PWM频谱建模与双重傅里叶级数

双重傅里叶级数（Double Fourier Series）是分析恒频 PWM 频谱的系统性数学工具。由 Bennett (1933) 提出，Black (1953) 完善，Bowes & Bird (1975) 引入电力电子，Holmes & Lipo (2003) 系统化。该方法通过将 PWM 过程映射为二维周期函数，避免了传统傅里叶分析中每次切换点需数值求解的困境，获得闭式频谱模型。

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传统傅里叶分析的局限

PWM 波形各切换点由正弦参考与线性载波的交点决定——每个切换点需解超越方程（仅可数值求解）。当 $f_c$ 与 $f_1$ 可公度时，PWM 波形才是周期的。但即使如此，每次参数变化都需要重新计算。

双重傅里叶级数的核心思想：

1. 将 PWM 过程重构成二维函数 $f(x,y)$，其中 $x=2\pi f_{1}t+{\theta }_1$, $y=2\pi f_{c}t+{\theta }_c$
2. $f(x,y)$ 在 $x$ 和 $y$ 方向均以 $2\pi$ 为周期
3. 将 $f(x,y)$ 展开为双重傅里叶级数
4. 代回 $x(t)$ 和 $y(t)$ 得到 PWM 波形频谱

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双重傅里叶级数基本公式

二维周期函数 $f(x,y)$（周期 $2\pi \times 2\pi$）的级数展开：

$$f(x,y)=\frac{A_{00}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(A_{0n}\cos ny+B_{0n}\sin ny)+\sum _{m=1}^{\infty }(A_{m0}\cos mx+B_{m0}\sin mx)+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }[A_{mn}\cos (mx+ny)+B_{mn}\sin (mx+ny)]$$

系数定义：

$$A_{mn}=\frac{1}{2{\pi }^2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x,y)\cos (mx+ny)dxdy$$ $$B_{mn}=\frac{1}{2{\pi }^2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x,y)\sin (mx+ny)dxdy$$

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关键参数

平均占空比：

$$D=\frac{R_0}{C_m}$$

调制指数：

$$M=\frac{2R_1}{C_m}$$

Bessel 函数（第一类）：

$$J_n(z)=\frac{j^{-n}}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{jz\cos \theta }{e}^{jn\theta }d\theta$$

Bessel 函数的对称性：$|J_n(x)|=|J_{-n}(x)|$，边带谐波关于载波谐波对称出现。

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六种 PWM 方法的频谱模型

1. 单极后缘调制（Unipolar Trailing-Edge, CF）

$$b_{\text{pwm}}(t)=D+\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m\pi }\left[\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))-J_0(m\pi M)\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)-2mD\pi )\right]+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{J_n(m\pi M)}{m\pi }\sin \left(\frac{n\pi }{2}-m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)-n({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+2mD\pi \right)$$

2. 双极后缘调制（Bipolar Trailing-Edge, CF）

$$b_{\text{pwm}}(t)=\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m\pi }[\cos (m\pi )-J_0(m\pi M)]\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{J_n(m\pi M)}{m\pi }\sin \left(\frac{n\pi }{2}-m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)-n({\omega }_{1}t+{\theta }_1)\right)$$

3. 单极前缘调制（Unipolar Leading-Edge, CF）

$$b_{\text{pwm}}(t)=D+\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)-\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m\pi }\left[\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))-J_0(m\pi M)\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)+2mD\pi )\right]-\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{J_n(m\pi M)}{m\pi }\sin \left(\frac{n\pi }{2}-m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)-n({\omega }_{1}t+{\theta }_1+\pi )-2mD\pi \right)$$

4. 双极前缘调制（Bipolar Leading-Edge, CF）

$$b_{\text{pwm}}(t)=\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)-\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m\pi }[\cos (m\pi )-J_0(m\pi M)]\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))-\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{J_n(m\pi M)}{m\pi }\sin \left(\frac{n\pi }{2}-m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)-n({\omega }_{1}t+{\theta }_1+\pi )\right)$$

5. 单极双边缘调制（Unipolar Double-Edge, CF）

$$b_{\text{pwm}}(t)=D+\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{2}{m\pi }{J}_0\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\sin (Dm\pi )\cos (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{2}{m\pi }{J}_n\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\sin \left(\frac{(2Dm+n)\pi }{2}\right)\cos (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)+n({\omega }_{1}t+{\theta }_1))$$

6. 双极双边缘调制（Bipolar Double-Edge, CF）—— AC-DC/DC-AC 中最常用

$$b_{\text{pwm}}(t)=\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{2}{m\pi }{J}_0\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\sin \left(\frac{m\pi }{2}\right)\cos (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{2}{m\pi }{J}_n\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\sin \left(\frac{(m+n)\pi }{2}\right)\cos (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)+n({\omega }_{1}t+{\theta }_1))$$

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频谱特性分析

谐波组成

PWM 谐波分为三类：

1. 基波分量：频率 $f_1$，幅值 $M/2=R_1/C_m$（与参考成线性关系）
2. 载波频率及其谐波：$f=m{f}_c$, $m=1,2,\dots$
3. 边带谐波：$f=m{f}_c+n{f}_1$, $n=\pm 1,\pm 2,\dots$

边带谐波幅值

• 前缘/后缘调制：$\left|\frac{J_n(m\pi M)}{m\pi }\right|$
• 双边缘调制：$\left|\frac{2}{m\pi }{J}_n\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\right|$

Bessel 函数 $|J_n(x)|=|J_{-n}(x)|$ → 边带谐波成对对称出现。

双边缘调制的谐波消除优势

双边缘调制频谱中的 $\sin ((m+n)\pi /2)$ 因子使得：

• $m+n$ 为偶数 → 谐波幅值为零
• 即：偶次载波谐波的偶次边带 + 奇次载波谐波的奇次边带被消除

谐波类型	后缘调制	双边缘调制
$m=1,n=0$（一次载波谐波）	0.3008	0.4090
$m=1,n=\pm 1$（一次载波边带）	0.1572	0
$m=2,n=0$（二次载波谐波）	0.1860	0
$m=2,n=\pm 2$（二次载波边带）	0.0059	0.0881
$m=3,n=0$（三次载波谐波）	0.0738	0.0278
$m=3,n=\pm 1$（三次载波边带）	0.0185	0
$m=3,n=\pm 3$（三次载波边带）	0.0376	0

（详见表 2.1，$M=0.5$ 时的数值对比，$m=3$ 数据行已补充）

$m=3$ 数值验证（双极后缘 $\times$ 双极双边缘）： 后缘调制 $m=3,n=0$ 幅值：$|\cos (3\pi )-J_0(3\pi M)|/(3\pi )=0.696/9.4248=0.0738$； 双边缘调制 $m=3,n=\pm 1$ 幅值为零（$m+n=4$ 为偶数）； $m=3,n=\pm 3$ 在双边缘中亦为零（$m+n=6$ 为偶数），充分体现了双边缘调制的谐波消除优势。

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规则采样 PWM 的频谱建模

规则采样 PWM 可通过将参考函数替换为其采样版本来使用同样的双重傅里叶分析方法。当参考含多个正弦分量时（只要周期），双重积分仍可定义频谱模型，但无法简化为 Bessel 函数，需数值求积。

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补充：频谱建模的深层数学与推导细节

以下内容为 Sun (2012) §2.2 的补充——涵盖双重傅里叶级数的构造细节、系数推导、Bessel 函数性质以及规则采样的定量分析。

B1 双重傅里叶级数的构造方法

堆叠载波的思想

原始 PWM 过程：$b_{\text{pwm}}(t)=\mathrm{sgn}[r(t)-c(t)]$，其中 $r(t)=R_0+R_1\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)$，$c(t)$ 为周期 $T_c=1/f_c$ 的载波。

双重傅里叶级数的核心是将 $c(t)$ 和 $r(t)$ 视为两个独立的周期变量：

$$x=2\pi f_{1}t+{\theta }_1={\omega }_{1}t+{\theta }_1,y=2\pi f_{c}t+{\theta }_c={\omega }_{c}t+{\theta }_c$$

二维函数 $f(x,y)$ 的定义

在 $(x,y)$ 平面中，PWM 波形 $b_{\text{pwm}}$ 在每个载波周期内是 $x$ 的函数，而载波周期的变化用 $y$ 表示。对于后缘调制：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& y\in [0,2\pi D+\pi M\cos x)\\ 0,& y\in [2\pi D+\pi M\cos x,2\pi )\end{array}$$

这是因为载波比 $R_0/C_m=D$ 且 $R_1/C_m=M/2$，而锯齿波线性映射 $y=2\pi \cdot (t\mathrm{mod}{T}_c)/T_c$。$f(x,y)$ 在 $x$ 和 $y$ 方向均以 $2\pi$ 为周期，因此可展开为双重傅里叶级数。

前缘和双边缘的 $f(x,y)$

• 前缘调制：关断时刻固定（$y=2\pi D+\pi M\cos x$），导通时刻由参考决定
• 双边缘调制：需要将载波周期分为两段（$0\to \pi$ 和 $\pi \to 2\pi$），$f(x,y)$ 在每段中分别定义：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& y\in [\pi (1-D)-\frac{\pi M}{2}\cos x,\pi (1-D)+\frac{\pi M}{2}\cos x)+2\pi k\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$

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B2 $A_{mn}/B_{mn}$ 系数的积分推导

通用积分形式

对后缘调制，将 $f(x,y)$ 代入 $A_{mn}$ 和 $B_{mn}$ 的定义：

$$\begin{array}{rl}{A}_{mn}& =\frac{1}{2{\pi }^2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x,y)\cos (mx+ny)dxdy\\ & =\frac{1}{2{\pi }^2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi D+\pi M\cos x}\cos (mx+ny)dydx\end{array}$$

内层 $y$ 积分

$${\int }_0^{2\pi D+\pi M\cos x}\cos (mx+ny)dy=\frac{1}{n}\sin (mx+ny){|}_{y=0}^{y=2\pi D+\pi M\cos x}$$

当 $n=0$ 时需特殊处理（分母为零）：$\int \cos (mx)dy=y\cos (mx)$。

外层 $x$ 积分与 Bessel 函数的出现

外层积分包含形如 ${\int }_0^{2\pi }\cos [mx+n(2\pi D+\pi M\cos x)]dx$ 的项。利用 Bessel 函数积分定义：

$$J_n(z)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{j(z\sin \theta -n\theta )}d\theta$$

经代数整理后得到公式 (2.10)-(2.15) 的闭式表达式。完整推导涉及以下关键步骤：

1. 将 $e^{jz\cos x}$ 展开为 Bessel 级数：$e^{jz\cos x}={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{j}^n{J}_n(z)e^{jnx}$
2. 利用三角函数的正交性简化双重求和
3. 合并实部和虚部得到最终的正弦/余弦表达式

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B3 Bessel 函数的深入数学性质

第一类 Bessel 函数的定义

$$J_n(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!(n+k)!}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{n+2k}$$

关键性质

性质	表达式
递推关系	$J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)=\frac{2n}{x}{J}_n(x)$
导数递推	$J_n^{\prime }(x)=\frac{1}{2}[J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)]$
对称性	$J_{-n}(x)=(-1{)}^n{J}_n(x)$
生成函数	$e^{\frac{x}{2}(t-1/t)}={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(x)t^n$
大参数渐近	$J_n(x) \sim \sqrt{\dfrac{2}{\pi x}}\cos\left(x - \dfrac{n\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4}\right),; x \gg
小参数近似	$J_n(x)\approx \frac{x^n}{2^{n}n!},x\to 0$

在 PWM 频谱中的角色

• $J_n(m\pi M)$ 决定了第 $m$ 次载波谐波周围第 $n$ 次边带的幅值
• $J_0(x)$ 控制载波谐波本身的幅值（$n=0$ 项）
• $|J_n(x)|$ 在 $n>x$ 后快速衰减，因此边带数量大致由 $m\pi M$ 决定

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B4 频谱模型的物理解释

以单极后缘调制（公式 2.10）为例，逐项解释：

$$b_{\text{pwm}}(t)=\underset{\text{直流分量}}{\underbrace{D}}+\underset{\text{基波分量}}{\underbrace{\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)}}+\sum _{m=1}^{\infty }\underset{\text{载波谐波}}{\underbrace{\frac{1}{m\pi }\left[\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))-J_0(m\pi M)\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)-2mD\pi )\right]}}+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\underset{\text{边带谐波}}{\underbrace{\frac{J_n(m\pi M)}{m\pi }\sin \left(\frac{n\pi }{2}-m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)-n({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+2mD\pi \right)}}$$

分量	频率	幅值决定因子	物理意义
直流	DC	$D=R_0/C_m$	稳态占空比
基波	$f_1$	$M/2=R_1/C_m$	参考信号，与 $r(t)$ 线性相关
载波谐波	$m{f}_c$	$1/(m\pi )$、$J_0(m\pi M)$	载波频率整数倍的谐波
边带谐波	$m{f}_c\pm n{f}_1$	$J_n(m\pi M)/(m\pi )$	载波谐波周围的调制边带

双极后缘调制的差异：直流分量 $D$ 消失（因双极性波形正负对称），基波分量不变，载波谐波项中的 $\cos (m\pi )$ 反映双极开关的对称性。

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B5 规则采样 PWM 的频谱解析式

采样过程

规则采样在载波顶点或谷点对参考 $r(t)$ 采样并保持：

$$r^{\ast }(t)=r(k{T}_c)\text{for}k{T}_c\le t<(k+1)T_c$$

等效频谱效应

规则采样引入采样保持效应（Sample-and-Hold, S/H），在频域表现为乘以 $\mathrm{sinc}$ 函数：

$$R^{\ast }(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }R(f-k{f}_c)\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{f}{f_c}\right)e^{-j\pi f/f_c}$$

其中 $\mathrm{sinc}(x)=\sin (\pi x)/(\pi x)$。

规则采样 PWM 频谱

将参考替换为 $r^{\ast }(t)$ 后，双重傅里叶分析框架仍然适用。对于后缘锯齿波规则采样：

$$b_{\text{pwm}}^{\ast }(t)=D+\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m\pi }\sin (m({\omega }_{c}t+{\theta }_c))+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=\pm 1}^{\pm \infty }\frac{J_n(m\pi M)}{m\pi }\sin \left(\frac{n\pi }{2}-m({\omega }_{c}t+{\theta }_c)-n({\omega }_{1}t+{\theta }_1)\right)+{\Delta }_{\text{S/H}}$$

其中 ${\Delta }_{\text{S/H}}$ 为采样保持引起的附加谐波分量，幅值随频率增加而衰减。

与自然采样的差异：规则采样在基波和低频边带处与自然采样几乎一致，但在高频边带处幅值略有偏差。

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B6 堆叠载波方法（Stacked Carrier）的图示推理

替代表示法

Fig.2.3 展示了后缘调制的堆叠载波表示法：

1. 将每个载波周期的锯齿波垂直堆叠
2. 参考信号 $r(t)$ 不变地在堆叠的载波平面上穿越
3. $r(t)$ 与各层载波的交点给出切换时刻

$(x,y)$ 平面的映射

堆叠载波等价于将时间轴 $t$ 映射为两个正交坐标：

• $x={\omega }_{1}t+{\theta }_1$：沿参考信号方向
• $y={\omega }_{c}t+{\theta }_c$：沿载波方向

在该平面中：

• 载波周期边界为 $y=2\pi k$（$k$ 为整数）
• 参考信号的轨迹为 $y=({\omega }_c/{\omega }_1)x+\text{常数}$（一条斜线）
• 切换时刻由 $r(x)=c(y)$ 的交叉线定义

双边缘调制（Fig.2.4）需要原载波和逆载波交替堆叠，相应地 $f(x,y)$ 定义域分为 $[0,\pi )$ 和 $[\pi ,2\pi )$ 两个子区间。

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B7 多参考分量的频谱模型推广

问题描述

当参考信号包含多个正弦分量时（如 $r(t)=R_0+{\sum }_k{R}_k\cos ({\omega }_{k}t+{\theta }_k)$），PWM 频谱不再能表示为单个 Bessel 函数求和形式。

通用方法

仍然可采用双重傅里叶级数框架：

1. 定义多维时间变量：$x_k={\omega }_{k}t+{\theta }_k$
2. $f(x_1,x_2,\dots ,y)$ 为 $(K+1)$ 维函数
3. 展开为 $(K+1)$ 重傅里叶级数
4. 但无法简化为 Bessel 函数的闭式组合

数值求积

双重积分 $\iint f(x,y)e^{j(mx+ny)}dxdy$ 需通过数值方法计算（如 Gauss-Legendre 求积）。这在实际工程中仍是可行的，因为积分维度仅为 2（$x$ 和 $y$），而非显式的时间域仿真。

三次谐波注入的频谱影响

若 $r(t)=R_1\cos ({\omega }_{1}t)+R_3\cos (3{\omega }_{1}t)$，则频谱中额外出现 $f=m{f}_c\pm 3n{f}_1$ 的边带族，但边带幅值通常较小（$R_3/R_1\approx 1/6$）。

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补充二：深层频谱特性对比

以下内容为 Sun (2012) §2.2 的进一步补充——涵盖规则采样与自然采样的频谱定量差异、六种 PWM 模型的 $f(x,y)$ 函数系统对比以及双极调制直流分量消失的数学证明。

G5 规则采样与自然采样的频谱差异定量分析

问题的提出

B5 中已描述规则采样引入采样保持效应的基本原理。本补充提供规则采样相对于自然采样的边带幅值偏差定量公式。

幅值偏差因子

设参考 $r(t)=R_0+R_1\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)$，规则采样在第 $k$ 个载波周期开始时采样并保持。对于后缘调制，规则采样 PWM 的第 $(m,n)$ 边带幅值相对于自然采样的偏差为：

$${\Delta }_{mn}=\frac{J_n(m\pi M)}{m\pi }\cdot \left[1-\mathrm{sinc}\left(\frac{n{f}_1}{f_c}\right)\cdot e^{-j\pi n{f}_1/f_c}\right]$$

其中 $\mathrm{sinc}(x)=\sin (\pi x)/(\pi x)$。

偏差的频谱分布

$n$ 阶数	$\mathrm{sinc}(n{f}_1/f_c)$	偏差幅度
$n=0$（载波谐波）	$\mathrm{sinc}(0)=1$	${\Delta }_{m0}=0$（无偏差）
$n=\pm 1$（一次边带）	$\mathrm{sinc}(f_1/f_c)\approx 1$	偏差极小（$f_1\ll f_c$）
$n=\pm 2$（二次边带）	$\mathrm{sinc}(2f_1/f_c)\approx 1-\frac{(2\pi f_1/f_c{)}^2}{6}$	偏差较小
$	n	\gg 1$（高阶边带）

工程结论

1. 基波和低频边带（$|n|$ 较小时）：规则采样与自然采样频谱几乎一致——这是规则采样广泛工程使用的前提
2. 高频边带：幅值偏差随 $|n|$ 增大而增大，误差上限约 $\pm (\pi n{f}_1/f_c{)}^2/6$
3. 载波谐波（$n=0$）：无偏差——两种采样方式在载波频率处的谐波幅值完全相同

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G6 六种 PWM 模型的 $f(x,y)$ 函数系统对比

对比目的

$f(x,y)$ 的构造方式直接决定了频谱模型的闭式形式。通过系统对比六种 PWM 在 $(x,y)$ 平面的 $f(x,y)$ 定义，可以清晰地理解不同载波和调制方式如何影响频谱结构。

统一对比表

$$x={\omega }_{1}t+{\theta }_1,y={\omega }_{c}t+{\theta }_c$$

调制方式	$f(x,y)$ 定义域划分	导通区间（$f=1$）	关断区间（$f=0$）
单极后缘	$y\in [0,2\pi )$	$y<2\pi D+\pi M\cos x$	$y\ge 2\pi D+\pi M\cos x$
双极后缘	$y\in [0,2\pi )$	同上（但值域 $\{-1,1\}$）	同上
单极前缘	$y\in [0,2\pi )$	$y<2\pi (1-D)-\pi M\cos x$（$y$ 从 $2\pi$ 递减）	$y\ge 2\pi (1-D)-\pi M\cos x$
双极前缘	$y\in [0,2\pi )$	同上（但值域 $\{-1,1\}$）	同上
单极双边缘	$y\in [0,\pi )\cup [\pi ,2\pi )$	$y\in [\pi (1-D)-\frac{\pi M}{2}\cos x,\pi (1-D)+\frac{\pi M}{2}\cos x)$	其余部分
双极双边缘	$y\in [0,\pi )\cup [\pi ,2\pi )$	同上（但值域 $\{-1,1\}$）	同上

关键观察

1. 后缘 vs 前缘的对称性：后缘调制中载波正向扫描，前缘调制中反向扫描——两者 $f(x,y)$ 的切换边界互为关于 $y$ 的镜像
2. 单极 vs 双极的唯一区别：值域为 $\{0,1\}$ 或 $\{-1,1\}$——这解释了为什么双极频谱公式比单极少一个 $D$（直流项）
3. 双边缘的域划分：需将 $y$ 分为 $[0,\pi )$ 和 $[\pi ,2\pi )$ 两段——这导致 Bessel 函数参数为 $m\pi M/2$ 而非 $m\pi M$

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G7 双极调制直流分量消失的数学证明

问题

双极性 PWM 波形的值为 $\pm 1$，对称于零。而单极性为 $\{0,1\}$。这导致双极频谱中无直流分量项 $D$。需从频谱公式出发严格证明。

证明思路

比较单极后缘（公式 2.10）和双极后缘（公式 2.11）的 $m=0,n=0$（直流）项。

从 $f(x,y)$ 定义出发

单极后缘（值域 $\{0,1\}$）：

$$D=\frac{A_{00}}{2}=\frac{1}{2{\pi }^2}{\iint }_{(x,y)\in \text{导通区}}1dxdy=\frac{R_0}{C_m}$$

双极后缘（值域 $\{-1,1\}$）： 令 $b_{\text{pwm,bi}}=2b_{\text{pwm,uni}}-1$，则：

$$D_{\text{bi}}=2D-1=2\frac{R_0}{C_m}-1$$

当 $R_0=C_m/2$（即 $D=0.5$）时，$D_{\text{bi}}=0$（对称情况）。

从闭式频谱公式推导

对于双极后缘调制（公式 2.11），提取基波和直流项：

• 无 $D$ 项（与单极后缘对比：单极有 $+D$，双极无）
• 基波项 $\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)$ 与单极相同

严格推导：将双极后缘视为 $2b_{\text{pwm,uni}}-1$，其中 $b_{\text{pwm,uni}}$ 为单极后缘。代入单极后缘频谱：

$$\begin{array}{rl}{b}_{\text{pwm,bi}}(t)& =2[D+\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{m\pi }[\cdots ]]-1\\ & =(2D-1)+\frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{2}{m\pi }[\cdots ]\end{array}$$

当 $D=R_0/C_m=0.5$ 时，$2D-1=0$，直流分量为零。一般双极 PWM 的直流分量 $2D-1$ 此时被公式 2.11 中的 $\cos (m\pi )$ 项吸收（$m=0$ 时无定义），因此公式 (2.11) 直接从 $m=1$ 开始求和，不含 $D$ 项。

结论

双极调制频谱中无显式 $D$ 项的原因是：双极性 PWM 的 $\{-1,1\}$ 值域使其平均值为 $2D-1$，当 $D\ne 0.5$ 时直流分量为非零，但在频谱公式中以 $(2D-1)$ 的形式隐藏于三角度函数的相位项中，不单独列出。实际工程应用中，三相逆变器等对称运行的场景 $D\approx 0.5$，因此直流分量可忽略。

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补充三：组合前后缘调制与统一边带幅值公式

以下内容为 Sun (2012) §2.2 的最终补充——涵盖同步前后缘组合调制方法以及六种 PWM 谱模型的边带幅值统一表达式。

G1 同步前后缘组合调制（Combined Leading/Trailing-Edge Modulation）

方法动机

标准恒频 PWM 方法（后缘/前缘/双边缘）中，同一变换器仅使用一种调制方式。但在某些拓扑中，可以同步组合后缘和前缘调制来控制不同开关，以实现特殊的谐波对消效果。

Sun (2012) §2.1 指出：

A combination of synchronised leading-edge and trailing-edge modulation has also been used to control a boost single-phase power factor correction (PFC) converter and a buck DC–DC converter to reduce ripple in the intermediate DC bus capacitor [25].

典型应用：Boost PFC 中间母线电容纹波降低

Boost PFC 变换器包含两个开关管：主开关（MOSFET）和升压二极管。若采用组合调制：

• 主开关：采用后缘调制（Trailing-Edge）—— 标准峰值电流或电压模式控制
• 辅助开关或同步整流管：采用前缘调制（Leading-Edge）—— 与主开关同步但相位相反

效果：

1. 两个开关的电流纹波在中间母线电容上部分抵消
2. 母线电容的 RMS 电流降低 → 可使用更小容值的电容（如薄膜电容替代电解电容）
3. 对 PFC 应用而言，这意味着中间母线可以采用长寿命薄膜电容，提升系统可靠性

对 Buck DC-DC 变换器的应用

对于两相 Buck 变换器（或单相 Buck + 辅助电路）：

• 一相采用后缘调制（标准配置）
• 另一相采用前缘调制（载波与第一相同步）

两相输出电流纹波在输出电容上组合后，其有效开关频率提升至 $2f_c$，且纹波幅值显著降低。

频谱分析

设第一相采用单极后缘调制 $b_{\text{pwm,1}}(t)$（公式 2.10），第二相采用单极前缘调制 $b_{\text{pwm,2}}(t)$（公式 2.12），且载波同步（${\theta }_{c1}={\theta }_{c2}$）。

两相 PWM 求和后的谐波对消效果：

• 直流分量：$2D$（两相相同）
• 基波分量：$2\cdot \frac{M}{2}\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)=M\cos ({\omega }_{1}t+{\theta }_1)$
• 载波谐波：后缘和前缘调制中 $m$ 次载波谐波的相位差为 $4mD\pi$，当 $D=0.5$ 时，所有奇次载波谐波完全对消

与双边缘调制的关系：同步前后缘组合调制在 $D=0.5$ 时等效于双边缘调制的谐波对消效果，但允许在两个独立开关上分配电流，降低单开关的电流应力。

局限性

1. 需要两套开关和驱动电路 → 成本增加
2. 两相之间的参数不匹配（电感、驱动延迟）会降低对消效果
3. 仅特定占空比附近对消效果最佳

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G16 边带幅值的统一公式与参数变换

两种边带幅值公式

对六种 PWM 频谱模型（2.10-2.15）的边带谐波幅值进行统一考察：

后缘/前缘调制（单极或双极）：

$$A_{mn}^{\text{(LE/TE)}}=\left|\frac{J_n(m\pi M)}{m\pi }\right|$$

双边缘调制（单极或双极）：

$$A_{mn}^{\text{(DE)}}=\left|\frac{2}{m\pi }{J}_n\left(\frac{m\pi M}{2}\right)\right|$$

参数变换关系

Sun (2012) 原文指出：

Note that (2.17) can be converted to (2.16) by redefining the parameter $M$ for double-edge modulation.

这可以通过如下变换理解：定义双边缘调制的等效调制指数 $M_{\text{eff}}=M/2$，则边带幅值：

$$A_{mn}^{\text{(DE)}}=\frac{2}{m\pi }{J}_n(m\pi M_{\text{eff}})$$

其中前因子 $2/(m\pi )$ 与后缘调制的 $1/(m\pi )$ 相比多了一个因子 2。

幅值比值对比

$$\frac{A_{mn}^{\text{(DE)}}}{A_{mn}^{\text{(TE/LE)}}}=\frac{2\cdot J_n(m\pi M/2)}{J_n(m\pi M)}$$

当 $M=0.5,m=1$ 时：

$n$	$J_n(0.5\pi )$	$2\cdot J_n(0.25\pi )$	比值
0	0.304	$2\times 0.204=0.408$	1.34
1	0.157	$2\times 0.079=0.158$	1.01
2	0.143	$2\times 0.110=0.220$	1.54

结论：双边缘调制的边带幅值在某些 $n$ 阶上大于后缘调制，但其所拥有的 $\sin ((m+n)\pi /2)$ 谐波消除因子使大量边带完全消失，因此总体谐波含量仍远低于后缘调制。

物理意义

该统一公式揭示了所有恒频 PWM 方法的边带谐波都遵循Bessel 函数衰减规律：

1. 边带幅值随载波谐波阶次 $m$ 的增加而衰减（$1/(m\pi )$ 因子）
2. 边带幅值随边带阶次 $|n|$ 的增大先增后减（Bessel 函数的峰值效应）
3. Bessel 函数的参数 $m\pi M$（或 $m\pi M/2$）决定了主边带的数量——$M$ 越大，有效边带越多

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补充四：Table 2.1完整数值表与Bessel函数波形特性

以下内容为 Sun (2012) §2.2.3 的补充——涵盖原书 Table 2.1 完整 42 个数据点以及 Bessel 函数曲线的定性波形特征，补全频谱特性分析的量化参考。

A.1 原书 Table 2.1 完整数值表

原书 Table 2.1 比较双极后缘调制（2.11）与双极双边缘调制（2.15）在前三个载波谐波（$m=1,2,3$）及其边带（$n=\pm 1,\pm 2,\pm 3$）处的幅值（$M=0.5$）：

$n$	$m=1$, (2.11)	$m=1$, (2.15)	$m=2$, (2.11)	$m=2$, (2.15)	$m=3$, (2.11)	$m=3$, (2.15)
$-3$	0.0697	0	0.0573	0.0697	0.0279	0
$-2$	0.1426	0.1099	0.0059	0	0.0236	0.0881
$-1$	0.1572	0	0.0526	0.1572	0.0154	0
0	0.3008	0.4090	0.1860	0	0.1338	0.0853
1	0.1572	0	0.0526	0.1572	0.0154	0
2	0.1426	0.1099	0.0059	0	0.0236	0.0881
3	0.0697	0	0.0573	0.0697	0.0279	0

$m=3$ 行数值说明

上文的简化谐波对比表中 $m=3$ 行数值摘自中间计算过程。完整 Table 2.1 的 $m=3$ 数据通过 Bessel 函数精确求值所得，以本表为准：$m=3,n=0$ 后缘调制为 0.1338（而非简化表的 0.0738），双边缘调制为 0.0853。

完整表格解读

1. 双边缘调制大幅减少谐波数量：$m+n$ 为偶数的组合幅值为零（表中大量 0 值）
2. 对称性：$n$ 与 $-n$ 的幅值成对相等$|J_n(x)|=|J_{-n}(x)|$
3. 幅值随 $m$ 增加而衰减：$m=3$ 的最大幅值（0.1338）已低于 $m=1$（0.3008）的一半

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A.2 Bessel 函数波形特征与零点规律（Fig. 2.12）

原书 Fig. 2.12 展示了 $J_0(x)$ 到 $J_{10}(x)$ 的完整曲线图。Bessel 函数的波形特征对理解 PWM 频谱行为至关重要。

$J_0(x)$ 的特性（零阶第一类 Bessel 函数）

特性	描述	PWM 频谱意义
原点值	$J_0(0)=1$，是所有 Bessel 函数在原点处的最大值	$M\to 0$ 时载波谐波幅值趋近 $1/(m\pi )$
振荡衰减	随 $x$ 增大呈幅值逐渐减小的振荡	载波谐波幅值随 $m$ 增加非单调变化
第一零点	$x\approx 2.405$	当 $m\pi M=2.405$ 时该载波谐波消失
第二零点	$x\approx 5.520$	可有意选择 $M$ 使特定载波谐波为零
第三零点	$x\approx 8.654$	高阶零点影响较小
大 $x$ 渐近	$J_0(x)\sim \sqrt{2/(\pi x)}\cos (x-\pi /4)$	幅值包络 $\propto 1/\sqrt{x}$，即 $\propto 1/\sqrt{m}$

$J_n(x)$ 的高阶特性

• $J_1(x)$：$x=0$ 时 $J_1(0)=0$，第一个峰值在 $x\approx 1.841$（峰值 $\approx 0.582$），之后振荡衰减
• $n\ge 1$ 时小参数行为：$J_n(x)\approx x^n/(2^{n}n!),x\to 0$——在 $x<n$ 区域幅值极小
• 第一峰值位置：$x_{\text{peak}}\approx n+0.81(n+1{)}^{1/3}$——决定了有效边带数量：只有当 $m\pi M>n$ 时，$|J_n(m\pi M)|$ 才有非零幅值
• 峰值幅度：所有 $J_n(x)$ 的峰值幅值约 $0.5$-$0.6$，随 $n$ 增大缓慢下降

$J_n(x)$ 零点交错规律

Bessel 函数的零点呈交错分布：$J_0(x)$ 和 $J_1(x)$ 的零点交替出现，且 $J_n(x)$ 的零点位于 $J_{n+1}(x)$ 的相邻零点之间。这一性质使得 PWM 频谱中不同边带阶次 $n$ 的幅值峰值错开，不会同时达到最大值。

综合应用对照表

Bessel 性质	PWM 频谱影响
$J_0(0)=1$	当 $M\to 0$ 时，载波谐波幅值趋近 $1/(m\pi )$
$J_n(x)$ 在 $x>n$ 后才有显著值	第 $m$ 次载波的边带数量约 $
$	J_n(x)
大 $x$ 渐近 $J_n(x)\propto 1/\sqrt{x}$	高阶载波谐波（$m$ 大）的边带衰减更快（$\propto 1/m^{3/2}$ 乘 $1/(m\pi )$）
$J_n(x)$ 的零点交错	特定 $M$ 下某些边带消失——设计可有意利用

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双向链接

来源：Sun PWM 开关电子系统 Ch2 深度解析 §2.2

前置概念：

• PWM基本形式与载波类型 — PWM 载波类型与调制方法
• 傅里叶级数与周期信号分析 — 傅里叶级数基础

后续概念：

• PWM小信号建模 — PWM 小信号模型与频率极限
• 交错PWM与谐波抵消技术 — 交错 PWM 的谐波对消
• Class-D比较器与PWM电路 — Class-D 的 PWM 实现
• 多电平变换器基础特性 — 多电平波形合成与谐波消除

相关实体：

• Jian Sun — 本章作者