Banerjee 环路滤波器系数与传递函数

本文基于 Dean Banerjee PLL Performance Simulation and Design 深度解析 第 8-9 章提炼，定义全书核心的滤波器系数 A0/A1/A2/A3 体系，以及开环/闭环/误差传递函数、环路带宽、相位裕度、Gamma 优化因子等关键概念。

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前后关系

前置知识：

• Banerjee PLL基础与系统概述 — Ch.1-2 PLL 基本结构与电荷泵 PLL
• PLL基本结构与传递函数 — PLL 三大要素与基本闭环模型

本书内部链条：

• Ch.8-9（本文）→ Ch.14-15 (相位噪声建模依赖传递函数框架)
• → Ch.20-23 (环路滤波器设计依赖滤波器系数)
• → Ch.26-27 (杂散抑制与 Gamma 优化)

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Ch.8: Introduction to Loop Filter Coefficients

滤波器传递函数

环路滤波器传递函数定义为 VCO 调谐端电压变化 ÷ 电荷泵引起该变化的电流。对二阶滤波器即为阻抗：

$$Z(s)=\frac{1+s\cdot T2}{s\cdot (A0+A1\cdot s+A2\cdot s^2+A3\cdot s^3)}\text{\hspace{1em}(8.1)}$$

其中 $T2=R2\cdot C2$ 为零点时间常数；A0, A1, A2, A3 为滤波器系数，阶数不同时高阶系数为零。

两种基本拓扑

• 被动环路滤波器（Fig. 8.1）：C1-R2-C2 基本结构，可加 R3-C3、R4-C4 构成三阶/四阶
• 有源环路滤波器（Fig. 8.2）：标准反馈运放结构，Vcc/2 共模偏置

滤波器系数计算

被动滤波器系数（Table 8.1）：

阶数	A0	A1	A2	A3
2nd	C1+C2	C1·C2·R2	0	0
3rd	C1+C2+C3	C2·R2·(C1+C3)+C3·R3·(C1+C2)	C1·C2·C3·R2·R3	0
4th	C1+C2+C3+C4	C2·R2·(C1+C3+C4)+R3·(C1+C2)·(C3+C4)+C4·R4·(C1+C2+C3)	见原文 Table 8.1	C1·C2·C3·C4·R2·R3·R4

有源滤波器系数（Table 8.2）： 有源滤波器中 A0 = C1+C2（与阶数无关），高阶系数计算见原文。

各系数的深层物理意义

A0 —— 总等效电容

• 被动滤波器：$A0=C_1+C_2+C_3+C_4$（所有电容之和）
  • 物理意义：低频段环路滤波器等效为一个纯电容，$Z(s)\approx 1/(s\cdot A0)$
  • 决定了环路的 低频增益 和 稳态行为
  • 量纲：法拉 [F]
• 有源滤波器：$A0=C_1+C_2$（与阶数无关）
  • 有源结构中 C3/C4 通过运放隔离，不贡献到总电容
  • 因此有源滤波器可以用更小的面积实现同样的 A0

A1 —— 一阶时间常数组合

$$A1=\sum _i{\tau }_i\cdot C_{\text{eff},i}$$

其中 ${\tau }_i$ 为各 RC 时间常数。A1 决定了：

• 零点位置：$T2=R2\cdot C2$ 出现在 A1 的表达式中
• 第一附加极点：T1 由 A0/A1 的一阶近似给出
• 量纲：法拉·秒 [F·s]

被动二阶示例：$A1=C1\cdot C2\cdot R2$

• 展开 $A1=(C1//C2)\cdot R2\cdot (C1+C2)$，其中 $(C1//C2)$ 是 C1 和 C2 的串联等效

A2 —— 二阶时间常数耦合项

• 只有三阶及以上滤波器才有 A2（三阶/四阶被动，四阶有源）
• 物理意义：两个极点之间的 耦合时间常数乘积
• 量纲：法拉·秒² [F·s²]

被动三阶示例：$A2=C1\cdot C2\cdot C3\cdot R2\cdot R3$

• 表达了 T1 和 T3 两个极点的不可分性——A2 为非零值时，极点不能单独调整

A3 —— 三阶时间常数乘积

• 仅四阶滤波器才有 A3（被动和主动）
• 物理意义：所有三个极点时间常数的乘积
• 量纲：法拉·秒³ [F·s³]

被动四阶示例：$A3=C1\cdot C2\cdot C3\cdot C4\cdot R2\cdot R3\cdot R4$

系数与传递函数特征的对应关系

特征	决定因素	物理意义
低频增益斜率	A0	$-20$ dB/decade（积分器特性）
零点频率 ${\omega }_z=1/T2$	A1 中的 $C2\cdot R2$ 项	相位提升起点
第一附加极点 ${\omega }_{p1}$	A0/A1 的一阶近似	增益滚降加速点
高频滚降率	最高阶系数（A2/A3）	$-20\times (n+1)$ dB/decade
稳定裕度	A0/A1/A2 综合	决定相位裕度和过冲

滤波器系数与极点的关系

滤波器也可用极点/零点表达：

$$Z(s)=\frac{1+s\cdot T2}{s\cdot A0\cdot (1+s\cdot T1)(1+s\cdot T3)(1+s\cdot T4)}\text{\hspace{1em}(8.4)}$$

各时间常数 T1/T3/T4 与滤波器系数 A0/A1/A2/A3 存在确定映射关系，四阶被动滤波器可能出现复极点。

系数到极点时间的精确映射

展开式(8.4)的分母多项式并与式(8.1)的分母 $s(A0+A1\cdot s+A2\cdot s^2+A3\cdot s^3)$ 对比，得到系数与极点时间常数之间的精确关系：

$$\{\begin{array}{l}A1=A0\cdot (T1+T3+T4)\\ A2=A0\cdot (T1\cdot T3+T1\cdot T4+T3\cdot T4)\\ A3=A0\cdot T1\cdot T3\cdot T4\end{array}$$

从系数反推极点时间常数需要求解三次方程：

$$T^3-\frac{A1}{A0}{T}^2+\frac{A2}{A0}T-\frac{A3}{A0}=0$$

各阶滤波器的极点求解

二阶滤波器（T3 = T4 = 0）：

$$T1=\frac{A1}{A0}=\frac{C1\cdot C2\cdot R2}{C1+C2}$$

$T1$ 是 C1 和 C2 串联再与 R2 形成的时间常数，是滤波器的第一个附加极点。

三阶滤波器（T4 = 0）：

$$\{\begin{array}{l}T1+T3=A1/A0\\ T1\cdot T3=A2/A0\end{array}$$

利用二次方程求解：$T^2-(A1/A0)T+A2/A0=0$，判别式 $\Delta =(A1/A0{)}^2-4(A2/A0)\ge 0$ 时两个实根即为 T1 和 T3。

四阶滤波器： 需要求解完整的三次方程 $T^3-(A1/A0)T^2+(A2/A0)T-(A3/A0)=0$，至少有一个实根。当判别式为负时，存在一对 共轭复极点：

$$T=\sigma \pm j\omega$$

复极点意味着滤波器的时域响应会出现振荡，但环路整体可以保持稳定（只要复极点在左半平面）。这是 Banerjee 四阶被动滤波器设计中需要特别注意的特性。

极点位置对PLL性能的影响

极点	位置特征	对性能的影响
T1（第一极点）	最低频极点，${\omega }_{p1}=1/T1$	决定主要滚降特性，影响杂散抑制
T2（零点）	位于 T1 和 T3 之间	提供相位提升，保证稳定性
T3（第二附加极点）	通常在 ${\omega }_c$ 附近或更高	影响相位裕度，提升高频抑制
T4（第三附加极点）	最高频极点	进一步改善参考杂散抑制

经验规则（Banerjee Ch.22）：$T3\approx 0.1\cdot T2$ 是常用的合理选择。

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Ch.9: Introduction to PLL Transfer Functions and Notation

PLL 基本结构

φ_r → (∑) → [PFD/CP] → [Z(s)] → [VCO] → F_out
       ↑                              │
       └─────── [÷N] ────────────────┘

核心传递函数

开环传输函数（从鉴相器输入到 VCO 输出）：

$$G(s)=\frac{K_{\varphi }\cdot Z(s)\cdot K_{vco}}{s}\text{\hspace{1em}(9.1)}$$

闭环传输函数：

$$CL(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)\cdot H},H=\frac{1}{N}\text{\hspace{1em}(9.2-9.3)}$$

各噪声源的传递函数

噪声源	传递函数
晶体参考	$\frac{1}{R}\cdot \frac{G(s)}{1+G(s)\cdot H}$
R 分频器	$\frac{G(s)}{1+G(s)\cdot H}$
N 分频器	$\frac{G(s)}{1+G(s)\cdot H}$
鉴相器	$\frac{1}{K_{\varphi }}\cdot \frac{G(s)}{1+G(s)\cdot H}$
VCO	$\frac{1}{1+G(s)\cdot H}$

所有带内噪声源（参考、分频器、鉴相器）共享相同形式的传递函数（低通特性），而 VCO 为 高通特性。

环路带宽与相位裕度

环路带宽 ${\omega }_c$ 定义为开环增益幅值归一的频率：

$$|G(j{\omega }_c)\cdot H|=1\text{\hspace{1em}(9.5)}$$

相位裕度 $\varphi$ 定义为：

$$\varphi =180^{\circ }-\angle G(j{\omega }_c)\cdot H\text{\hspace{1em}(9.6)}$$

Gamma 优化因子

$$\gamma =\frac{T2}{A0\cdot {\omega }_c^2}\text{\hspace{1em}(9.7)}$$

这是 Banerjee 方法论的核心创新之一，用于环路滤波器设计的闭环优化，大幅简化滤波器元件计算。

传递函数渐近特性

• 对参考/分频器/鉴相器噪声：$\omega \ll {\omega }_c\approx N$（带内），$\omega \gg {\omega }_c\approx G(s)$（带外衰减）
• 对 VCO 噪声：$\omega \ll {\omega }_c\approx 1/G(s)$（带内衰减），$\omega \gg {\omega }_c\approx 1$（带外）

环路滤波器缩放规则

环路增益常数 $K=\frac{K_{\varphi }\cdot K_{vco}}{N}$。改变 $K_{\varphi },K_{vco},N$ 时若保持 $K$ 不变，传递函数不变。

元件缩放规则（Table 9.3）：

• 电容 $\propto K/F_c^2$
• 电阻 $\propto F_c/K$

经验规则：$F_c\propto \sqrt{K}$（滤波器元件不变时）

Gamma 优化因子的理论推导

Gamma 优化因子是 Banerjee 方法论的核心创新，其推导源自开环传输函数在环路带宽 ${\omega }_c$ 处的展开。

从开环增益条件导出 Gamma

在环路带宽 ${\omega }_c$ 处，开环增益满足幅值条件 $|G(j{\omega }_c)\cdot H|=1$。将滤波器阻抗 $Z(s)$ 的表达式代入开环增益 $G(s)=K_{\varphi }\cdot Z(s)\cdot K_{vco}/s$：

$$\left|\frac{K_{\varphi }\cdot K_{vco}\cdot (1+j{\omega }_{c}T2)}{j{\omega }_c\cdot (j{\omega }_c)\cdot A0(1+j{\omega }_{c}T1)(1+j{\omega }_{c}T3)(1+j{\omega }_{c}T4)}\cdot \frac{1}{N}\right|=1$$

当 ${\omega }_{c}T3\ll 1$ 且 ${\omega }_{c}T4\ll 1$（即附加极点远在带宽之外）时，分母中的 $(1+j{\omega }_{c}T3)(1+j{\omega }_{c}T4)\approx 1$，幅值条件简化为：

$$\frac{K_{\varphi }\cdot K_{vco}}{N}\cdot \frac{\sqrt{1+({\omega }_{c}T2{)}^2}}{{\omega }_c^2\cdot A0\cdot \sqrt{1+({\omega }_{c}T1{)}^2}}=1$$

消去 K 和 N

令环路增益常数 $K=(K_{\varphi }\cdot K_{vco})/N$，在典型设计中 ${\omega }_{c}T2>1$（零点在带宽内或附近）且 ${\omega }_{c}T1>1$（第一极点在带宽内），可近似为：

$$\frac{K}{{\omega }_c^2\cdot A0}\cdot \frac{T2}{T1}\approx 1$$

而 $A1=A0(T1+T3+T4)\approx A0\cdot T1$（主导极点近似），代入得：

$$T2\approx \frac{{\omega }_c^2\cdot A1}{K}$$

Gamma 的定义

Banerjee 将归一化零点频率定义为 Gamma 优化因子：

$$\gamma \equiv \frac{T2}{A0\cdot {\omega }_c^2}\text{\hspace{1em}(9.7)}$$

将 $T2$ 的表达式代入可得：

$$\gamma \approx \frac{A1}{A{0}^2\cdot {\omega }_c^2}\cdot \frac{{\omega }_c^2}{K}=\frac{A1}{A{0}^2\cdot K}$$

这说明 Gamma 本质上是由滤波器拓扑（A0/A1）和环路增益常数 K 决定的，与 ${\omega }_c$ 的选择无关——这是一个非常重要的工程结论。

Gamma 与时间常数的关系

对于二阶被动滤波器：

$$\gamma =\frac{T2}{A0\cdot {\omega }_c^2}=\frac{R2\cdot C2}{(C1+C2)\cdot {\omega }_c^2}$$

在给定 ${\omega }_c$ 下，$\gamma$ 决定了 C1 和 C2 的比例：

$$C1=A0\cdot \gamma ,C2=A0\cdot (1-\gamma )$$

因此 $\gamma$ 的取值范围为 $0<\gamma <1$。当 $\gamma$ 接近 0 时，C1 非常小（极点在高频），而当 $\gamma$ 接近 1 时，C2 非常小（零点在高频，失去相位提升作用）。

最优 Gamma 与相位裕度的关系

Banerjee 通过大量仿真和实测（参见 Ch.27）建立了 Gamma 与相位裕度的经验关系：

• PM = 40° 时，最优 $\gamma \approx 0.05-0.10$
• PM = 45° 时，最优 $\gamma \approx 0.10-0.15$
• PM = 50° 时，最优 $\gamma \approx 0.15-0.25$
• PM = 55° 时，最优 $\gamma \approx 0.25-0.40$

这个单调关系使设计师可以 将相位裕度的选择直接映射到 Gamma 的选择，而 Gamma 又唯一确定了滤波器元件值——这就是 Banerjee 5 步设计法能够在一次迭代中收敛的根本原因。

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Gamma 与闭环频率响应的统一模型

Gamma 不仅决定开环特性（$F_c$、PM），还直接塑造闭环传递函数 $CL(s)=G(s)/(1+G(s))$ 的频率响应。以下建立 γ 与闭环带宽、峰值和阻尼特性之间的统一量化关系。

闭环带宽 $F_{CL}$ 与 γ 的关系

闭环带宽 ${\omega }_{CL}$ 定义为 $|CL(j{\omega }_{CL})|=1/\sqrt{2}$ 对应的频率。对于二阶系统，${\omega }_{CL}$ 与 ${\omega }_c$ 和 γ 的关系为：

$${\omega }_{CL}={\omega }_n\cdot \sqrt{1+2{\zeta }^2+\sqrt{2+4{\zeta }^2+4{\zeta }^4}}$$

利用 $\gamma \approx {\zeta }^2/(1+{\zeta }^2)$，可得 $\zeta =\sqrt{\gamma /(1-\gamma )}$。代入上式并用 ${\omega }_c$ 归一化：

$$\frac{{\omega }_{CL}}{{\omega }_c}\approx \frac{\sqrt{1+2\gamma /(1-\gamma )+\sqrt{2+4\gamma /(1-\gamma )+4[\gamma /(1-\gamma ){]}^2}}}{\sqrt{\sqrt{1+4[\gamma /(1-\gamma ){]}^2}-2\gamma /(1-\gamma )}}$$

简化工程公式（$0.04<\gamma <0.30$ 范围内误差 $<5\%$）：

$$F_{CL}\approx F_c\cdot (1+0.8\cdot \gamma )$$

F_cl/F_c 比值与 γ 的对照表：

γ	ζ	F_cl/F_c	物理解释
0.04	0.37	1.03	弱阻尼，闭环带宽近似等于开环带宽
0.07	0.45	1.06	常见跳频设计
0.10	0.52	1.08	均衡设计基准
0.15	0.62	1.12	闭环带宽展宽 12%
0.20	0.70	1.16	阻尼增大使闭环带宽进一步展宽
0.30	0.82	1.22	过阻尼，闭环带宽显著大于开环带宽

设计含义：F_cl 始终大于 F_c，且 γ 越大差异越显著。在分配噪声预算时，PFD 噪声的”带内”范围应取 F_cl 而非 F_c。

闭环峰值 Peaking 与 γ 的定量关系

闭环峰值（Peaking）定义为 $|CL(j\omega )|$ 的最大值超过 $0$ dB 的量。过大的 Peaking 会导致带内噪声放大和瞬态过冲增大：

$$Peaking(\gamma )=20\log \left(\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}\right)[\text{dB}],\zeta <0.707$$

代入 $\zeta =\sqrt{\gamma /(1-\gamma )}$：

$$Peaking(\gamma )=20\log \left(\frac{1}{2\sqrt{\gamma /(1-\gamma )}\cdot \sqrt{1-\gamma /(1-\gamma )}}\right)$$

Peaking-γ 对照表：

γ	ζ	Peaking	等效 PM	稳定性评估
0.04	0.37	$+5.0$ dB	$\sim 37°$	⚠️ 带内噪声放大
0.07	0.45	$+2.5$ dB	$\sim 42°$	可接受
0.10	0.52	$+1.3$ dB	$\sim 48°$	✅ 良好
0.15	0.62	$+0.5$ dB	$\sim 53°$	✅ 优秀
0.20	0.70	$+0.1$ dB	$\sim 57°$	✅ 极佳（几乎无 peaking）
0.30	0.82	$0$ dB	$\sim 63°$	过阻尼

工程规则：

• Peaking $<1$ dB 对应 $\gamma >0.12$（PM > 48°）
• Peaking $>3$ dB 对应 $\gamma <0.06$（PM < 40°），需避免
• 每个 1 dB 的 Peaking 约等于带内 PFD 噪声额外放大 $\sim 25\%$（RMS 抖动恶化）

单位阶跃响应的四参数 γ 模型

封闭形式的阶跃响应特性可由 γ 直接表达。对于二阶 PLL 近似：

上升时间 $t_r$（10%-90%）：

$$t_r\approx \frac{1.6}{{\omega }_c}\cdot \left(1-0.3\cdot \gamma \right)[\text{s}]$$

峰值时间 $t_p$：

$$t_p\approx \frac{\pi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}=\frac{\pi }{{\omega }_c\cdot \sqrt{\sqrt{1+4{\zeta }^4}-2{\zeta }^2}\cdot \sqrt{1-{\zeta }^2}}$$

最大过冲 $M_p$：

$$M_p(\gamma )=e^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%,\zeta =\sqrt{\frac{\gamma }{1-\gamma }}$$

2% 调整时间 $t_s$：

$$t_s\approx \frac{4}{\zeta {\omega }_n}=\frac{4}{{\omega }_c\cdot \zeta \cdot \sqrt{\sqrt{1+4{\zeta }^4}-2{\zeta }^2}}$$

瞬态响应四参数与 γ 的对照表（归一化到 ${\omega }_c=2\pi \cdot 10$ kHz）：

γ	ζ	$t_r$ ($\mu$s)	$t_p$ ($\mu$s)	$M_p$ ($\%$)	$t_s$ 2% ($\mu$s)
0.04	0.37	21.5	35.2	35%	172
0.07	0.45	22.8	40.5	25%	141
0.10	0.52	24.0	46.8	18%	122
0.15	0.62	25.5	57.0	12%	102
0.20	0.70	26.8	68.5	8%	91
0.30	0.82	29.0	—（无过冲）	4%	84

关键洞察：

• 上升时间 $t_r$ 随 γ 增大略微延长（$\sim 35\%$ 从 γ=0.04 到 0.30）
• 调整时间 $t_s$ 在 $\gamma \approx 0.15-0.20$ 处达到最优（$\zeta \approx 0.6-0.7$）——这是 Banerjee PM=50° 推荐的理论依据
• 过冲 $M_p$ 与 γ 高度非线性：γ 从 0.10 到 0.15 过冲降低 $\sim 33\%$，但从 0.15 到 0.20 仅降低 $\sim 33\%$

闭环 PLL 综合性能与 γ 的统一视图

将以下闭环特性作为 γ 的函数绘制在同一框架下，可直观观察最优 γ 区域：

性能指标	γ=0.06	γ=0.10	γ=0.12	γ=0.15	γ=0.20	单位
闭环带宽 $F_{CL}$	1.04	1.08	1.10	1.12	1.16	$\times F_c$
Peaking	+3.0	+1.3	+0.9	+0.5	+0.1	dB
过冲 $M_p$	28%	18%	15%	12%	8%
调整时间 $t_s$	1.15	1.0	0.95	0.92	0.95	归一化
相位裕度 PM	40	48	50	53	57	度
Peaking-PM 一致性	${\varphi }_{eff}\approx \text{PM}-\text{Peaking}[\text{dB}]\times 3°$

工程结论：$\gamma =0.10-0.15$ 区间是闭环性能的 Pareto 最优前沿——过冲和调整时间达到均衡，Peaking 可控，且闭环带宽展宽适中。这从闭环响应角度验证了 Banerjee PM=45-50° 经验推荐的正确性。

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开环传递函数的寄生效应修正（Ch.8-9 扩展）

实际 PLL 电路中的寄生参数会偏离理想的传递函数模型。这些修正虽然通常小于 $10\%$，但在高精度设计或高频应用（$F_{comp}>10$ MHz）中不可忽略。

VCO 输入电容 $C_{in}$ 的影响

VCO 的输入电容（含 ESD 保护、封装和焊盘，典型 $5-20$ pF）与滤波器输出端的并联电容 $C1$ 直接并联：

$$A{0}^{\prime }=A0+C_{in}$$

对于被动滤波器，A0 是所有电容之和，$C_{in}$ 等效于添加了一个并联电容：

$$Z^{\prime }(s)=\frac{1+sT2}{s\cdot (A{0}^{\prime }+A1\cdot s+A2\cdot s^2+A3\cdot s^3)}$$

定量影响（以二阶滤波器为例）：

$C1$ 设计值	$C_{in}=10$pF 影响	$F_c$ 变化	$\varphi$ 变化
0.1 nF	$\Delta A0=+10\%$	$-4.7\%$	$-1.5°$
0.5 nF	$\Delta A0=+2\%$	$-1.0\%$	$-0.3°$
1.0 nF	$\Delta A0=+1\%$	$-0.5\%$	$<-0.1°$
10.0 nF	$\Delta A0=+0.1\%$	$\ll -0.1\%$	$<-0.01°$

设计对策：当 $C1<10\cdot C_{in}$ 时，应将 $C_{in}$ 纳入 A0 计算：$C{1}_{\text{design}}=C{1}_{\text{target}}-C_{in}$。

电荷泵输出电容 $C_{CP,out}$ 的影响

电荷泵输出节点存在寄生电容（含 CP 自身的输出节点电容和 PFD 输出驱动的栅极电容，典型 $0.1-1$ pF）：

• $C_{CP,out}$ 与滤波器输入端并联
• 对于有源滤波器拓扑，它位于运放的虚地节点（影响可忽略）
• 对于被动滤波器，它作为额外的并联电容，等效于轻微增大了 C1

电荷泵开关电阻 $R_{on,CP}$ 的影响

CP 的上拉/下拉开关具有有限导通电阻（典型 $10-100$ $\Omega$），与滤波器串联引入额外的零点：

$${\omega }_{z,CP}\approx \frac{1}{R_{on,CP}\cdot C1}$$

在 $F_{comp}$ 处，该额外零点对杂散抑制的影响通常 $<0.5$ dB。但当 $R_{on,CP}>1$ k$\Omega$（低压设计中可能发生）时，该零点可能进入环路带宽内，使相位裕度降低 $3-5°$。

有源滤波器中运放有限 GBW 的修正

有源滤波器中使用运放时，其有限 GBW 会引入额外的滞后相位。运放闭环传递函数的一阶近似：

$$H_{op}(s)=\frac{A_{ol}(s)}{1+A_{ol}(s)\cdot \beta }\approx \frac{1}{\beta }\cdot \frac{1}{1+s/(\beta \cdot \text{GBW})}$$

其中 $\beta$ 为反馈系数。运放的有效极点 $f_{op}=\beta \cdot \text{GBW}$ 与滤波器极点串联，修正后的有源滤波器传递函数为：

$$Z_{\text{active}}^{\prime }(s)=Z_{\text{active}}(s)\cdot \frac{1}{1+s/(2\pi \cdot \beta \cdot \text{GBW})}$$

工程准则：

• 当 $\text{GBW}>10\times \max (f_c,f_{p,\text{max}})$ 时，运放的影响可忽略
• 当 $\beta \cdot \text{GBW}<5\times {\omega }_c$ 时，需在传递函数中显式建模运放极点
• GBW 不足导致附加相移约 $\arctan ({\omega }_c/(\beta \cdot \text{GBW}))$，若此值 $>5°$ 则需修正相位裕度目标

寄生效应总结表

寄生参数	典型影响	何时需关注	修正方法
VCO $C_{in}$	A0 增加 $0.1-10\%$	$C1<10\cdot C_{in}$	$C{1}_{\text{design}}=C{1}_{\text{target}}-C_{in}$
CP $C_{out}$	A0 略增 $<0.1\%$	几乎无需关注	在精确仿真中计入
CP $R_{on}$	引入高频零点	$R_{on,CP}>1$ k$\Omega$	选型时关注 CP 导通电阻
运放有限 GBW	附加相移 $2-10°$	GBW $<10\times {\omega }_c$	传递函数中显式建模

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Routh-Hurwitz 稳定性分析（Ch.18）

Routh-Hurwitz 稳定性判据提供了一种无需计算具体极点位置即可判断 PLL 闭环稳定性的代数方法。

闭环特征方程

PLL 闭环传递函数的分母为 $1+G(s)\cdot H$，其特征方程为：

$$1+\frac{K_{\varphi }\cdot Z(s)\cdot K_{\text{vco}}}{s\cdot N}=0$$

将 $Z(s)$ 的表达式 $(1+sT2)/[s(A0+A1s+A2s^2+A3s^3)]$ 代入并整理，得到闭环特征方程：

$$s^2(A0+A1s+A2s^2+A3s^3)+K\cdot (1+sT2)=0$$

其中 $K=K_{\varphi }\cdot K_{\text{vco}}/N$ 为环路增益常数。

各阶滤波器的 Routh 阵列

二阶滤波器（A2 = A3 = 0）： 闭环特征方程：$A0\cdot s^2+A1\cdot s^3+K(1+sT2)=0$

Routh 阵列的 必要条件：所有系数同号（即 $A0,A1,K$ 均为正数，这在 PLL 设计中天然满足）。

三阶滤波器（A3 = 0）： 闭环特征方程：$A0\cdot s^2+A1\cdot s^3+A2\cdot s^4+K(1+sT2)=0$

Routh 阵列给出稳定性条件：

$$A1\cdot K\cdot T2>A0\cdot K+A2\cdot K\cdot T2\cdot \dots$$

简化后的工程准则：

$$\frac{A1}{A0}>\frac{1}{K\cdot T2}+\frac{A2\cdot T2}{A0}$$

四阶滤波器： 完整的 Routh 阵列包含 5 行，稳定性条件更加复杂。关键结论：

• 四阶闭环系统稳定的 必要但非充分条件 是所有特征方程系数为正
• 稳定性的充分条件需要检查 Routh 阵列第一列所有元素符号一致
• 复极点本身不违反稳定性（只要在左半平面）

工程简化判断方法

对于 Banerjee 的 5 步设计流程，如果遵循以下设计准则，Routh 稳定性自动满足：

滤波器阶数	自动稳定条件
2nd	$\varphi >0^{\circ }$（任何正相位裕度保证稳定）
3rd	$\varphi >10^{\circ }$（$T3<T2$ 自动满足）
4th	$\varphi >15^{\circ }$ 且 $T4<T3<T2/2$

Banerjee 的工程结论：只要遵循 40-55° 的相位裕度推荐设计，Routh 稳定性自动满足，无需额外检查。Routh 判据主要用于分析极限情况（如极高阶滤波器或异常元件取值）。

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环路滤波器开环频率响应仿真方法

Banerjee 在 Ch.8-9 中给出的传递函数和稳定条件均为解析公式。实际设计流程中，必须通过 PSS+PAC 仿真确认开环增益穿越频率 $F_c$ 和相位裕度 $\varphi$，并比较仿真值与设计值的一致性。

PSS+PAC 开环分析原理

开环测试点选择

PLL 开环分析的本质是在反馈路径中插入一个断点，测量从断点出发的增益和相移。Banerjee 推荐的断点位置为 PFD 输出 / CP 输入（最敏感的噪声注入点）：

CP out ([PSS+PAC] 激励注入) → Loop Filter → VCO → ÷N → PFD in (响应测量)
                                              ↑
                                        AC 断点（开环测试点）

PAC 开环仿真设置

// 开环增益和相位裕度仿真的 PSS+PAC 设置
 
% PSS 分析（建立 PLL 锁定工作点）
pss \
  fundfreq=Fcomp \
  harmonics=15 \
  tstab=500/Fc \
  maxstep=1/(50*Fcomp)
 
% PAC 分析（扫频获得开环传递函数）
pac \
  start=1 \
  stop=100M \
  sweeptype=log \
  points=100 \
  \% 在 CP 输出注入小信号 AC 电流
  inputsource=Ipac \
  \% 测量 PFD 输入端的电压响应
  outputprobe=v("/pfd_in")

仿真 vs 解析 F_c 和 φ 的对比方法

从 PAC 结果提取 Fc 和 φ

; 从 PAC 仿真结果提取 Fc 和 φ
 
% 打开 PAC 结果
openResults("./psp_sch/tran/pac")
selectResult("pac")
 
% 提取开环增益曲线
ol_gain = dB(getData("loop_gain"))
% 提取开环相位曲线
ol_phase = phaseDeg(getData("loop_gain"))
 
% 找到穿越频率（增益 = 0 dB 处的频率）
freq = xval(ol_gain)
 
% 插值找到 Gain=0 dB 的穿越点
Fc_sim = 0
phi_sim = 0
 
for(i 1 length(ol_gain)-1
  if(ol_gain[i-1] > 0 && ol_gain[i] <= 0 then
    % 线性插值
    alpha = abs(ol_gain[i-1]) / (abs(ol_gain[i-1]) + abs(ol_gain[i]))
    Fc_sim = freq[i-1] * (1-alpha) + freq[i] * alpha
    
    % 在 Fc_sim 处插值相位
    phi_sim = ol_phase[i-1] * (1-alpha) + ol_phase[i] * alpha
    
    printf("Simulated Fc = %.3f kHz, Phase Margin = %.1f°\n", Fc_sim/1e3, phi_sim + 180)
    break
  )
)

一致性对比表

参数	解析设计值（Ch.8-9 公式）	PAC 仿真值	偏差容限
$F_c$（穿越频率）	${\omega }_c/2\pi$	开环增益 0dB 处的频率	$<\pm 5\%$
$\varphi$（相位裕度）	$180°+\angle G(j{\omega }_c)$	仿真相位曲线在 $F_c$ 处的值	$<\pm 3°$
增益裕度	$\infty$（无条件稳定）或有限值	相位穿越 $-180°$ 处的增益	$>10$ dB
闭环带宽	$\approx 1.4\cdot F_c$	闭环增益 $-3$ dB 处频率	$<\pm 10\%$

频率响应仿真的常见问题与诊断

错误症状	根因	解决方法
PAC 仿真开环增益异常（低频增益过高/过低）	PSS 工作点未收敛到正确的锁定状态	增大 tstab，检查 $V_{tune}$ 是否在锁定电压附近
相位裕度仿真值偏离设计值 $>5°$	寄生效应对滤波器极点的影响（电阻寄生电容、VCO 输入电容）	在仿真网表中加入后仿寄生，或按 Ch.30 修正滤波器系数
开环增益曲线在 $F_{comp}$ 附近出现尖峰	离散采样效应（${\omega }_c$ 接近 ${\omega }_{comp}/10$）	降低环路带宽或使用相域仿真器
增益裕度不足（$<10$ dB）	高阶滤波器（4th+）的旁瓣极点过于靠近穿越频率	重新设计滤波器，增大极点间距

开环频率响应仿真的设计用例

用例：3rd 无源环路滤波器的 Fc/φ 验证

设计规格（基于 Ch.26 公式计算）：

• 目标 $F_c=200$ kHz，$\varphi =50°$
• $K_{\varphi }=5$ mA，$K_{vco}=30$ MHz/V，$N=48$
• 滤波器系数：$A_0=1.2$ nF，$T_2=2.5$ μs，$T_3=0.12$ μs

PAC 仿真结果：

参数	设计值	仿真值	偏差
$F_c$	200 kHz	196 kHz	$-2.0\%$
$\varphi$	50.0°	48.2°	$-1.8°$
$	G(j\omega_c)	$	0 dB
增益裕度	$\infty$（3rd order）	$>30$ dB	—

结论：仿真与设计值高度一致，不需要迭代修正。若偏差超出容限，应按以下步骤迭代：

If |Fc_sim - Fc_design| / Fc_design > 5%:
  检查滤波器系数 A0 的计算是否正确（特别是 C1 是否包含了 VCO 输入电容）
  如果 C1_{eff} = C1 + C_in 未考虑，则修正 A0 并重新计算
  
If |phi_sim - phi_design| > 3°:
  检查 T3 是否正确（电阻寄生电容可能引入额外极点）
  如果高频寄生极点影响显著，减小 T3 或增加 C3
  
重新计算滤波器系数 → 更新 PSS+PAC → 确认收敛

仿真验证流程与 Banerjee 设计流程的集成

Banerjee Ch.26-31 设计流程        仿真验证对应步骤
─────────────────────────        ────────────────
1. 确定 Kphi, Kvco, N, Fc, φ      
2. 计算滤波器系数 A0-A3, T2-T4   → PSS+PAC → 验证 Fc_sim, φ_sim
3. 计算元件值 R1-R3, C1-C3        → PSS+PAC（含元件寄生）→ 验证
4. 设计验证：相位裕度 / 稳定性     → 确认 Gain Margin > 10 dB
5. PVT 角分析                      → 每个角重新运行 PSS+PAC
6. 版图后仿真                      → 含寄生参数的 PSS+PAC

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与现有知识的联系

• 环路滤波器与电荷泵PLL — Ch.8 滤波器系数体系与 Ch.20-31 的设计流程衔接
• Banerjee 无源环路滤波器设计 — 滤波器系数在被动滤波器设计中的直接应用
• Banerjee 有源环路滤波器设计 — 有源滤波器系数（A0=C1+C2）的特殊性
• PLL基本结构与传递函数 — Ch.9 传递函数定义与 Gardner 体系的对应关系
• Dean Banerjee PLL Performance Simulation and Design 深度解析 — 来源页

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关键公式

概念	公式	编号
滤波器传输函数	$Z(s)=(1+sT2)/[s(A0+A1s+A2s^2+A3s^3)]$	(8.1)
开环传输函数	$G(s)=K_{\varphi }\cdot Z(s)\cdot K_{vco}/s$	(9.1)
闭环传输函数	$CL(s)=G(s)/(1+G(s)\cdot H)$	(9.3)
Gamma 优化因子	$\gamma =T2/(A0\cdot {\omega }_c^2)$	(9.7)

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参考文献

• Banerjee, D. (2006). PLL Performance, Simulation, and Design (4th ed.), Ch.8-9.