PWM基本形式与载波类型
脉冲宽度调制（PWM）是电力电子控制的基础。理想 PWM 波形具有理论零上升/下降时间，最小化半导体功率器件的开关损耗。本章系统分类 PWM 的基本形式——恒频 vs 变频、三种载波类型、以及对应的调制方法。
恒频 PWM（Constant-Frequency PWM）
恒频 PWM 通过比较参考信号 与载波信号 产生：
三种载波信号
| 载波类型 | 波形特征 | 调制方式 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 锯齿波（Sawtooth） | 线性上升、快速复位 | 后缘调制（Trailing-Edge）— 上升沿固定、下降沿随参考变化 | DC-DC 变换器 |
| 反向锯齿波（Inverted Sawtooth） | 快速复位、线性下降 | 前缘调制（Leading-Edge）— 下降沿固定、上升沿随参考变化 | 特定拓扑 |
| 三角波（Triangle） | 对称上升/下降 | 双边缘调制（Double-Edge）— 脉冲在载波周期内居中 | AC-DC/DC-AC 变换器 |
后缘调制（Trailing-Edge Modulation）
DC-DC 变换器中最常见。上升沿由时钟同步固定触发，下降沿由参考与锯齿波交叉决定。当参考恒定时：
前缘调制（Leading-Edge Modulation）
下降沿固定，上升沿被调制。与后缘调制存在对偶关系。
双边缘调制（Double-Edge Modulation）
上升沿和下降沿均被调制。三角波的上升沿和下降沿通常对称，恒定参考下脉冲居中。重要优势：消除某些谐波分量（详见PWM频谱建模与双重傅里叶级数）。
自然采样 vs 规则采样 PWM
- 自然采样（Natural-Sampling）：参考信号连续与载波比较，产生连续的 PWM 切换时刻
- 规则采样（Regular-Sampling）：参考信号在载波峰值或谷值处采样，采样值再与载波比较。锯齿波时在周期开始采样；三角波时可在峰值单次采样（对称）或峰谷双次采样（不对称）
规则采样用于大功率逆变器和整流器。
参考信号定义
通用参考信号形式（适用于 DC-DC 和 AC-DC/DC-AC）：
- DC-DC 变换器：，稳态时 为常数，瞬态时变化
- AC-DC/DC-AC 变换器：，含至少一个基频正弦分量
- 多相变换器：各相参考正弦分量间存在相移
- 三次谐波注入：可用于最大化直流电压利用率
变频 PWM（Variable-Frequency PWM）
三种常见变频 PWM 方法：
恒定关断时间——变导通时间（Constant OFF-time）
开关在固定的关断时间 后导通，此时锯齿波开始以恒定斜率 上升。当锯齿波与参考相交时关断并复位。导通时间随参考变化，开关频率随参考降低而升高。应用于升压 PFC 变换器的边界模式控制。
恒定导通时间——变关断时间（Constant ON-time）
恒定导通时间的对偶实现。在升压 PFC 的边界模式控制中常见—开关在二极管电流降为零时导通。
滞环控制（Hysteretic Control）
结合电流或电压调节器，不涉及显式 PWM 过程。
变频 PWM 的特点
| 优势 | 劣势 |
|---|---|
| 相位超前特性改善控制环路稳定性（详见PWM小信号建模） | 输入/输出滤波器设计保守（按最低开关频率设计） |
| 大信号时开关损耗随频率降低而降低 | EMI 频率分布复杂 |
| 轻载时效率更高 | 变频导致频谱扩散 |
参数定义
平均占空比（用于频谱建模）：
调制指数：
其中 为载波峰峰值幅度。
补充：调制方式的数学精确描述
以下内容为 Sun (2012) §2.1 中的补充数学推导——对三种调制方式的切换时刻、脉冲宽度进行定量分析，确保知识库的数学严谨性。
A1 后缘调制导通时间精确表达式
锯齿波载波 在周期 内线性上升，复位后重复：
恒定参考 DC-DC 场景
参考 ，切换发生在 时刻：
开关在 （周期开始）由时钟导通，在 时关断。导通时间 ，与占空比定义一致。
含正弦调制的 AC 场景
参考 ，第 个周期的关断时刻满足：
此为超越方程，一般需数值求解——这正是双重傅里叶级数方法要解决的困难。
A2 前缘/后缘对偶关系的数学表达
反向锯齿波载波
反向锯齿波在周期开始时为最大值 ，线性下降至 0：
前缘调制切换时刻
开关在 由时钟关断（固定下降沿），在 时导通（调制上升沿）。设 恒定：
导通时间 。
对偶关系
| 调制方式 | 载波 | 固定边 | 调制边 | 导通时间 |
|---|---|---|---|---|
| 后缘调制 | 锯齿波 | 上升沿（） | 下降沿 | |
| 前缘调制 | 反向锯齿波 | 下降沿（） | 上升沿 |
两者产生相同的 PWM 波形（占空比均为 ），但开关时序相对于控制信号的映射关系不同。
A3 双边缘调制脉冲宽度表达式
三角波载波
三角波在前半周期线性上升、后半周期线性下降：
脉冲宽度与对称性
设 恒定：
- 第一次穿越（前半周期，载波上升中超过参考）：
- 的区间为 ，导通时间为：
r(t) = M\left[\cos(\omega_1 t) + \frac{1}{6}\cos(3\omega_1 t)\right]
三次谐波注入 $1/6$ 幅值可在不进入过调制的情况下将基波幅值提升约 15.5%。 #### 原理 - 三次谐波及 $3$ 的整数倍谐波在三相系统中为**零序分量**（三相间抵消） - 合成的线电压中不含三次谐波（线电压 = 相电压之差，$3k$ 次谐波被消除） - 但相电压的峰值降低，允许更高的基波幅值而不进入过调制 优化注入量可最大化直流电压利用率至约 $2/\sqrt{3} \approx 1.155$ 倍。 --- ### A6 sgn 函数的傅里叶级数展开 符号函数 $\operatorname{sgn}(x)$ 的傅里叶级数展开是 PWM 频谱分析的基础。 #### 周期化方波信号的傅里叶级数 周期为 $T$、占空比为 $D$ 的方波信号 $s(t)$（$0\le t < DT$ 时 $s=1$，$DT \le t < T$ 时 $s=0$）：s(t) = D + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{2\sin(m\pi D)}{m\pi} \cos\left(\frac{2\pi m t}{T} - m\pi D\right)
#### 双极性方波（$\pm 1$） 若方波取值为 $\pm 1$：s_{\text{bi}}(t) = 2D-1 + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{4\sin(m\pi D)}{m\pi} \cos\left(\frac{2\pi m t}{T} - m\pi D - \frac{m\pi}{2}\right)
#### 在 PWM 分析中的角色 PWM 波形是通过 $\operatorname{sgn}[r(t) - c(t)]$ 生成的——这等价于以 $r(t)-c(t)$ 的过零点为切换时刻的方波。双重傅里叶级数方法正是基于这一观察，将 $r(t)$ 和 $c(t)$ 映射为独立的时间变量 $x$ 和 $y$，从而获得闭式频谱模型。 --- ## 补充二：调制器与功率级的接口及高阶调制特性 > 以下内容为 Sun (2012) §2.1 的进一步补充——涵盖半桥电路作为 PWM 基本接口、过调制效应以及基带谐波分析。 ### G2 半桥电路——PWM调制与功率级的基本接口（Fig.2.13） #### 电路结构 半桥电路是 AC-DC 和 DC-AC 变换器的基本构建模块，由两个开关 $S_1$（上管）和 $S_2$（下管）串联组成，中间节点为桥臂输出。开关信号 $b_{\text{pwm}}(t)$ 控制 $S_1$ 和 $S_2$ 互补导通（加入死区时间防止直通）。 #### 双极调制下的桥臂电压 双极调制中，桥臂电压在 $+V_{\text{dc}}/2$ 和 $-V_{\text{dc}}/2$ 之间切换：v_{\text{arm}}(t) = \frac{V_{\text{dc}}}{2} \cdot b_{\text{pwm,bi}}(t)
其中 $b_{\text{pwm,bi}}(t) \in \{-1, +1\}$ 是双极性 PWM 波形。 #### 单极调制下的桥臂电压 单极调制中，两个半桥可并联（详见 [[交错PWM与谐波抵消技术]] D4），桥臂电压呈现三个电平：v_{\text{arm}}(t) = \frac{V_{\text{dc}}}{2} \cdot \begin{cases} +1, & b_{\text{pwm}}=1 \ 0, & \text{两桥臂互补时} \ -1, & b_{\text{pwm}}=0 \end{cases}
#### PWM频谱到桥臂电压的映射 给定任一 PWM 频谱模型 $b_{\text{pwm}}(t)$，桥臂电压的完整频谱为：v_{\text{arm}}(t) = \frac{V_{\text{dc}}}{2} \cdot b_{\text{pwm}}(t)
因此基波分量 $V_1 = V_{\text{dc}}M/4 = V_{\text{dc}}R_1/(2C_m)$，载波谐波和边带按 $V_{\text{dc}}/2$ 比例缩放。 #### 单相全桥与三相逆变器的扩展 - **单相全桥**：两个半桥（相位差 $\pi$ 或相移 PWM），$v_{\text{out}} = v_{\text{arm1}} - v_{\text{arm2}}$，可消除偶次谐波 - **三相逆变器**：三个半桥，载波相位差 $2\pi/3$ 或采用空间矢量 PWM #### $v_{\text{ac}}=v_{\text{dc}}\cdot v_{\text{pwm}}$ 在 $v_{\text{dc}}(t)$ 非恒定时的推广 ##### 基本关系回顾 半桥电路 AC 端电压与 DC 端电压的关系（公式 2.19）：v_{\text{ac}}(t) = v_{\text{dc}}(t) \cdot v_{\text{pwm}}(t)
其中 $v_{\text{pwm}}(t) \in \{-1, +1\}$ 为双极性 PWM 信号。 ##### $v_{\text{dc}}(t)$ 非恒定时的频谱推广 当 DC 母线电压 $v_{\text{dc}}(t)$ 非恒定时，$v_{\text{ac}}(t)$ 的频谱为 $v_{\text{dc}}(t)$ 和 $v_{\text{pwm}}(t)$ 的**乘积**，在频域对应**卷积**：\mathcal{F}{v_{\text{ac}}(t)} = \mathcal{F}{v_{\text{dc}}(t)} * \mathcal{F}{v_{\text{pwm}}(t)}
##### 典型应用：单相 PFC 中的 100/120Hz 母线纹波 单相 PFC 中 DC 母线电压必然包含二次谐波纹波（因瞬时有功/无功功率的 $2\omega_{\text{line}}$ 振荡）：v_{\text{dc}}(t) = V_{\text{dc}} + \Delta V_{\text{dc}}\cos(2\omega_{\text{line}} t + \phi)
其中 $\Delta V_{\text{dc}}$ 为纹波幅值，$\omega_{\text{line}}$ 为电网角频率。代入 $v_{\text{ac}}(t) = v_{\text{dc}}(t) \cdot v_{\text{pwm}}(t)$：\begin{aligned} v_{\text{ac}}(t) &= \big[V_{\text{dc}} + \Delta V_{\text{dc}}\cos(2\omega_{\text{line}} t + \phi)\big] \cdot v_{\text{pwm}}(t) \ &= V_{\text{dc}} \cdot v_{\text{pwm}}(t) + \Delta V_{\text{dc}}\cos(2\omega_{\text{line}} t + \phi) \cdot v_{\text{pwm}}(t) \end{aligned}
第一项为标准缩放后的 PWM 频谱。第二项是**调制波的调制**——$v_{\text{pwm}}(t)$ 的每个频率分量周围额外出现 $\pm 2\omega_{\text{line}}$ 的边带。 ##### 推广结论 | 原公式局限 | 推广形式 | 适用场景 | |-----------|---------|---------| | $v_{\text{dc}}$ 恒定 | $v_{\text{dc}}(t)$ 任意波形 | 通用 | | 频谱 = $V_{\text{dc}}/2$ 倍 PWM 谱 | 频谱 = $V_{\text{dc}}(f) * V_{\text{pwm}}(f)$ 卷积 | 通用 | | 仅考虑 PWM 载波边带 | 额外出现 DC 母线纹波的边带 | PFC、逆变器 | ##### 工程意义 1. **PFC 母线电容纹波耦合**：DC 母线 100/120Hz 纹波通过该乘积关系耦合到 AC 侧，在输入电流中产生 $3\omega_{\text{line}}, 5\omega_{\text{line}}$ 等杂散分量，影响 THD 2. **输入滤波器设计**：AC 侧 EMI 滤波器需虑及母线纹波频率附近的额外边带分量 3. **三相逆变器**：DC 母线纹波在输出中产生低频边带，可能影响电机控制精度 --- ### G3 过调制（Overmodulation, $M>1$） #### 定义与临界点 当调制指数 $M = 2R_1/C_m$ 超过 1 时，PWM 进入过调制区。此时参考信号 $r(t)$ 的峰值超过载波幅度 $C_m$，导致部分载波周期内无切换发生（脉冲丢失）。 #### 三个子区域 | 区域 | $M$ 范围 | 行为特征 | |------|---------|---------| | **线性区** | $0 \le M \le 1$ | 基波幅值严格等于 $M/2$，小信号增益 $1/C_m$ 成立 | | **弱过调制** | $1 < M < \approx 1.5$ | 部分周期无切换，基波幅值增长减缓 | | **强过调制** | $\approx 1.5 < M < \infty$ | 方波运行，$V_1 \to 4/\pi \approx 1.273$（极限）| #### 基波幅值的非线性特性 过调制区内基波幅值不满足 $V_1 = M/2$，而是：V_1(M) = \begin{cases} \dfrac{M}{2}, & 0 \le M \le 1 \[6pt] \dfrac{M}{2} \cdot \eta(M), & 1 < M < M_{\text{sat}} \[6pt] \dfrac{4}{\pi} \cdot \dfrac{V_{\text{dc}}}{2}, & M \ge M_{\text{sat}} \end{cases}
其中 $\eta(M) < 1$ 为过调制衰减因子。 #### 频谱变化 1. **基带低频谐波出现**：$f_1, 3f_1, 5f_1, \dots$ 等奇次基频谐波出现在输出电压中 2. **载波边带幅值失真**：基于 Bessel 函数的闭式频谱模型不再精确成立，需数值积分 #### 工程影响 - **逆变器设计**：通常避免持续过调制（$M$ 设计最大值 $\approx 0.9-0.95$），以保证低 THD - **三次谐波注入**：将线性调制范围扩展至 $M \approx 1.155$（详见 A5） - **方波运行**：大功率应用中主动进入过调制以获得最大输出电压 - **动态过调制**：瞬态工况下的偶发过调制可接受 --- ### G4 基带谐波分量（$m=0, n \neq 0$）分析 #### 定义 在双重傅里叶级数展开中，$m=0, n \neq 0$ 的项代表**基带谐波**，即输出频谱中频率为 $nf_1$ 的分量，与载波无关。 #### 理想情况 对于理想 PWM（$R_1 > 0$ 时），单极和双极调制的 $A_{0n}=B_{0n}=0$，基带谐波不天然存在。 #### 实际来源 | 来源 | 物理机制 | 谐波特征 | |------|---------|--------| | **过调制** | $M>1$ 时脉冲丢失 | $3f_1, 5f_1, 7f_1, \dots$ | | **死区时间** | 开关延迟引入非线性 | $f_1$ 附近宽带失真 | | **规则采样** | 采样保持效应 | 微小基带分量 | | **开关非理想性** | $t_r/t_f$ 不对称 | 偶次谐波 | | **电源纹波** | 母线电压波动 | $f_{\text{ripple}}$ 及其边带 | #### 在 Class-D 音频中的重要性 - 死区时间引起的基带谐波幅值约 $\propto t_{\text{dead}}/T_c \cdot V_{\text{dc}}$ - 典型 Class-D 放大器的 THD 规格 $<0.01\%$，需严格控制基带谐波 - 基带谐波难以被 LC 滤波器衰减（靠近信号频带），因此对 THD 贡献最大 #### 与边带谐波的区分 | 特性 | 基带谐波（$m=0$） | 边带谐波（$m \ge 1$） | |------|-----------------|--------------------| | 频率 | $nf_1$（基频整数倍） | $mf_c + nf_1$ | | 幅值决定因素 | 死区/非理想性/过调制 | Bessel 函数、调制指数 $M$ | | 滤波难度 | 难以滤除（靠近基带） | 可用 LC 滤波器大幅衰减 | | 音频影响 | 直接贡献 THD | 通常被输出滤波器抑制 | --- ## 双向链接 **来源**：[[Sun PWM 开关电子系统 Ch2 深度解析]] §2.1 **后续概念**： - [[PWM频谱建模与双重傅里叶级数]] — 恒频 PWM 的频谱分析 - [[PWM小信号建模]] — 恒频/变频 PWM 小信号模型 - [[变频PWM调制技术]] — 变频 PWM 的深入建模 - [[Class-D比较器与PWM电路]] — Class-D 音频放大器的 PWM 实现 - [[Class-D替代调制方案]] — 自激振荡/ΣΔ 等替代调制 - [[多电平变换器基础特性]] — 多电平 PWM 合成 **相关实体**： - [[Jian Sun]] — 本章作者