{hp}[n]=(-1{)}^n{h}_{lp}[n]$

8. 乘法性质

$$y[n]=x_1[n]x_2[n]\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }Y(e^{j\omega })=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }{X}_1(e^{j\theta })X_2(e^{j(\omega -\theta )})d\theta$$

即时域相乘 = 频域周期卷积（$2\pi$ 区间积分）。

9. 对偶性

DTFT 内部无直接对偶

DTFT 分析方程（求和）与综合方程（积分）形式不对称 → 无 CTFT 式的对偶。

DTFS 对偶

DTFS 综合/分析方程对称：若 $g[n]\stackrel{FS}{\leftrightarrow }f[k]$，则 $f[n]\stackrel{FS}{\leftrightarrow }\frac{1}{N}g[-k]$。

DTFT ↔ CTFS 对偶

DTFT 方程与 CTFS 方程形式对偶：

• DTFT 综合方程 $\leftrightarrow$ CTFS 分析方程
• DTFT 分析方程 $\leftrightarrow$ CTFS 综合方程

应用示例：$\frac{\sin (\pi n/2)}{\pi n}$ 的 DTFT = 矩形脉冲（利用 CTFS 中周期方波的系数形式）。

10. 差分方程表征的 LTI 系统

对线性常系数差分方程 ${\sum }_{k=0}^N{a}_{k}y[n-k]={\sum }_{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$：

$$H(e^{j\omega })=\frac{{\sum }_{k=0}^M{b}_k{e}^{-jk\omega }}{{\sum }_{k=0}^N{a}_k{e}^{-jk\omega }}$$

• 频率响应为 $e^{-j\omega }$ 的有理函数
• 求冲激响应：对 $H(e^{j\omega })$ 做部分分式展开 → 逐项逆变换
• 例：$y[n]-ay[n-1]=x[n]$ → $H(e^{j\omega })=\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$ → $h[n]=a^{n}u[n]$

11. 初学者要点

1. $2\pi$ 周期性是核心：所有 DTFT 性质必须在此框架下理解
2. 高频 = $\omega$ 接近 $\pi$：与 CT 不同，DT 高频在 $\pi$ 的奇数倍附近
3. 时间扩展 ≠ CT 缩放：DT 只能插入零点（整数倍扩展），不能任意缩放
4. 周期卷积：乘法性质中的卷积是 $2\pi$ 区间上的周期卷积
5. 与 CTFT 系统并行：差分方程→有理函数→部分分式，流程完全相同

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参见

• 连续时间傅里叶变换 — CT 对偶版本
• 傅里叶级数与周期信号分析 — DTFS 基础
• 离散时间信号与系统 — z 变换与 DTFT 关系
• 信号与系统的时频特性 — 滤波器设计深入分析
• Laplace变换与z变换 — 不收敛系统的推广
• 线性时不变系统与卷积 — 卷积和的时域推导