Pavan 2010 CT-ΔΣ Design Centering 深度解析

Pavan 2010: Systematic Design Centering of Continuous Time Oversampling Converters

来源: S. Pavan, “Systematic Design Centering of Continuous Time Oversampling Converters,” IEEE TCAS-II, vol. 57, no. 3, pp. 158-162, Mar. 2010.

基本信息

项目	内容
期刊	IEEE TCAS-II (Express Briefs)
年份	2010
作者	Shanthi Pavan (IIT Madras)
领域	CT-ΔΣ 调制器环路滤波器系数设计
DOI	10.1109/TCSII.2010.2041814

论文定位

本文解决了 CT-ΔΣ 调制器设计中的核心实际难题——当使用真实运放（有限增益、多余极点/零点）时，如何稳健地确定环路滤波器系数以实现目标 NTF。传统方法（开环拟合）在非理想运放下数值不稳定，本文提出闭环拟合方法，通过对 NTF 关系式 $NTF(z)(1+L(z))=1$ 进行拟合来避免此问题。

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核心内容

§I. 引言——问题定义

CT-ΔΣ 设计流程：

1. 选择目标 NTF（如 $(1-z^{-1}{)}^2$）
2. 计算离散时间环路滤波器：$L(z)=(1-NTF)/NTF$
3. 利用脉冲不变变换（impulse invariance）+ DAC 脉冲形状 + 过量环路延迟 $\tau$ → 确定连续时间滤波器 $L_c(s)$
4. 确定系数 $k_0,k_1,k_2$

方法一：解析法——将 $1/s$ 和 $1/s^2$ 转换为 z 域等效表达式，然后解方程。

$$1/s\to \frac{(1-\tau )z+\tau }{z-1}$$ $$1/s^2\to \frac{(0.5-\tau +0.5{\tau }^2)z+0.5(1-{\tau }^2)}{(z-1{)}^2}+z^{-1}\frac{\tau (1-0.5\tau )z+0.5{\tau }^2}{(z-1{)}^2}$$

问题：代数运算繁琐，且对非理想运放（有限增益 → 极点不在 $z=1$）无解。

方法二：数值法（开环拟合）——采样脉冲响应构造矩阵方程：

$$[{\mathbf{l}}_0{\mathbf{l}}_1{\mathbf{l}}_2]\mathbf{K}=\mathbf{l}$$

其中 ${\mathbf{l}}_i$ 是第 $i$ 条路径的 $N$ 个采样脉冲响应，$\mathbf{l}$ 是目标 $L(z)$ 的脉冲响应。

问题：系数 $K$ 随采样数 $N$ 变化，设计者不知该用哪组系数！

初学者提示：这是一个看似简单但实际很棘手的问题。理想积分器的脉冲响应 $l_2[n]\propto n$（线性增长），但有限增益积分器的 $l_2[n]\to 0$。当 $N$ 增大时，最小二乘法试图用更大的 $k_2$ 来补偿这一误差，导致系数随 $N$ 单调增长。

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§II. 数值系数调优的问题

二阶 CIFF 调制器实例（$\tau =0.25$, NTF=$(1-z^{-1}{)}^2$）：

$N$	$k_0$	$k_1$	$k_2$	结果
5	合理	合理	合理	NTF 可接受
15	偏大	偏大	偏大	NTF 恶化
25	过大	过大	过大	NTF 灾难性恶化

根本原因：$l_i[n]$ 对单位圆附近的极点位置极度敏感。有限增益使极点从 $z=1$ 微移，但 $l_i[n]$ 变化巨大。

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§III. 提出的方法——闭环拟合

核心创新：不拟合环路滤波器响应，而是拟合关系式：

$$NTF(z)(1+L(z))=1$$

时域形式：

$$h[n]+h[n]\ast l[n]=\delta [n]$$

代入 $l[n]=[l_0{l}_1{l}_2]K$，定义 $h_i[n]=l_i[n]\ast h[n]$：

$$[{\mathbf{h}}_0{\mathbf{h}}_1{\mathbf{h}}_2]\mathbf{K}=\delta [n]-\mathbf{h}$$

为什么闭环拟合更稳健：

• $h_i[n]=l_i[n]\ast h[n]$ 中，NTF 的零点部分抵消了 $L(z)$ 在单位圆附近的极点
• 理想运放时 $h_i[n]$ 是 FIR（零极点完全抵消）
• 非理想时极点微移导致不完全抵消，但 $h_i[n]$ 变化很小
• 而 $l_i[n]$ 对极点微移极度敏感

直观理解：开环拟合试图精确匹配一个缓慢增长（或缓慢衰减）的响应——微小极点偏差会导致巨大累积误差。闭环拟合利用了 NTF 零点来”压制”环路滤波器极点，使拟合对极点位置不敏感。

验证结果：

$N$	$k_0$	$k_1$	$k_2$	结果
5	1.271	1.820	1.181	NTF 良好
15	1.270	1.819	1.180	NTF 几乎相同
25	1.270	1.819	1.180	NTF 几乎相同

系数几乎不随 $N$ 变化！

带内行为分析：

• 在低频 $\omega \approx 0$ 时，$|H_0|\propto {\omega }^2$，$|H_1|\propto \omega$，$|H_2|\propto {\omega }^0$
• 最小二乘解使 $k_2|H_2|$ 在低频逼近 1 → 有限增益积分器导致一阶行为（而非理想的二阶）
• 运放增益降低 10× 后，带内 NTF 的一阶行为起始频率下移 10×

A. 讨论——极点灵敏度分析

环路滤波器极点 $z_1$ 微移 $\Delta z_1$ 对 NTF 极点 $p_1$ 的影响：

$$\Delta p_1=\frac{\Delta z_1}{1-d{L}_1/dz{|}_{p_1}}$$

由于 $L_1(z)$ 在 $p_1$ 处解析，$\Delta z_1$ 的微小变化仅导致 $\Delta p_1$ 的微小变化 → NTF 对环路滤波器极点微移不敏感。

但开环拟合的 $l_i[n]$ 对 $z_1$ 极度敏感（理想时 $l_2[n]\propto n$，有限增益时 $l_2[n]\to 0$），导致系数 $K$ 随 $N$ 漂移。

B. 四阶带通 CTDSM 实例

目标 NTF = $(1+z^{-2}{)}^2$，前馈补偿运放，谐振器有有限 Q。

• 开环拟合（Eq. 7）：系数随 $N$ 剧烈变化，$N=20,30$ 时调制器不稳定（极点出单位圆）
• 闭环拟合（Eq. 10）：系数稳健，NTF 良好逼近

注意：带通实例中闭环拟合的系数变化比低通实例略大（因为环路滤波器有右半平面极点导致 $h_i[n]\to \infty$），但仍远优于开环拟合。

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跨来源对比

维度	Pavan 教材 (Ch.5)	Schreier Toolbox	本文 (2010)
设计方法	脉冲不变+解析	synthesizeNTF + realizeNTF	闭环数值拟合
非理想运放	需手动调整	不直接支持	自动处理
数值稳定性	依赖解析	良好	优良（vs 开环极差）
过量延迟	解析处理	支持	自动纳入

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关键公式速查

公式	含义
$L(z)=(1-NTF)/NTF$	从 NTF 计算离散环路滤波器
$[{\mathbf{l}}_0{\mathbf{l}}_1{\mathbf{l}}_2]\mathbf{K}=\mathbf{l}$	开环拟合（不稳定）
$[{\mathbf{h}}_0{\mathbf{h}}_1{\mathbf{h}}_2]\mathbf{K}=\delta [n]-\mathbf{h}$	闭环拟合（本文提出，稳健）
$h_i[n]=l_i[n]\ast h[n]$	NTF 脉冲响应卷积积分器响应
$\Delta p_1 = \Delta z_1 / (1 - dL_1/dz	_{p_1})$

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初学者要点

1. 核心问题：理想运放时开环/闭环拟合法都能工作；非理想运放时只有闭环法稳健
2. 为什么开环拟合失败：积分器脉冲响应对极点位置极度敏感，$N$ 越大误差累积越严重
3. 为什么闭环拟合成功：NTF 的零点部分抵消了环路滤波器极点，使卷积响应 $h_i[n]$ 对极点微移不敏感
4. 实用建议：$N\approx 15$ 即可，无需太大
5. 带通注意：右半平面极点导致 $h_i[n]$ 增长，需确保环路滤波器极点在左半平面

关联页：CT-ΔΣ环路滤波器设计与NTF综合、Shanthi Pavan、Pavan ΔΣ 数据转换器 深度解析、CT-ΔΣ调制、非理想CT-ΔΣ调制器