变频PWM调制技术

变频 PWM（Variable-Frequency PWM）虽不如恒频 PWM 普及，但在边界模式 PFC、轻载高效 DC-DC 等应用中具有独特优势。其最引人注目的特性——小信号传递函数的相位超前——有利于提高控制环路稳定性。本章系统阐述恒定关断时间（Constant OFF-time）和恒定导通时间（Constant ON-time）两种变频 PWM 的工作原理、小信号模型和设计考虑。

变频 PWM 的基本形式

恒定关断时间——变导通时间（Constant OFF-time, VF）

开关关断固定时间 $T_{OFF}$ 后自动导通
导通时锯齿波信号以斜率 $m_{0}$ 线性上升
锯齿波与参考 $r (t)$ 相交时关断开关并复位锯齿波
导通时间 $T_{ON}$ 随参考变化

稳态参数：

稳态导通时间： $T_{ON} = R_{0} / m_{0}$
稳态开关频率： $f_{c} = 1/ (T_{ON} + T_{OFF})$

恒定导通时间——变关断时间（Constant ON-time, VF）

对偶实现：导通时间固定，关断时间随参考变化。

应用场景

升压 PFC 的边界模式控制（Boundary Mode / Critical Conduction Mode）
变频滞环控制：电流或电压滞环调节，无需显式 PWM 过程

变频 PWM 的小信号增益

恒定关断时间调制器

小信号增益传递函数：

Γ_{1} (s) = \frac{T _{OFF}}{m _{0} ( T _{ON} + T _{OFF} ) ^{2}} K_{1} (s) e^{s T_{ON} /2}

其中频率依赖项：

K_{1} (s) = \frac{T _{ON} + T _{OFF}}{T _{OFF}} [\frac{sin ( s T _{OFF} / j 2 )}{sin ( s ( T _{ON} + T _{OFF} ) / j 2 )} - 1]^{- 1}

增益的三部分分析：

组成部分	物理含义	频率特性
$\frac{T _{OFF}}{m _{0} ( T _{ON} + T _{OFF} ) ^{2}}$	DC 增益 = $d D / d R_{0}$	与频率无关
$K_{1} (s)$	频率修正因子	实函数（仅幅值修正，无相移），低频≈1
$e^{s T_{ON} /2}$	相位超前	幅值=1，相位随频率线性增加

恒定导通时间调制器（对偶）

Γ_{2} (s) = - \frac{T _{ON}}{m _{0} ( T _{ON} + T _{OFF} ) ^{2}} K_{2} (s) e^{s T_{OFF} /2}

其中：

K_{2} (s) = \frac{T _{ON} + T _{OFF}}{T _{ON}} [\frac{sin ( s T _{ON} / j 2 )}{sin ( s ( T _{ON} + T _{OFF} ) / j 2 )} - 1]^{- 1}

180° 反相（负号）+ 相位超前 $e^{s T_{OFF} /2}$

相位超前特性的工程意义

相位超前是变频 PWM 区别于恒频 PWM 的最显著特征。

相位超前量化示例

在 $f = 0.1 f_{c}$ 处， $T_{ON} / (T_{ON} + T_{OFF}) = 0.8$ 时：

相位超前 = \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \times \frac{ω T _{ON}}{2} = 14. 4^{\circ}

$f / f_{c}$	$D = 0.8$	$D = 0.6$	$D = 0.4$
0.05	7.2°	5.4°	3.6°
0.10	14.4°	10.8°	7.2°
0.20	28.8°	21.6°	14.4°
0.30	43.2°	32.4°	21.6°

好处：额外相位超前 → 控制环相位裕度增加 → 允许更宽的环路带宽 → 改善瞬态响应。

小信号模型的频率适用范围

分母中的 $sin (s (T_{ON} + T_{OFF}) / j 2)$ 项在 $s = j 2 kπ / (T_{ON} + T_{OFF})$ 即 $f = k f_{c}$ 时为零，但小信号模型的使用应限于 $f < f_{c} /2$ 。

补充：变频PWM小信号推导与频率局限性

以下内容为 Sun (2012) §2.3.2 的补充——涵盖 $K_{1} (s)$ 函数的详细推导、恒定导通时间模型的完整推导、小信号模型频率局限的物理解释。

C2 恒定关断时间调制器 $K_{1} (s)$ 函数的详细推导

基本方程

恒定关断时间调制器中，锯齿波以斜率 $m_{0}$ 上升，与参考 $r (t)$ 相交时关断。导通时间 $T_{ON}$ 由下式决定：

m_{0} T_{ON} (t) = r (t)

引入小信号扰动 $r (t) = R_{0} + \overset{r}{^} (t)$ ，对应导通时间 $T_{ON} (t) = T_{ON} + \hat{t}_{on} (t)$ ：

m_{0} [T_{ON} + \hat{t}_{on} (t)] = R_{0} + \overset{r}{^} (t)

稳态部分： $m_{0} T_{ON} = R_{0} ⟹ T_{ON} = R_{0} / m_{0}$

小信号部分： $\hat{t}_{on} (t) = \overset{r}{^} (t) / m_{0}$

占空比扰动与导通时间扰动的关系

瞬时开关频率 $f_{sw} = 1/ (T_{ON} + T_{OFF})$ 也随 $\hat{t}_{on} (t)$ 变化：

\hat{d} (t) = \frac{t ^ _{on} ( t )}{T _{ON} + T _{OFF}} - \frac{T _{ON} t ^ _{on} ( t )}{( T _{ON} + T _{OFF} ) ^{2}}

第一项来自导通时间变化，第二项来自频率变化。代入 $\hat{t}_{on} = \overset{r}{^} / m_{0}$ 得DC增益：

\frac{d ^}{r ^}_{DC} = \frac{T _{OFF}}{m _{0} ( T _{ON} + T _{OFF} ) ^{2}}

频率依赖项 $K_{1} (s)$ 的推导

$K_{1} (s)$ 来源于导通时间脉冲位置的调制效应。设扰动为 $\overset{r}{^} (t) = \hat{R} e^{s t}$ （ $s = jω$ ），则第 $k$ 个开关周期中的导通时间变化为：

\hat{t}_{on} [k] = \frac{R ^}{m _{0}} e^{s k T_{sw}}

其中 $T_{sw} = T_{ON} + T_{OFF}$ 。但导通时间变化并非立即反映在该周期的平均占空比中——它被脉冲位置调制和采样保持效应所滤波。

考虑第 $k$ 个开关周期中的平均占空比 $d [k]$ 与 $\hat{t}_{on} [k]$ 之间的关系时， $d [k]$ 不仅取决于 $\hat{t}_{on} [k]$ ，还受 $\hat{t}_{on} [k - 1]$ 的影响（关断时间固定导致边界条件耦合）。

经过代数整理， $K_{1} (s)$ 可以表达为：

K_{1} (s) = \frac{T _{sw}}{T _{OFF}} [\frac{sin ( s T _{OFF} / j 2 )}{sin ( s T _{sw} / j 2 )} - 1]^{- 1}

$K_{1} (s)$ 的渐近行为

频率范围	$K_{1} (s)$ 近似	物理含义
$f \to 0$ （ $s \to 0$ ）	$K_{1} \to 1$	低频时增益等于DC值
$f ≪ f_{c}$ （ $s T_{sw} ≪ 1$ ）	$K_{1} \approx 1 + j \frac{ω T _{OFF}}{2}$	小幅值修正 + 低相位超前
$f = f_{c} /2$	$K_{1} = \frac{T _{sw}}{T _{OFF}} [\frac{s i n ( π f _{OFF} / f _{sw} )}{s i n ( π )} - 1]^{- 1} \to \infty$	分母为零，模型失效

重要： $K_{1} (s)$ 是实函数（ $s$ 为纯虚数时仍为实数），意味着它不贡献相位偏移，仅修正幅值。变频PWM的相位超前完全来自 $e^{s T_{ON} /2}$ 项。

C3 恒定导通时间调制器的完整小信号传递函数

对偶推导

恒定导通时间调制器与恒定关断时间调制器对偶：在此仅需交换 $T_{ON} \leftrightarrow T_{OFF}$ ，且由于导通时刻固定而关断时刻可变，波形极性反转：

Γ_{2} (s) = - \frac{T _{ON}}{m _{0} ( T _{ON} + T _{OFF} ) ^{2}} K_{2} (s) e^{s T_{OFF} /2}

其中：

K_{2} (s) = \frac{T _{ON} + T _{OFF}}{T _{ON}} [\frac{sin ( s T _{ON} / j 2 )}{sin ( s ( T _{ON} + T _{OFF} ) / j 2 )} - 1]^{- 1}

关键差异

特性	恒定关断时间 $Γ_{1}$	恒定导通时间 $Γ_{2}$
DC增益	$\frac{T _{OFF}}{m _{0} T _{sw}^{2}}$	$\frac{T _{ON}}{m _{0} T _{sw}^{2}}$
符号	正	负（180°反相）
相位超前来源	$e^{s T_{ON} /2}$ （导通阶段）	$e^{s T_{OFF} /2}$ （关断阶段）
$K (s)$ 中的 $" sin$ 周期	$T_{OFF}$	$T_{ON}$

负号的含义

负号意味着恒定导通时间调制器的控制作用相对于恒定关断时间是反相的。在负反馈系统中，这个反相需要被补偿器 $H (s)$ 的极性正确处理。

DCM模式下的变频调制器

DCM模式下，变频调制器的工作原理不变，但占空比的取值范围受限（ $d < 1 - T_{OFF} / T_{sw}$ 或 $d > T_{ON} / T_{sw}$ ），且小信号增益公式中的 $T_{ON}$ 需替换为等效导通时间（取决于输入/输出电压的直流工作点）。

C8 变频PWM小信号模型频率局限的物理解释

模型失效的根源

变频PWM小信号模型在 $f = f_{c}$ 处失效，其根源在于分母项 $sin (s T_{sw} / j 2) = sin (π f / f_{sw})$ 在 $f = k f_{sw}$ 时为零。

这可以从两个角度理解：

1. 采样数据系统视角

变频PWM调制器本质上是一个 脉冲频率调制（PFM）系统，在每个开关周期结束时更新占空比信息。这是离散采样过程，根据奈奎斯特准则，采样频率 $f_{sw}$ 可恢复的信号最高频率为 $f_{sw} /2$ 。

换句话说，变频PWM调制器是一个隐含的采样器：

导通时间 $T_{ON}$ 在每个周期更新一次
更新速率 = 瞬时开关频率 $f_{sw}$
高于 $f_{sw} /2$ 的扰动频率信息在采样过程中丢失或混叠

2. 脉冲位置调制视角

变频PWM既调制脉冲宽度又调制脉冲位置（因为频率变化导致脉冲间隔改变）。当扰动频率接近 $f_{sw}$ 时：

脉冲位置的变化与扰动产生了共振效应
小信号假设（扰动远小于稳态）不再成立
模型的线性近似被破坏

3. 相位超前与频率局限的权衡

$f / f_{c}$	相位超前	模型需求
0-0.1	小（ $< 1 4^{\circ}$ ）	模型准确
0.1-0.3	中（ $1 4^{\circ} - 4 3^{\circ}$ ）	模型较准确
0.3-0.5	大（ $4 3^{\circ} - 7 2^{\circ}$ ）	模型存在误差
$> 0.5$	极大但不可靠	模型失效

变频PWM的最大优势——相位超前——在低频段最有效。当 $f$ 接近 $f_{c} /2$ 时， $K_{1} (s)$ 的幅值修正也变得显著，预示着模型即将失效。

工程实践建议

环路带宽限制在 $f_{sw} /4$ 以内（比恒频PWM的 $f_{c} /3$ 更保守）
变频PWM的相位超前在 0.1-0.2倍开关频率 范围内效益最显著
边界模式PFC控制环带宽通常 < $f_{sw} /10$ ，完全在安全范围内
多环路系统中，外环带宽应进一步降低以考虑变频引起的频谱折叠

变频 PWM 的优缺点总结

方面	优势	劣势
控制环	相位超前改善稳定性	小信号增益频率依赖（较恒频复杂）
效率	轻载时频率降低 → 开关损耗降低	—
滤波器	—	需按最低开关频率设计 → 体积/成本增加
EMI	扩频效应扩散谐波能量	频率分布复杂，难用陷波器
应用	边界模式 PFC 的”自然”选择	大部分 PWM IC 为恒频设计

补充二：变频PWM时域波形定量分析与Fig.2.16

以下内容为 Sun (2012) §2.3.2 的补充——对 Fig.2.16 恒定关断时间调制在稳态和扰动下的时域波形进行定量分析。

G8 恒定关断时间调制时域波形分析（Fig.2.16）

稳态波形

恒定关断时间调制在稳态下（ $r (t) = R_{0}$ 恒定）的时域波形特征：

锯齿波 $c (t)$ ：每次导通后以斜率 $m_{0}$ 从零开始线性上升
关断区间：持续时间固定为 $T_{OFF}$ ，期间 $b_{pwm} = 0$ （开关关断）
导通时间：由 $m_{0} T_{ON} = R_{0}$ 决定， $T_{ON} = R_{0} / m_{0}$
开关周期： $T_{sw} = T_{ON} + T_{OFF}$ ，开关频率 $f_{sw} = 1/ T_{sw}$
稳态占空比： $D = T_{ON} / T_{sw}$

每个开关周期的波形完全重复——锯齿波峰值相同（ $m_{0} T_{ON} = R_{0}$ ），导通时间恒定。

扰动下的波形

设参考信号加入小扰动： $r (t) = R_{0} + \overset{r}{^} (t)$ ， $\overset{r}{^} (t) = \hat{R} cos (ω_{1} t)$ 。

第 $k$ 个周期中导通时间变化为：

\hat{t}_{on} [k] = \frac{r ^ ( k T _{sw} )}{m _{0}} = \frac{R ^ cos ( ω _{1} k T _{sw} )}{m _{0}}

各周期导通时间的波动导致脉冲位置和宽度的双重调制：

周期 $k$	导通时间 $T_{ON} [k]$	关断起始时刻	说明
稳态	$T_{ON}$	$k T_{sw} + T_{ON}$	基准
扰动 +	$T_{ON} + \hat{t}_{on}$	延迟关断	导通时间增加
扰动 -	$T_{ON} - \hat{t}_{on}$	提前关断	导通时间减少

扰动传播的物理机制

与恒频 PWM 的关键差异在于：变频 PWM 中导通时间的变化不仅影响当前周期的占空比，还通过改变开关频率 $f_{sw}$ 影响后续周期：

占空比变化： $\hat{d} [k] = \frac{t ^ _{on} [ k ]}{T _{ON} + T _{OFF}} - \frac{T _{ON} t ^ _{on} [ k ]}{( T _{ON} + T _{OFF} ) ^{2}}$
- 第一项：导通时间变化的直接贡献
- 第二项：频率变化的贡献（ $\propto T_{ON}$ ）
相位超前来源（Fig.2.16 的核心观察）：
- 导通时间 $T_{ON}$ 的变化导致脉冲中心位置偏移
- 由于关断时间固定，导通时间增加时脉冲整体右移——这相当于引入了 $e^{s T_{ON} /2}$ 的相位超前
- 时域上表现为：扰动后的 PWM 波形比平均模型预测的提前半个导通时间到达

定量示例

参数	稳态值	扰动后（+10%）	扰动后（-10%）
$R_{0}$ / $m_{0}$	5V / $1 \times 1 0^{6}$ V/s	5.5V	4.5V
$T_{ON}$	$5 μ$ s	$5.5 μ$ s	$4.5 μ$ s
$T_{OFF}$	$3 μ$ s	$3 μ$ s（固定）	$3 μ$ s（固定）
$T_{sw}$	$8 μ$ s	$8.5 μ$ s	$7.5 μ$ s
$D$	0.625	0.647	0.600
相位超前	$18 0^{\circ} \times 5/16 = 56.2 5^{\circ}$	$18 0^{\circ} \times 5.5/17 = 58. 2^{\circ}$	$18 0^{\circ} \times 4.5/15 = 54. 0^{\circ}$

该时域分析印证了 C2 中的频域结论：变频 PWM 的相位超前来源于导通时间对脉冲位置的调制，且超前量近似与 $ω T_{ON} /2$ 成正比。

CF 与 VF 调制器 DC 增益系统对比

以下内容为 Sun (2012) §2.3.1-2.3.2 的补充——将恒频（CF）与变频（VF）两种 PWM 调制器的 DC 增益在统一符号体系下并列对比，并给出 VF 增益的工程实用简化结论。

C.1 CF 与 VF 的 DC 增益并列对比

统一符号体系

设锯齿波斜率 $m_{0}$ ，稳态导通时间 $T_{ON}$ ，稳态关断时间 $T_{OFF}$ ，开关周期 $T_{sw} = T_{ON} + T_{OFF}$ 。

调制类型	DC增益表达式	与占空比 $D$ 的关系	推导来源
恒频 PWM (CF)	$K_{CF} = \frac{1}{m _{0} T _{sw}}$	与 $D$ 无关： $D$ 变化时增益恒定	时域 $\hat{d} = \hat{R} / C_{m}$ ， $m_{0} T_{sw} = C_{m}$
恒定关断时间 VF	$K_{VF,OFF} = \frac{T _{OFF}}{m _{0} T _{sw}^{2}}$	与 $D$ 相关： $K_{VF,OFF} \propto 1 - D$	公式 (2.34) 的 DC 部分
恒定导通时间 VF	$\displaystyle	K_{\text{VF,ON}}	= \frac{T_{\text{ON}}}{m_0 T_{\text{sw}}^2}$

数值对比示例

设 $m_{0} = 1 0^{6}$ V/s， $T_{sw} = 10 μ$ s（ $f_{c} = 100$ kHz）：

$D$	$T_{ON}$	$T_{OFF}$	$K_{CF}$	$K_{VF,OFF}$	$K_{VF,ON}$
0.2	$2 μ$ s	$8 μ$ s	0.100	0.080	0.020
0.5	$5 μ$ s	$5 μ$ s	0.100	0.050	0.050
0.8	$8 μ$ s	$2 μ$ s	0.100	0.020	0.080

关键物理含义

CF 增益恒定：占空比变化时调制器增益不变——这是恒频 PWM 小信号设计简洁性的根源
VF 增益随占空比变化：恒定关断时间的增益在 $D$ 大时减小，恒定导通时间的增益在 $D$ 大时增大——两者呈互补关系
交叉点： $D = 0.5$ 时 $K_{CF} = K_{VF,OFF} = K_{VF,ON}$ （当 $m_{0} T_{sw} = C_{m}$ 时）

原书 §2.3.2 在推导出 VF 增益后明确指出：

This can be compared with the gain of constant-frequency pulse-width modulators, which, using the notations introduced here, can be written as $[m_{0} (T_{ON} + T_{OFF})]^{- 1}$ .

上述对比表将此比较显式化，有助于理解两种调制方式在小信号特性上的本质差异。

E.1 VF DC 增益变化的工程简化

原书 §2.5 (Summary) 给出了一条重要的工程实用结论：

The DC gain changes with the ON and OFF time, but the variation is small and can be ignored in practice.

变化幅度量化

在典型占空比范围 $D \in [0.2, 0.8]$ 内：

恒定关断时间： $K_{VF,OFF}$ 在 $D = 0.5$ 点附近的相对变化为 $\pm 60%$ （从 0.020 到 0.080）
恒定导通时间：对称地， $K_{VF,ON}$ 变化幅度相同

虽然相对变化不小，但绝对增益量级与 CF 相当（同为 $1 0^{- 1}$ 量级），且 VF 的环路设计中通常留有足够的增益裕度。

工程实用简化建议

在环路设计中的典型做法：

简化步骤	操作	理由
1. 取 DC 增益为常数	$K_{VF} \approx 1/ (m_{0} T_{sw})$ 在 $D = 0.5$ 处的值	增益变化可被环路增益裕度吸收
2. 忽略 $K_{1} (s)$ / $K_{2} (s)$ 的频率依赖性	设 $K_{1} (s) \approx 1$ , $K_{2} (s) \approx 1$	$f_{BW} ≪ f_{c}$ 时近似为 1
3. 保留相位超前项	$e^{s T_{ON} /2}$ （或 $e^{s T_{OFF} /2}$ ）不可忽略	这是 VF 的核心优势

相位超前的工程价值

VF PWM 相位超前是其在边界模式 PFC 等应用中被广泛采用的核心原因。原书给出了一个定量示例：

At one tenth of the switching frequency, the phase lead will be $14. 4^{\circ}$ for $T_{ON} / (T_{ON} + T_{OFF}) = 0.8$ .

这意味着在典型设计中，VF 调制器在环路穿越频率处可提供 $1 0^{\circ}$ - $2 0^{\circ}$ 的额外相位裕度——这相当于简化了补偿器设计或允许更高的环路带宽。

双向链接

来源：Sun PWM 开关电子系统 Ch2 深度解析 §2.1(变频部分)/§2.3.2

前置概念：

PWM基本形式与载波类型 — PWM 分类与变频 PWM 的定性描述
PWM小信号建模 — 小信号建模方法对比

相关概念：

Class-D替代调制方案 — 自激振荡调制器（变频的音频应用）
PWM小信号建模 — 恒频小信号模型对比
峰值电流控制原理与建模 — 电流模式控制
交错PWM与谐波抵消技术 — 交错多相方案
Class-D EMI抑制技术 — 变频与 EMI 扩频

相关实体：

Jian Sun — 本章作者，变频 PWM 小信号奠基工作

KnowledgeWiki

探索

变频PWM调制技术

关系图谱

变频PWM调制技术

变频 PWM 的基本形式

恒定关断时间——变导通时间（Constant OFF-time, VF）

恒定导通时间——变关断时间（Constant ON-time, VF）

应用场景

变频 PWM 的小信号增益

恒定关断时间调制器

恒定导通时间调制器（对偶）

相位超前特性的工程意义

相位超前量化示例

小信号模型的频率适用范围

补充：变频PWM小信号推导与频率局限性

C2 恒定关断时间调制器 K1​(s) 函数的详细推导

基本方程

占空比扰动与导通时间扰动的关系

频率依赖项 K1​(s) 的推导

K1​(s) 的渐近行为

C3 恒定导通时间调制器的完整小信号传递函数

对偶推导

关键差异

负号的含义

DCM模式下的变频调制器

C8 变频PWM小信号模型频率局限的物理解释

模型失效的根源

1. 采样数据系统视角

2. 脉冲位置调制视角

3. 相位超前与频率局限的权衡

工程实践建议

变频 PWM 的优缺点总结

补充二：变频PWM时域波形定量分析与Fig.2.16

G8 恒定关断时间调制时域波形分析（Fig.2.16）

稳态波形

扰动下的波形

扰动传播的物理机制

定量示例

CF 与 VF 调制器 DC 增益系统对比

C.1 CF 与 VF 的 DC 增益并列对比

统一符号体系

数值对比示例

关键物理含义

E.1 VF DC 增益变化的工程简化

变化幅度量化

工程实用简化建议

相位超前的工程价值

双向链接

关系图谱

目录

反向链接

C2 恒定关断时间调制器 $K_{1} (s)$ 函数的详细推导

频率依赖项 $K_{1} (s)$ 的推导

$K_{1} (s)$ 的渐近行为