电磁兼容基础理论

📚 EMC of ICs 补充：本概念页基于 Electromagnetic Compatibility of Integrated Circuits Ch.3，涵盖 EMC 现象的数学与物理基础。与 连续时间傅里叶变换、Laplace变换与z变换 等信号处理理论互补，本页聚焦 EMC 特有的电磁辐射与高频电路理论。

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1. 基本电磁辐射理论

1.1 电偶极子（Hertzian Dipole）

长度 $dl$ 的电偶极子在球坐标系中产生一个磁场分量 $d{H}_{\varphi }$ 和两个电场分量 $d{E}_r$、$d{E}_{\theta }$：

$$d{H}_{\varphi }=\frac{Idl\sin \theta }{4\pi r^2}(1+\gamma r)e^{-\gamma r}$$ $$d{E}_r=\frac{Idl\cos \theta }{2\pi r^3}\left(\frac{1}{{\gamma }^2}+\frac{r}{\gamma }\right)e^{-\gamma r}\cdot \frac{1}{\eta }$$ $$d{E}_{\theta }=\frac{Idl\sin \theta }{4\pi r^3}\left(\frac{1}{{\gamma }^2}+\frac{r}{\gamma }+r^2\right)e^{-\gamma r}\cdot \frac{1}{\eta }$$

其中 $\gamma =jk=j\omega /c=j2\pi /\lambda$ 为传播常数，$\eta =120\pi \approx 377\Omega$ 为自由空间波阻抗。

1.2 磁环辐射（Small Loop）

直径 $D\ll \lambda$ 的小环，电流均匀分布，磁矩 $m=I\cdot S=I\cdot \pi D^2/4$：

近场近似（$r\ll \lambda$）：

$$H_r\approx \frac{m\cos \theta }{2\pi r^3},H_{\theta }\approx \frac{m\sin \theta }{4\pi r^3}$$ $$E_{\varphi }=\frac{j\omega {\mu }_{0}m\sin \theta }{4\pi r^2}$$

近场中 $|E/H|<{\eta }_0$（表现为电抗性）。

远场近似（$r\gg \lambda$）：

$$H_{\theta }=\frac{m\pi \sin \theta }{{\lambda }^{2}r}{e}^{-jkr},E_{\varphi }=-{\eta }_0{H}_{\theta }$$

远场中 $|E/H|={\eta }_0=377\Omega$，场幅度 $\propto f^2$。

1.3 辐射功率与辐射电阻

通过 Poynting 矢量 $\mathbf{P}=\mathbf{E}\times {\mathbf{H}}^{\ast }$ 的球面积分：

$$W_r={\oint }_{\text{Sphere}}\mathbf{P}\cdot d\mathbf{S}$$

对于小磁环，辐射电阻：

$$R_r=\frac{{\eta }_0\pi }{3}{\left(\frac{\pi D^2}{{\lambda }^2}\right)}^2\cdot \frac{1}{{\lambda }^2}$$

数值示例：3cm 直径环，1GHz，$R_r\approx 3\text{m}\Omega$，$I=100\text{mA}$ 时 $W_r\approx 60\mu \text{W}$（远小于电感功率和导线损耗）。

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2. 傅里叶分析与频域表示

2.1 傅里叶级数与变换

周期信号 $x(t)$ 的傅里叶级数展开：

$$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}$$

系数：$C_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt$，幅度 $|C_n|=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$

2.2 FFT 与频谱表示

• FFT 算法将时域→频域转换加速（要求 $N=2^k$ 个采样点）
• EMC 中常用 dBμV 单位：$V_{\text{dB}\mu \text{V}}=20{\log }_{10}(V/1\mu \text{V})$
• 1μV = 0 dBμV，1mV = 60 dBμV，1V = 120 dBμV

2.3 典型信号频谱特征

信号类型	频谱特征
纯正弦	单频尖峰
方波	奇次谐波，包络以 $1/f$ 下降
三角波	奇次谐波，包络以 $1/f^2$ 下降
脉冲正弦	中心频率处尖峰，带宽由脉冲宽度决定

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3. 传输线理论

3.1 分布参数模型

传输线由四个分布参数描述：

• $R$：串联电阻/单位长度（导体损耗）
• $L$：串联电感/单位长度
• $G$：并联电导/单位长度（介质损耗）
• $C$：并联电容/单位长度

3.2 Telegrapher 方程

$$\frac{\partial v}{\partial x}=-(R+j\omega L)i,\frac{\partial i}{\partial x}=-(G+j\omega C)v$$

波动方程：

$$\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}=(R+j\omega L)(G+j\omega C)v={\gamma }^{2}v$$

3.3 关键参数

特性阻抗：

$$Z_c=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}\stackrel{\text{lossless}}{\to }\sqrt{\frac{L}{C}}$$

传播常数：$\gamma =\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$

反射系数：

$$\Gamma =\frac{Z_L-Z_c}{Z_L+Z_c}$$

驻波比：$\text{SWR}=\frac{1+|\Gamma |}{1-|\Gamma |}$

3.4 负载条件

条件	输入阻抗
短路（$Z_L=0$）	$Z_{in}=j{Z}_c\tan (\beta l)$
开路（$Z_L=\infty$）	$Z_{in}=-j{Z}_c\cot (\beta l)$
匹配（$Z_L=Z_c$）	$Z_{in}=Z_c$（无反射）
$\lambda /4$ 线	$Z_{in}=Z_c^2/Z_L$（阻抗变换）

3.5 IC 中的传输线

• 微带线（Microstrip）：导体带在介质基板上，下方为地平面。广泛用于微波 IC
• 带状线（Stripline）：导体带嵌入两层介质之间。更好的屏蔽

3.6 Smith Chart

归一化阻抗 $z=Z/Z_c$ 的等电阻/等电抗圆在 $\Gamma$ 复平面上的映射。

• 实轴：纯电阻
• 上半平面：感性
• 下半平面：容性
• 顺时针移动 = 远离负载向源方向

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4. RLC 高频建模

4.1 频率依赖行为

低频（<100MHz）：

• 电阻 $R$：恒定
• 电感 $Z_L=j\omega L$：+20dB/dec
• 电容 $Z_C=1/j\omega C$：-20dB/dec

高频时，信号带宽进入 VHF/UHF/SHF 频段，寄生参数被激发，单元件模型失效。

4.2 趋肤效应

高频电流集中在导体表面薄层，有效截面积减小→电阻增大：

$$\delta =\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}(\text{趋肤深度})$$

4.3 实际元件模型

元件	低频模型	高频模型
电阻	$R$	$R$ + 并联 $C_p$ + 串联 $L_s$
电容	$C$	$C$ + 串联 $R_s$ + 串联 $L_s$（ESR/ESL）
电感	$L$	$L$ + 串联 $R_s$ + 并联 $C_p$

4.4 谐振频率

$$f_r=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

电容的自谐振频率（SRF）以上表现为感性，电感的 SRF 以上表现为容性。

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5. S 参数基础

散射参数（S 参数）描述多端口网络的入射波 $a_i$ 与反射波 $b_i$ 关系：

$$b_i=\sum _j{S}_{ij}{a}_j$$

• $S_{11}$：输入反射系数
• $S_{21}$：正向传输增益
• $S_{12}$：反向隔离
• $S_{22}$：输出反射系数

S 参数在高频 IC/封装表征中至关重要，可通过矢量网络分析仪（VNA）直接测量。

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相关页面

• EMC of Integrated Circuits 深度解析（来源页）
• 连续时间傅里叶变换（信号处理视角）
• 传输线与S参数（扩展阅读）
• IC电磁兼容测量方法与标准
• IC电磁兼容基础与耦合机制