Sun PWM 开关电子系统 Ch2 深度解析

Dynamics and Control of Switched Electronic Systems (Springer, 2012) Ch.2 “Pulse-Width Modulation” by Jian Sun (Rensselaer Polytechnic Institute) 系统阐述了 PWM 的基本原理与数学模型。本章覆盖恒频/变频 PWM 的三种载波类型（锯齿波/反向锯齿波/三角波）、双重傅里叶级数频谱建模、恒频/变频 PWM 小信号建模、交错技术与谐波对消、以及峰值电流控制等核心主题。本章是连接电力电子调制理论与控制理论的桥梁章节。

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书籍定位

属性	内容
书名	Dynamics and Control of Switched Electronic Systems
章节	Ch.2 — Pulse-Width Modulation (pp.25-61)
作者	Jian Sun（Rensselaer Polytechnic Institute）
出版	Springer-Verlag London, 2012 (Advances in Industrial Control 丛书)
页码	37 页（含 20 幅图表和 2 张表格）
定位	开关电子系统动力学与控制教材中的 PWM 理论专章
风格	数学严格 + 工程应用——从双重傅里叶级数到小信号模型到工程设计
先行知识	傅里叶级数、基本控制理论、电力电子基础、Bessel 函数

与已有知识库的定位差异

对比维度	Sun (2012) Ch.2	已有知识库
侧重	PWM 数学建模与动态分析（频谱+小信号+控制）	Class-D PWM（音频功放实现）、Meynard 多电平（调制器实现）
频谱模型	双重傅里叶级数闭式解（公式 2.10-2.15）	无（Class-D 仅定性讨论谐波）
小信号模型	恒频/变频 PWM 调制器增益统一框架、侧带效应频率极限	反馈控制原理与系统组成（通用反馈）、《Class-D》中的反馈与补偿
交错技术	对称/非对称交错、谐波缩放因子 ${\kappa }_m$ 通用框架	Meynard Ch.4 多电平调制器（xZOH 均衡器，纯时域方法）
峰值电流控制	KBM 纹波重构 + 次谐波不稳定性统一预测	无
变频 PWM	恒关断/恒导通时间小信号模型（相位超前特性）	Class-D 自激振荡调制器（定性描述）
公式覆盖	含 Bessel 函数的完整频谱表达式	无 Bessel 函数公式

核心新贡献：PWM 全类型频谱建模、恒频/变频调制器小信号增益统一理论、对称/非对称交错谐波缩放因子分析框架、峰值电流控制 KBM 平均模型与次谐波不稳定性预测。这些内容在知识库中属于部分覆盖（频谱建模和小信号建模为全新贡献，交错与峰值电流控制与已有内容互补）。

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本章结构

§2.1 PWM 基本形式与功能（Form and Function）

核心概念：PWM 是电力电子控制的基础，理想 PWM 波形（零上升/下降时间）最小化开关损耗。

恒频 PWM（Constant-Frequency, CF）

比较器实现：$b_{\text{pwm}}(t)=\mathrm{sgn}[r(t)-c(t)]$

三种载波信号：

1. 锯齿波（Sawtooth） → 恒频后缘调制（Trailing-Edge Modulation）
2. 反向锯齿波（Inverted Sawtooth） → 恒频前缘调制（Leading-Edge Modulation）
3. 三角波（Triangle） → 恒频双边缘调制（Double-Edge Modulation）

自然采样 PWM（Natural-Sampling）vs 规则采样 PWM（Regular-Sampling）。

变频 PWM（Variable-Frequency, VF）

三种常见形式：

• 恒关断时间、变导通时间（Constant OFF-time, Variable ON-time）
• 恒导通时间、变关断时间（Constant ON-time, Variable OFF-time）
• 滞环控制（Hysteretic Control）

参考信号定义

$$r(t)=R_0+R_1\cos (2\pi f_{1}t+{\theta }_1)$$

适用于 DC-DC（$R_1=0$）和 AC-DC/DC-AC（$R_1>0$）场景。

→ PWM基本形式与载波类型

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§2.2 PWM 频谱建模与特性（Spectral Modelling）

双重傅里叶级数方法（Double Fourier Series Method）

当载波频率 $f_c$ 与参考基频 $f_1$ 可公度时，PWM 波形才是周期的。双重傅里叶级数通过引入二维函数 $f(x,y)$ 解决此问题：

二维函数 $f(x,y)$ 的傅里叶级数：

$$f(x,y)=\frac{A_{00}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(A_{0n}\cos ny+B_{0n}\sin ny)+\sum _{m=1}^{\infty }(A_{m0}\cos mx+B_{m0}\sin mx)+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }[A_{mn}\cos (mx+ny)+B_{mn}\sin (mx+ny)]$$

系数：

$$A_{mn}=\frac{1}{2{\pi }^2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x,y)\cos (mx+ny)dxdy$$ $$B_{mn}=\frac{1}{2{\pi }^2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x,y)\sin (mx+ny)dxdy$$

将 $x=2\pi f_{1}t+{\theta }_1$, $y=2\pi f_{c}t+{\theta }_c$ 代回即得 PWM 输出频谱。

频谱模型

关键参数定义：

• 平均占空比：$D=R_0/C_m$
• 调制指数：$M=2R_1/C_m$
• Bessel 函数：$J_n(z)=\frac{j^{-n}}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{jz\cos \theta }{e}^{jn\theta }d\theta$

1. 单极后缘调制（Unipolar Trailing-Edge）：

$$b_{\text{pwm}}(t)=D+\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m\pi }\left[\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))-J_0(m\pi M)\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)-2mD\pi )\right]+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{J_n(m\pi M)}{m\pi }\sin \left(\frac{n\pi }{2}-m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)-n({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+2mD\pi \right)$$

2. 双极后缘调制（Bipolar Trailing-Edge）：

$$b_{\text{pwm}}(t)=\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m\pi }[\cos (m\pi )-J_0(m\pi M)]\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{J_n(m\pi M)}{m\pi }\sin \left(\frac{n\pi }{2}-m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)-n({\omega }_{1}t+{\theta }_1)\right)$$

3. 单极前缘调制（Unipolar Leading-Edge）：

$$b_{\text{pwm}}(t)=D+\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)-\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m\pi }\left[\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))-J_0(m\pi M)\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)+2mD\pi )\right]-\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{J_n(m\pi M)}{m\pi }\sin \left(\frac{n\pi }{2}-m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)-n({\omega }_{1}t+{\theta }_1+\pi )-2mD\pi \right)$$

4. 双极前缘调制（Bipolar Leading-Edge）：

$$b_{\text{pwm}}(t)=\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)-\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m\pi }[\cos (m\pi )-J_0(m\pi M)]\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))-\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{J_n(m\pi M)}{m\pi }\sin \left(\frac{n\pi }{2}-m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)-n({\omega }_{1}t+{\theta }_1+\pi )\right)$$

5. 单极双边缘调制（Unipolar Double-Edge）：

$$b_{\text{pwm}}(t)=D+\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{2}{m\pi }{J}_0\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\sin (Dm\pi )\cos (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{2}{m\pi }{J}_n\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\sin \left(\frac{(2Dm+n)\pi }{2}\right)\cos (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)+n({\omega }_{1}t+{\theta }_1))$$

6. 双极双边缘调制（Bipolar Double-Edge）：

$$b_{\text{pwm}}(t)=\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{2}{m\pi }{J}_0\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\sin \left(\frac{m\pi }{2}\right)\cos (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{2}{m\pi }{J}_n\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\sin \left(\frac{(m+n)\pi }{2}\right)\cos (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)+n({\omega }_{1}t+{\theta }_1))$$

频谱特性

PWM 谐波分为三类：

1. 载波频率及其谐波：$f=m{f}_c$, $m=1,2,\dots$
2. 载波的边带谐波：$f=m{f}_c+n{f}_1$, $n=\pm 1,\pm 2,\dots$

双边缘调制优势：含因子 $\sin ((m+n)\pi /2)$，当 $m+n$ 为偶数时幅值为零——消除了偶次载波谐波的偶次边带和奇次载波谐波的奇次边带，谐波含量远低于前缘/后缘调制。

→ PWM频谱建模与双重傅里叶级数

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§2.3 小信号建模（Small-Signal Modelling）

恒频 PWM 小信号模型

调制器增益：$\hat{d}=\hat{R}/C_m$，与载波形式无关。

频率有效性极限：当 $f_1=m{f}_c/2$（$m=1,2,\dots$）时，边带分量落入扰动频率，线性时不变模型失效。最低失效频率为 $f_c/2$——这是平均模型的频率上限。

变频 PWM 小信号模型

恒定关断时间调制器：

$${\Gamma }_1(s)=\frac{T_{\text{OFF}}}{m_0(T_{\text{ON}}+T_{\text{OFF}}{)}^2}{K}_1(s)e^{s{T}_{\text{ON}}/2}$$

其中：

$$K_1(s)=\frac{T_{\text{ON}}+T_{\text{OFF}}}{T_{\text{OFF}}}{\left[\frac{\sin (s{T}_{\text{OFF}}/j2)}{\sin (s(T_{\text{ON}}+T_{\text{OFF}})/j2)}-1\right]}^{-1}$$

关键特征：相位超前 $e^{s{T}_{\text{ON}}/2}$，有利于提高控制环相位裕度。$T_{\text{ON}}$ 越大（占空比越大），超前越显著。

恒定导通时间调制器（对偶）：

$${\Gamma }_2(s)=-\frac{T_{\text{ON}}}{m_0(T_{\text{ON}}+T_{\text{OFF}}{)}^2}{K}_2(s)e^{s{T}_{\text{OFF}}/2}$$

其中：

$$K_2(s)=\frac{T_{\text{ON}}+T_{\text{OFF}}}{T_{\text{ON}}}{\left[\frac{\sin (s{T}_{\text{ON}}/j2)}{\sin (s(T_{\text{ON}}+T_{\text{OFF}})/j2)}-1\right]}^{-1}$$

同样包含 180° 反相（负号）和相位超前 $e^{s{T}_{\text{OFF}}/2}$。

→ PWM小信号建模

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交错 PWM（§2.3.3 Interleaved PWM）

当 $N$ 个相同变换器并联/串联运行，载波之间相移 $360^{\circ }/N$：

对称交错：$N$ 模块载波相移 $2\pi /N$ → 消除 $m\ne iN$ 的所有载波谐波及其边带。最低剩余谐波频率为 $N{f}_c$。

谐波缩放因子（Harmonic Scaling Factor）：

$${\kappa }_m=\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{e}^{jm{\theta }_{ck}}$$

对称交错时：${\kappa }_m=1$ 当 $m=iN$，否则 ${\kappa }_m=0$。

非对称交错（Asymmetric Interleaving）：

• 规则型：相邻相移相等但不等于 $2\pi /N$：${\theta }_{ck}=(k-1)\Delta {\theta }_c+{\theta }_{c1}$
• 不规则型：相移不相等

非对称交错允许选择性降低特定载波谐波及其边带，如 EMI 测量起始频率（150 kHz）处的第三次载波谐波。

→ 交错PWM与谐波抵消技术

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§2.4 峰值电流控制（Peak Current Control）

原理（Fig. 2.20）：时钟信号导通开关，电感电流与补偿后的参考比较，关断开关。无需外部载波信号——电感电流纹波充当等效载波。

占空比约束（Duty Ratio Constraint）

稳态假设模型（Hsu et al., 1979）：

$$⟨i_L⟩=i_p-\left(m_c+\frac{m_1}{2}\right)d{T}_s$$

动态模型（Verghese et al., 1989）：

$$⟨i_L⟩=i_p-m_{c}d{T}_s+\frac{T_s}{2}[m_1{d}^2+m_2(1-d{)}^2]$$

次谐波不稳定性（Subharmonic Instability）

无斜坡补偿（$m_c=0$）时，采样数据模型：

$$i_L[k+1]=-\frac{m_2}{m_1}{i}_L[k]+\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)i_p-m_2{T}_s$$

稳定性条件：$|m_2/m_1|<1$，代入稳态 $m_{1}d=m_2(1-d)$ 得：

$$\frac{m_2}{m_1}=\frac{d}{1-d}>1⟹d>0.5$$

结论：无斜坡补偿时，占空比 > 50% 即产生次谐波不稳定性。

KBM 纹波重构

Krylov–Bogoliubov–Mitropolsky（KBM）算法将瞬时变量分解为平均值 + 纹波：

$$x(t)=⟨x(t)⟩+{\Psi }_1(t,⟨x(t)⟩)$$

一阶纹波函数（开关导通区间 $t\in [0,d{T}_s]$）：

• Buck 变换器：${\hat{i}}_L(t)=\frac{v_{\text{in}}}{2L}(d-1)(d{T}_s-2t)$
• Boost 变换器：${\hat{i}}_L(t)=\frac{⟨v_0⟩}{2L}(d-1)(d{T}_s-2t)$
• Buck-Boost 变换器：${\hat{i}}_L(t)=\frac{v_{\text{in}}+⟨v_0⟩}{2L}(d-1)(d{T}_s-2t)$

完整平均模型（Boost 示例）

状态空间平均模型：

$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}⟨i_L⟩\\ ⟨v_0⟩\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& \frac{d-1}{L}\\ \frac{1-d}{C}& -\frac{1}{CR}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}⟨i_L⟩\\ ⟨v_0⟩\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{v}_{\text{in}}/L\\ 0\end{array}\right]$$

占空比约束（基于纹波重构）：

$$i_p-m_{c}d{T}_s=⟨i_L⟩+\frac{d{T}_s(1-d)⟨v_0⟩}{2L}$$

线性化后系统矩阵特征多项式：

$$\det (sI-A)=s^2+\frac{s}{1-2D}\left(\frac{2}{T_s}+\frac{1-D}{RC}\right)+a_0$$

当 $D>0.5$ 时 $s$ 项系数为负 → 至少一个正根 → 系统不稳定。

→ 峰值电流控制原理与建模

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核心贡献总结

主题	核心贡献	与已有知识的差异
频谱建模	6 种 PWM 方法的闭式双重傅里叶级数频谱模型	已有知识库无任何 PWM 频谱公式
小信号建模	恒频增益 $1/C_m$ + 变频相位超前特性 + $f_c/2$ 频率极限	已有仅通用反馈理论，无调制器专用小信号模型
交错技术	对称/非对称交错统一 ${\kappa }_m$ 谐波缩放因子框架	Meynard 仅时域讨论，无频域通用分析框架
峰值电流控制	KBM 纹波重构 + 次谐波不稳定性统一预测	知识库中完全空白
变频 PWM	恒关断/恒导通时间传递函数 + 相位超前对稳定性改善	Class-D 仅定性讨论自激振荡，无定量模型
Bessel 函数应用	在 PWM 频谱分析中的完整应用	知识库首次出现 Bessel 函数

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参考文献

1. Sun, J. (2012). “Pulse-Width Modulation.” In Dynamics and Control of Switched Electronic Systems, Ch.2, pp.25-61. Springer. doi:10.1007/978-1-4471-2885-4_2
2. Bennett, W.R. (1933). New results in the calculation of modulation products. Bell Syst. Tech. J., 12(4), 238-243.
3. Black, H.S. (1953). Modulation Theory. Van Nostrand Reinhold.
4. Holmes, D.G., & Lipo, T.A. (2003). Pulse Width Modulation for Power Converters. Wiley-IEEE Press.
5. Bogoliubov, N.N., & Mitropolsky, Y.A. (1961). Asymptotic Methods in the Theory of Nonlinear Oscillations. Hindustan Publishing.
6. Verghese, G.C., Bruzos, C.A., & Mahabir, K.N. (1989). Averaged and sampled-data models for current mode control: A reexamination. IEEE PESC, 484-491.
7. Sun, J. (2002). Small-signal modeling of variable-frequency pulse-width modulators. IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 38(3), 1104-1108.
8. Beechner, T., & Sun, J. (2009). Asymmetric interleaving — a new approach to operating parallel converters. IEEE ECCE, 99-105.

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图表清单

编号	标题	类型	说明
Fig.2.1	恒频 PWM 比较器实现	原理图	三种载波（锯齿波/反向锯齿波/三角波）与参考的比较
Fig.2.2	变频 PWM 恒定关断时间	波形图	关断时间固定、导通时间随参考变化的 PWM
Fig.2.3	CF 后缘调制的双重傅里叶表示	图示	堆叠载波与参考的替代表示方法
Fig.2.4	CF 双边缘调制的双重傅里叶表示	图示	原载波与逆载波交替堆叠
Fig.2.5	二维函数 $f_k(x,y)$ 定义	3D 图示	$x$-$y$ 坐标系中的二维函数与切片
Fig.2.6-2.11	六种 PWM 方法波形图（每种一图）	波形图	分别对应公式(2.10)-(2.15)
Fig.2.12	Bessel 函数 $J_0(x)$ 至 $J_{10}(x)$	曲线图	展示 Bessel 函数基本特性
Fig.2.13	半桥电路基本单元	电路图	AC-DC/DC-AC 接口基本构建模块
Fig.2.14	PWM 调制器在反馈控制中的位置	方框图	参考 $r(t)$ → 比较器 → PWM → 功率级 → 反馈控制器 $H(s)$
Fig.2.15	三种基本 DC-DC 变换器拓扑	电路图	Buck/Boost/Buck-Boost
Fig.2.16	恒关断时间调制小信号分析	波形图	稳态 vs 扰动下的 PWM 输出对比
Fig.2.17	双 Buck 并联交错及其纹波对消	电路+波形	两相交错 $180^{\circ }$ 的电流纹波对消
Fig.2.18	双半桥并联交错 AC 侧	电路图	通过电感并联的两相逆变器
Fig.2.19	四三角载波交错	波形图	对称/非对称交错载波相移示意
Fig.2.20	峰值电流控制原理	电路+波形	时钟导通、电流比较关断、斜坡补偿
Tab.2.1	载波与边带谐波分量对比（公式 2.11 vs 2.15）	表格	双边缘 vs 后缘调制的 $m=1,2,3$ 谐波幅值
Tab.2.2	规则非对称交错谐波缩放因子 ${\kappa }_m$	表格	$\Delta {\theta }_c$ 取不同值时 $N=4$ 的 ${\kappa }_m$ 值

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章节 → 概念页映射总表

章节	操作	目标页面
§2.1	新建	PWM基本形式与载波类型
§2.2	新建	PWM频谱建模与双重傅里叶级数
§2.3.1-2.3.2	新建	PWM小信号建模
§2.3.3	新建	交错PWM与谐波抵消技术
§2.4	新建	峰值电流控制原理与建模
§2.1 (VF部分)	新建	变频PWM调制技术

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相关页面

• PWM基本形式与载波类型 — §2.1 概念页
• PWM频谱建模与双重傅里叶级数 — §2.2 概念页
• PWM小信号建模 — §2.3.1-2.3.2 概念页
• 交错PWM与谐波抵消技术 — §2.3.3 概念页
• 峰值电流控制原理与建模 — §2.4 概念页
• 变频PWM调制技术 — 变频 PWM 概念页
• Jian Sun — 作者实体
• Class-D比较器与PWM电路 — Class-D PWM 实现
• Class-D替代调制方案 — 替代调制方案
• 多电平变换器基础特性 — 多电平谐波消除
• 反馈控制原理与系统组成 — 反馈控制基础
• 傅里叶级数与周期信号分析 — 傅里叶级数基础
• 线性系统时域分析 — 时域分析
• 频域分析法与稳定性 — 频域稳定性分析