最优控制理论

最优控制在满足约束的条件下，寻找使性能指标最优的控制律。从变分法到极小值原理再到 LQR，构成了现代控制理论的核心设计方法。

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最优控制问题

一般形式

系统：$\dot{x}=f(x,u,t)$

性能指标：

$$J=\varphi (x(t_f),t_f)+{\int }_{t_0}^{t_f}L(x,u,t)dt$$

目标：寻找 $u^{\ast }(t)$ 使 $J$ 最小（或最大）。

三种类型

类型	$\varphi$	$L$	典型问题
状态调节器	0	$x^{T}Qx+u^{T}Ru$	使状态趋近零
输出跟踪	0	$e^{T}Qe+u^{T}Ru$	使输出跟踪参考
时间最优	$t_f$	0	最快到达目标

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变分法

Euler-Lagrange 方程

无约束最优控制的基本工具。定义 Hamilton 函数：

$$H=L(x,u,t)+{\lambda }^{T}f(x,u,t)$$

最优条件：

• 状态方程：$\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial \lambda }=f(x,u,t)$
• 协态方程：$\dot{\lambda }=-\frac{\partial H}{\partial x}$
• 控制方程：$\frac{\partial H}{\partial u}=0$
• 横截条件：$\lambda (t_f)=\frac{\partial \varphi }{\partial x(t_f)}$

局限性

变分法要求 $u$ 无约束且 $\frac{\partial H}{\partial u}=0$ 可解——不能处理控制量有上下界的情况。

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极小值原理（Pontryagin）

核心定理

当控制量受约束 $u\in U$ 时，最优控制 $u^{\ast }(t)$ 满足：

$$u^{\ast }(t)=\arg \underset{u\in U}{\min }H(x^{\ast },u,{\lambda }^{\ast },t)$$

即最优控制使 Hamilton 函数取最小值（而非简单的 $\partial H/\partial u=0$）。

与变分法的区别

方法	控制约束	最优条件
变分法	无约束	$\partial H/\partial u=0$
极小值原理	有约束 $u\in U$	$H$ 取最小值

时间最优控制（Bang-Bang 控制）

$J=t_f$，$|u|\le u_{\max }$：

$$u^{\ast }(t)=\{\begin{array}{ll}+u_{\max }& {\lambda }^{T}b>0\\ -u_{\max }& {\lambda }^{T}b<0\end{array}$$

控制量在极值之间切换（Bang-Bang）。

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线性二次型最优控制（LQR）

问题描述

系统：$\dot{x}=Ax+Bu$

性能指标：

$$J={\int }_0^{\infty }(x^{T}Qx+u^{T}Ru)dt$$

其中 $Q\ge 0$（状态权重），$R>0$（控制权重）。

最优控制律

$$u^{\ast }=-R^{-1}{B}^{T}Px=-Kx$$

其中 $P$ 满足代数 Riccati 方程（ARE）：

$$A^{T}P+PA-PB{R}^{-1}{B}^{T}P+Q=0$$

LQR 的性质

• 最优反馈增益 $K=R^{-1}{B}^{T}P$
• 闭环系统 $(A-BK)$ 保证稳定（前提是 $(A,B)$ 可稳定且 $(A,Q^{1/2})$ 可观测）
• 至少有 $60°$ 相位裕度和无穷大增益裕度（鲁棒性极好）

$Q$ 和 $R$ 的物理意义

参数	增大时的效果
$Q$（状态权重）	更积极消除状态偏差 → 控制量增大 → 响应更快
$R$（控制权重）	更节省控制能量 → 控制量减小 → 响应更慢

$Q$ 和 $R$ 的选取反映控制性能与能量消耗之间的权衡。

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物理直觉

最优控制 = “最佳路径”

就像从 A 地到 B 地，有多种走法；最优控制找到使”代价”（时间/油耗/误差）最小的那条路径。

Hamilton 函数 = “瞬时代价”

$H=L+{\lambda }^{T}f$：当前控制 $u$ 不仅影响即时代价 $L$，还通过改变状态 $\dot{x}=f$ 影响未来代价。$\lambda$（协态）衡量”状态的边际价值”。

LQR = “自动调参”

LQR 的优势：给定 $Q$ 和 $R$，Riccati 方程自动算出最优反馈增益，无需手动调参。

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与已有知识的关联

• 状态空间基础 → 状态空间分析与综合
• 反馈控制 → 反馈控制原理与系统组成
• 稳定性 → 线性系统时域分析（Lyapunov 方法）
• 离散 LQR → 离散控制系统（离散 Riccati 方程）

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来源：胡寿松 自动控制原理 第八版 深度解析 Ch.10