Pavan ΔΣ数据转换器 附录C：LPTV系统 深度解析

附录C系统地介绍了线性周期时变（LPTV）系统的理论框架，从线性性与时不变性的基本概念出发，过渡到LTV系统，再聚焦到LPTV系统。核心结果是：以频率 $f_s$ 变化且输出以相同频率采样的LPTV系统，在采样值意义上等效于一个LTI滤波器后接采样器。该结论为CT-ΔΣ调制器（尤其是使用时变环路滤波器如SC DAC的调制器）的STF和混叠抑制分析提供了严格的数学基础。

附录C目录结构

章节	内容
C.1	线性性与时不变性 — LTI系统基础回顾
C.2	线性时变系统 — LTV系统与双变量冲激响应
C.3	线性周期时变系统 — LPTV、谐波传递函数、PAC分析
C.4	带抽样的LPTV系统 — LTI等效性、伴随网络法、混叠抑制

C.1 线性性与时不变性

LTI系统基本性质

• 叠加原理：若 $x_1\to y_1$, $x_2\to y_2$，则 $\alpha x_1+\beta x_2\to \alpha y_1+\beta y_2$
• 时不变性：$x(t-\tau )\to y(t-\tau )$
• LTI系统由冲激响应 $h(t)$ 完全表征

卷积积分

$$y(t)={\int }_0^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$$

复指数作为特征函数

$$x(t)=e^{j2\pi ft}⟹y(t)=H(f)e^{j2\pi ft}$$

其中 $H(f)={\int }_0^{\infty }h(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$。即LTI系统的频率响应可理解为：

$$H(f)=\frac{\text{对 }{e}^{j2\pi ft}\text{ 的响应}}{e^{j2\pi ft}}$$

电路仿真

• .OP分析：确定直流工作点 → 小信号LTI网络
• .AC分析：在LTI网络上做频率扫描

C.2 线性时变系统

LTV系统的定义

• 满足叠加原理，但不满足时不变性
• 典型例子：时变增益 $y(t)=\alpha (t)\cdot x(t)$
  • 线性 ✓：$\alpha (t)(x_1+x_2)=\alpha (t)x_1+\alpha (t)x_2$
  • 时不变 ✗：$\alpha (t)x(t-t_1)\ne \alpha (t-t_1)x(t-t_1)$

LTV冲激响应

LTV系统由双变量冲激响应表征：

$$h(t,\tau )\triangleq \text{在观察时间 }t\text{ 对 }t-\tau \text{ 时刻施加冲激的响应}$$

• 第一变量：观察时间
• 第二变量：冲激施加相对于观察时间的时间差

LTI vs LTV 对比

特性	LTI	LTV
冲激响应	$h(\tau )$ 仅依赖时间差	$h(t,\tau )$ 依赖观察时间与时间差
复指数响应	$H(f)e^{j2\pi ft}$	$H(f,t)e^{j2\pi ft}$（增益随时间变化）

C.3 线性周期时变系统

LPTV系统的定义

LTV系统 + 周期性条件：$\alpha (t)=\alpha (t+T)$ 冲激响应满足：

$$h(t,\tau )=h(t+T,\tau )$$

关键性质

• 时变频率响应 $H(f,t)$ 以 $T$ 为周期
• 可展开为傅里叶级数：

$$H(f,t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{H}_k(f)e^{j2\pi k{f}_{s}t},f_s=\frac{1}{T}$$

• 谐波传递函数 $H_k(f)$：

$$H_k(f)=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}H(f,t)e^{-j2\pi k{f}_{s}t}dt$$

LPTV系统的频率响应

当输入为 $e^{j2\pi ft}$ 时，输出为：

$$y(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{H}_k(f)e^{j2\pi (f+k{f}_s)t}$$

即：输入的单频 $f$ 在输出端产生频率为 $f+k{f}_s$ 的无穷多个分量。

直接推论：

• 若输出包含频率 $f$，则该分量可能由输入在 $f,f\pm f_s,f\pm 2f_s,\dots$ 处的频率贡献而来
• 反之，若输入为 $f$，则输出在 $f+k{f}_s$ 处出现

电路仿真

• .PSS分析：求周期稳态工作点
• .PAC分析（Periodic AC）：在LPTV网络上做周期AC分析，得到 $H_k(f)$（即k次边带响应）

示例1：乘性LPTV系统

系统：$\alpha (t)=A_0+A_1\cos (2\pi f_{m}t)$，输入 $x(t)=A_x\cos (2\pi ft)$

输出：

$$y(t)=A_0{A}_x\cos (2\pi ft)+\frac{A_1{A}_x}{2}\cos (2\pi (f+f_m)t)+\frac{A_1{A}_x}{2}\cos (2\pi (f-f_m)t)$$

谐波传递函数：$H_{\pm 1}(f)=A_1/2$，其余 $k\ne \pm 1$ 为0。

CT-ΔΣ与LPTV的联系

CT-ΔΣ调制器本质上是LPTV系统（图C.8）：

• 量化器采样相当于乘以Dirac delta脉冲串
• DAC脉冲整形构成周期时变反馈
• 系统以采样频率 $f_s$ 周期变化，具有双输入（$u(t)$ 和 $e[n]$）

C.4 带抽样的LPTV系统

核心结论

以频率 $f_s$ 变化的LPTV系统，其输出以相同频率 $f_s$ 采样时，在采样值意义上等价于一个LTI滤波器后接采样器。

等效LTI滤波器的频率响应为：

$$H_{eq}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{H}_k(f)$$

物理直观：输入频率 $f$ 在LPTV输出中产生 $f+k{f}_s$ 的分量，以 $f_s$ 采样时，所有高于 $f_s$ 的分量混叠回基带。因此，各次谐波传递函数之和构成等效LTI响应。

时域法求 $h_{eq}(t)$

1. 用 $\delta (t-\Delta t)$ 激励LPTV系统
2. 采集采样输出序列 $\{y(nT)\}$
3. 该序列即为 $h_{eq}(nT-\Delta t)$
4. 在 $0\le \Delta t<T$ 范围内扫描，即可重构完整的 $h_{eq}(t)$

伴随网络（Adjoint Network）法

伴随网络法可一次仿真确定 $h_{eq}(t)$，避免多次时域扫描。

伴随网络构建规则（表C.1）：

原始网络	伴随网络
线性R、C、L	保持不变
周期开关（$\varphi (t)$ 控制）	开关由 $\varphi (-t)$ 控制
CCCS（$i_2=R{i}_1$）	VCVS（${\hat{v}}_1=R{\hat{v}}_2$），端口交换
VCCS（$i_2=G{v}_1$）	VCCS（${\hat{i}}_1=G{\hat{v}}_2$），端口交换
求和节点	分支点
分支点	求和节点
时变增益 $\alpha (t)$	时变增益 $\alpha (-t)$

应用方法：

1. 构建原LPTV网络的伴随网络
2. 在伴随网络的”输出”端口施加冲激 $\delta (t)$
3. 观察伴随网络”输入”端口处的波形，即为 $h_{eq}(t)$

示例：CT-MOD1的STF

• CT-MOD1（1阶CT-ΔΣ，NRZ DAC）
• 伴随网络激励一次 → $h_{eq}(t)$ 为单位矩形脉冲
• STF($f$) = $e^{-s}\cdot \text{sinc}(f)$，与第8章结果一致

C.4.1 多输入系统

对于具有多个输入的LPTV系统，所有等效LTI滤波器的冲激响应可通过单次伴随网络分析同时获得（图C.18）。

噪声分析应用：

• 各独立噪声源通过各自等效LTI滤波器贡献到输出
• 输出自相关函数：

$$R_{y_l}[m]=\left[R_{n_l}(\tau )\ast h_{eq,l}(\tau )\ast h_{eq,l}(-\tau )\right]{|}_{\tau =mT}$$

• 总输出PSD为各噪声源贡献之和

C.4.2 CT-ΔΣ混叠抑制的LPTV分析

背景：当CT-ΔΣ使用SC DAC等时变环路滤波器时，简单模型 $STF(f)=L_0(j2\pi f)\cdot NTF(e^{j2\pi f})$ 不再成立。

分析方法（以CIFF CT-ΔΣ + SC DAC为例）：

1. 断开环路，用伴随网络法求等效LTI冲激响应 $l_{eq}(t)$
2. $l_{eq}(t)$ 由两部分组成：
   • 理想部分 $l_{ideal}(t)$：假设无SC DAC时的时不变响应
   • SC DAC贡献部分：周期冲激序列，体现虚拟地节点的采样行为
3. 频域结果：

$$L_{eq}(j2\pi f)=L_{ideal}(j2\pi f)+\frac{f_{s}C}{G_{ota}}\sum _k{L}_{ideal}(j2\pi (f+k{f}_s))e^{-j2\pi (f+k{f}_s)\cdot 0.5T}$$

4. STF由 $L_{eq}$ 乘以NTF得到

关键发现：

• 对 $f=\Delta f+k{f}_s$ 频率，混叠分量显著
• SC DAC导致混叠抑制严重退化
• 结果与第10章的”平均”分析一致

这一分析揭示了为什么某些CT-ΔΣ拓扑（特别是含SC DAC的拓扑）的混叠抑制性能会显著低于理想情况，并为改进设计提供了理论指导。

关键公式

卷积积分（LTI）

$$y(t)={\int }_0^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$$

LTV冲激响应

$$y(t)={\int }_0^{\infty }h(t,\tau )x(t-\tau )d\tau$$

LPTV谐波传递函数展开

$$H(f,t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{H}_k(f)e^{j2\pi k{f}_{s}t}$$ $$H_k(f)=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}H(f,t)e^{-j2\pi k{f}_{s}t}dt$$

LPTV系统输出（复指数输入）

$$y(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{H}_k(f)e^{j2\pi (f+k{f}_s)t}$$

等效LTI滤波器（带抽样）

$$H_{eq}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{H}_k(f)$$

伴随网络互易原理

$${\hat{y}}_1[nT-\Delta t]=y_2[nT+\Delta t]$$

参考文献

1. R. Schreier and B. Zhang, “Delta-sigma modulators employing continuous-time circuitry,” IEEE Trans. Circuits and Systems I, vol. 43, no. 4, pp. 324-332, April 1996.
2. J. R. Westra, C. J. M. Verhoeven, and A. H. M. van Roermund, Oscillators and Oscillator Systems. Kluwer Academic Publishers, 1999.

补充细节：伴随网络法

G39 伴随网络法的电路构建示例（原书 Table C.1, Fig C.15-C.16）：

• 器件转换规则（表 C.1）：

  原始器件	伴随器件	说明
  电阻 $R$	电阻 $R$	不变
  电容 $C$	电容 $C$	不变
  独立电压源 $V_s$	短路	激励端口变测量端口
  CCCS ($\beta i_c$)	VCVS ($\beta v_c$)	电流控制→电压控制
  VCVS ($\mu v_c$)	CCCS ($\mu i_c$)	电压控制→电流控制
  开关（周期$T_s$）	开关（周期$T_s$，反向时序）	采样/保持角色互换

• CT-MOD1 伴随网络构建（Fig C.15 → C.16）：

  • 原网络：OTA-RC 积分器（$g_m$ 跨导器）→ 量化器（比较器）→ NRZ DAC → 反馈至输入端。
  • 伴随网络：$g_m$ 跨导器 → 反向跨导器（输入/输出互换）；比较器 → 理想脉冲电流源（注入 $\delta (t-\tau )$）；NRZ DAC 开关 → 反向时序开关；输入电压源 → 短路（输出电压成为激励）。
  • 通过分析伴随网络的脉冲响应，可直接得到 $STF(f)$ 的闭式表达式，避免了时变系统的直接求解。

关联概念页面

• 带通ΔΣ调制器
• ΔΣ调制器中的抽取与插值滤波