傅里叶级数与周期信号分析

Oppenheim S&S Ch.3 从复指数是 LTI 系统的特征函数出发，建立 CT/DT 傅里叶级数的完整理论：综合/分析方程、收敛性与 Gibbs 现象、性质表、Parseval 关系、傅里叶级数与 LTI 系统的交互。

复指数是 LTI 系统的特征函数

LTI 系统对复指数输入的响应 = 同频率复指数 × 复常数（特征值）：

$$e^{st}\stackrel{\text{LTI}}{\to }H(s)e^{st},H(s)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{-s\tau }d\tau \text{(Eq.3.1, 3.6)}$$ $$z^n\stackrel{\text{LTI}}{\to }H(z)z^n,H(z)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }h[k]z^{-k}\text{(Eq.3.2, 3.10)}$$

这是整个傅里叶分析（FS → FT → Laplace → z）的基石：复指数输入 → 仅幅度/相位改变。

CT 傅里叶级数

综合方程（Synthesis）

$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t},{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\text{(Eq.3.38)}$$

分析方程（Analysis）

$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{T}x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt\text{(Eq.3.39)}$$

三角形式（实信号）

$$x(t)=a_0+2\sum _{k=1}^{\infty }|a_k|\cos (k{\omega }_{0}t+\angle a_k)\text{(Eq.3.32)}$$

DT 傅里叶级数

DT 傅里叶级数是有限项求和（仅 $N$ 个独立系数）：

综合方程

$$x[n]=\sum _{k=⟨N⟩}{a}_k{e}^{jk(2\pi /N)n}\text{(Eq.3.94)}$$

分析方程

$$a_k=\frac{1}{N}\sum _{n=⟨N⟩}x[n]e^{-jk(2\pi /N)n}\text{(Eq.3.95)}$$

CT vs DT 关键差异：CT FS 是无穷级数（收敛问题），DT FS 是有限和（$N$ 项，无收敛问题）。DT FS 系数 $a_k$ 对 $k$ 有 $N$ 周期性：$a_{k+N}=a_k$。

收敛条件与 Gibbs 现象

Dirichlet 条件（CT FS 收敛的充分条件）

1. 一个周期内绝对可积：${\int }_T|x(t)|dt<\infty$
2. 一个周期内极值点有限
3. 一个周期内不连续点有限（每个不连续点有限跳跃）

满足 Dirichlet 条件的信号：

• 连续点：FS 收敛到 $x(t)$
• 不连续点：FS 收敛到不连续点两侧值的平均值
• 均方误差趋于零（能量意义下收敛）

Gibbs 现象

在不连续点附近，截断傅里叶级数 $x_N(t)={\sum }_{k=-N}^N{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$ 产生约 9% 过冲，且过冲幅度不随 $N$ 增大而减小（仅压缩向不连续点靠拢）。

实践含义：截断近似不连续信号时需选足够大的 $N$，使波纹能量可忽略。

CT 傅里叶级数性质表

性质	时域信号	FS 系数
线性	$Ax(t)+By(t)$	$A{a}_k+B{b}_k$
时移	$x(t-t_0)$	$a_k{e}^{-jk{\omega }_0{t}_0}$
频移	$e^{jM{\omega }_{0}t}x(t)$	$a_{k-M}$
共轭	$x^{\ast }(t)$	$a_{-k}^{\ast }$
时间反转	$x(-t)$	$a_{-k}$
时间缩放	$x(at)$（周期 $T/a$）	$a_k$（系数不变，基频变）
周期卷积	${\int }_{T}x(\tau )y(t-\tau )d\tau$	$T\cdot a_k{b}_k$
相乘	$x(t)y(t)$	${\sum }_l{a}_l{b}_{k-l}$（DT 卷积）
微分	$dx(t)/dt$	$jk{\omega }_0{a}_k$
共轭对称（$x$ 实）	$x(t)$ 实	$a_{-k}=a_k^{\ast }$

Parseval 关系

CT

$$\frac{1}{T}{\int }_T|x(t){|}^{2}dt=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|a_k{|}^2\text{(Eq.3.67)}$$

物理含义：周期信号的平均功率 = 各谐波分量功率之和。$|a_k{|}^2$ = 第 $k$ 次谐波的功率。

DT

$$\frac{1}{N}\sum _{n=⟨N⟩}|x[n]{|}^2=\sum _{k=⟨N⟩}|a_k{|}^2$$

傅里叶级数与 LTI 系统

若 LTI 系统的输入是周期信号 $x(t)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{\leftrightarrow }{a}_k$，则输出也是同周期信号：

$$y(t)\stackrel{\mathcal{F}\mathcal{S}}{\leftrightarrow }{b}_k=H(jk{\omega }_0)\cdot a_k$$

其中 $H(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(t)e^{-j\omega t}dt$ 是系统的频率响应。

滤波的本质：LTI 系统对各谐波分量分别乘以 $H(jk{\omega }_0)$——改变幅度和相位。

滤波概念

频率成形滤波（frequency shaping）：系统改变输入信号各频率分量的相对幅度（如均衡器）

频率选择滤波（frequency selective）：系统通过某些频率、阻止其他频率（如 LPF/HPF/BPF/BSF）

理想滤波器：

• 理想 LPF：$H(j\omega )=1$（$|\omega |<{\omega }_c$），$0$（$|\omega |>{\omega }_c$）
• 理想 HPF：$H(j\omega )=0$（$|\omega |<{\omega }_c$），$1$（$|\omega |>{\omega }_c$）

实际滤波器示例：

• RC 低通：$H(j\omega )=\frac{1}{1+j\omega RC}$（一阶衰减）
• DT 差分方程低通：$y[n]-\alpha y[n-1]=x[n]$，$H(e^{j\omega })=\frac{1}{1-\alpha e^{-j\omega }}$

双向链接

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来源：Oppenheim Signals and Systems 2e 深度解析