离散时间信号与系统

Martin Ch.13 设独立章节系统讲解离散时间信号处理——这是其他模拟 IC 综合教材（Gray/Razavi/Allen/Sansen/Baker）均未采用的独特结构安排，为后续 SC 电路（Ch.14）、数据转换器（Ch.15-18）和 ΔΣ 调制器（Ch.18）提供统一的 DT 信号理论基础。

离散时间信号的基本表示

离散时间信号 $x[n]$ 由连续时间信号 $x(t)$ 以采样周期 $T_s$ 采样得到：

$$x[n]=x(n{T}_s),n=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots$$

采样频率 $f_s=1/T_s$。根据奈奎斯特采样定理，为避免混叠，信号带宽 $f_B$ 必须满足 $f_B<f_s/2$。

z 变换

定义

双边 z 变换：

$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$$

其中 $z=r{e}^{j\omega }$ 为复变量。单边 z 变换仅考虑 $n\ge 0$：

$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$$

常用 z 变换对

序列 $x[n]$	z 变换 $X(z)$	收敛域
$\delta [n]$（单位脉冲）	$1$	全平面
$u[n]$（单位阶跃）	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$
$a^{n}u[n]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$
$n{a}^{n-1}u[n]$	$\frac{1}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$
$\cos ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{1-z^{-1}\cos {\omega }_0}{1-2z^{-1}\cos {\omega }_0+z^{-2}}$	$
$\sin ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{z^{-1}\sin {\omega }_0}{1-2z^{-1}\cos {\omega }_0+z^{-2}}$	$

z 变换性质

性质	时域	z 域
线性	$a{x}_1[n]+b{x}_2[n]$	$a{X}_1(z)+b{X}_2(z)$
时移	$x[n-k]$	$z^{-k}X(z)$
卷积	$x_1[n]\ast x_2[n]$	$X_1(z)X_2(z)$
频移	$a^{n}x[n]$	$X(z/a)$
初值	$x[0]$	${\lim }_{z\to \infty }X(z)$

逆 z 变换

$$x[n]=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz$$

常用方法：部分分式展开 + 查表。

离散时间傅里叶变换（DTFT）

DTFT 是 $z=e^{j\omega }$ 时的 z 变换特例（单位圆上）：

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$

逆变换：

$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$$

DTFT 的物理意义：$X(e^{j\omega })$ 是离散时间信号的频谱，周期为 $2\pi$。

采样率转换

降采样（抽取）

降采样 M 倍：保留每 M 个样本中的第 1 个：

$$x_d[n]=x[nM]$$

z 域关系：

$$X_d(z)=\frac{1}{M}\sum _{k=0}^{M-1}X(z^{1/M}{W}_M^{-k})$$

其中 $W_M=e^{-j2\pi /M}$。降采样前的抗混叠低通滤波是必需的。

升采样（内插）

升采样 L 倍：在相邻样本间插入 L-1 个零：

$$x_u[n]=\{\begin{array}{ll}x[n/L],& n/L\in \mathbb{Z}\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

z 域关系：

$$X_u(z)=X(z^L)$$

升采样后的镜像滤波是必需的。

有理数采样率转换

通过级联升采样（L 倍）和降采样（M 倍）实现任意 $L/M$ 比率转换。核心规则：先内插后抽取，以最小化信息损失。

离散时间滤波器

FIR 滤波器（有限脉冲响应）

$$y[n]=\sum _{k=0}^{N-1}h[k]x[n-k]$$

传递函数：

$$H(z)=\sum _{k=0}^{N-1}h[k]z^{-k}$$

特点：线性相位、无条件稳定（极点全在 $z=0$）。

IIR 滤波器（无限脉冲响应）

$$y[n]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]-\sum _{k=1}^N{a}_{k}y[n-k]$$

传递函数：

$$H(z)=\frac{{\sum }_{k=0}^M{b}_k{z}^{-k}}{1+{\sum }_{k=1}^N{a}_k{z}^{-k}}$$

特点：高效率（更少系数实现同样陡峭的截止）、可能需要关注稳定性。

采样保持电路（S&H）的频率响应

理想 S&H 的频域响应（零阶保持）：

$$H_{ZOH}(j\omega )=\frac{1-e^{-j\omega T_s}}{j\omega T_s}\cdot e^{-j\omega T_s/2}=\text{sinc}\left(\frac{\omega T_s}{2}\right)\cdot e^{-j\omega T_s/2}$$

幅频响应为 $\text{sinc}$ 函数，在 $f=f_s$ 处有零点。这是 SC 电路分析和数据转换器建立时间分析的基础。

差异定位

与其他材料的差异

教材	覆盖范围
Martin Ch.13	独立章节系统讲解 DTFT/z 变换/采样率转换/DT 滤波器/S&H 响应，为模拟 IC 设计提供统一的 DT 信号数学基础
Gray/Razavi/Allen/Sansen/Baker	DTFT 和 z 变换分散在 SC/ΔΣ/数据转换器各章中，无独立系统的 DT 信号章节
Pavan Ch.1	从 ΔΣ 视角简要回顾采样定理和 DTFT，缺乏 z 变换和 DT 滤波器的一般覆盖

Martin 的独特价值在于：在模拟 IC 设计教材中系统纳入 DT 信号数学基础，使读者在处理 SC 电路（Ch.14）和 ΔΣ 转换器（Ch.18）时有完备的理论工具，无需额外查阅 DSP 教材。

Oppenheim Ch.10 补充：z 变换系统化视角

Martin Ch.13 从模拟 IC 设计角度引入 DT 信号基础，而 Oppenheim《Signals and Systems》Ch.10 提供了更系统的 z 变换理论。以下是对比要点：

方面	Martin Ch.13	Oppenheim Ch.10
z 变换定义	简要引入，侧重应用	双边/单边完整定义，ROC 9 条性质
ROC 规则	未系统讨论	环形/圆外/圆内/有理边界等完整规则
逆变换	部分分式为主	部分分式 + 幂级数展开（长除法）
极零点几何求值	未覆盖	沿单位圆几何估算频率响应
系统函数分析	因果性简要提及	因果（ROC 含 ∞ + 分子阶 ≤ 分母阶）/稳定（ROC 含单位圆）完整判据
单边 z 变换	未覆盖	非零初始条件差分方程求解
性质表	基本性质	完整 12 条性质（含时间扩展/z 域微分/初值定理）

关键补充：Oppenheim 的单边 z 变换（$\mathcal{X}(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$）是 Martin 未覆盖的内容，用于处理非零初始条件的差分方程，时延性质 $\mathcal{Z}\{x[n-1]\}=z^{-1}\mathcal{X}(z)+x[-1]$ 自动包含初始状态。

详细 z 变换理论参见 Laplace变换与z变换。

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