晶体管电路失真分析

失真（Distortion）是限制模拟电路线性度的根本因素。当晶体管等非线性器件处理大信号时，输出中会产生输入频率的谐波（HD）和多个频率分量的互调产物（IM）。本文基于 Sansen §18 提炼，覆盖从基本定义到各类晶体管电路的失真机制及反馈降低失真的定量分析，是 Gray/Razavi/Allen 等教材中相对缺失的主题。

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前后关系

前置知识：

• 单管放大级 — CS/CE/CG/CB 基本组态
• MOS晶体管模型与特性 — 平方律模型、跨导
• 反馈放大器基础 — 反馈对失真的改善原理

本书内部链条：

• 晶体管失真分析（本文）→ 反馈放大器稳定性与频率补偿 — 反馈降低失真
• → MOD2非线性效应与谐波失真 — ΔΣ 调制器的非线性

外部关联：

• 运算放大器设计 — 运放线性度规格
• 射频放大器与LNA设计 — 射频电路的线性度（IIP3）

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失真基础定义

幂级数展开

任何弱非线性系统都可以用幂级数近似描述：

$$v_{OUT}=a_0+a_1{v}_{IN}+a_2{v}_{IN}^2+a_3{v}_{IN}^3+\cdots$$

其中 $a_1$ 是小信号增益，$a_2$、$a_3$ 是二阶和三阶非线性系数。

系数	定义	物理含义
$a_0$	$y{\Vert }_{u=0}$	DC 偏置点
$a_1$	${\frac{dy}{du}\Vert }_{u=0}$	小信号增益
$a_2$	${\frac{1}{2}\frac{d^{2}y}{d{u}^2}\Vert }_{u=0}$	二阶非线性
$a_3$	${\frac{1}{6}\frac{d^{3}y}{d{u}^3}\Vert }_{u=0}$	三阶非线性

谐波失真 (HD)

当输入 $u=U\cos \omega t$ 时：

$$v_{OUT}=a_0+\left(a_1+\frac{3}{4}{a}_3{U}^2\right)U\cos \omega t+\frac{1}{2}{a}_2{U}^2\cos 2\omega t+\frac{1}{4}{a}_3{U}^3\cos 3\omega t+\cdots$$

指标	公式	幅度依赖
HD2	$\frac{1}{2}\Vert \frac{a_2}{a_1}\Vert U$	$\propto U$（斜率 1）
HD3	$\frac{1}{4}\Vert \frac{a_3}{a_1}\Vert U^2$	$\propto U^2$（斜率 2）
THD	$\sqrt{H{D}_2^2+H{D}_3^2+\cdots }$	总谐波失真

互调失真 (IM)

当输入 $u=U(\cos {\omega }_{1}t+\cos {\omega }_{2}t)$ 时：

指标	频率	公式
IM2	${\omega }_1\pm {\omega }_2$	$=2\cdot H{D}_2$
IM3	$2{\omega }_1\pm {\omega }_2$, ${\omega }_1\pm 2{\omega }_2$	$=3\cdot H{D}_3$

截断点

• IIP2（二阶输入截断点）：$H{D}_2=0\text{dB}$ 时的输入电平
• IIP3（三阶输入截断点）：$H{D}_3=0\text{dB}$ 时的输入电平
• OIP2/OIP3：对应的输出截断点

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单端 MOS 放大器失真

共源级（CS）失真

对于平方律 MOS 管（强反型），$I_D=\frac{1}{2}\mu C_{ox}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_T{)}^2$：

• HD2 主导：CS 级的二阶失真显著，$a_2$ 来自 $g_m$ 对 $V_{GS}$ 的导数
• HD3：由 $g_m$ 的三阶导数决定，在速度饱和区更显著
• 大信号影响：随输入幅度增大，HD2 $\propto$ $U$，HD3 $\propto$ $U^2$

源极退化对失真的改善

引入源极电阻 $R_S$ 后，等效跨导变为：

$$G_m=\frac{g_m}{1+g_m{R}_S}$$

反馈将 HD2 和 HD3 降低约 $(1+g_m{R}_S)$ 倍，但以增益损失为代价。

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差分放大器失真

差分对的对称结构具有天然的偶次谐波抵消能力：

• 理论上无 HD2：因传输特性的奇对称性，$a_2=0$
• HD3 为主：差分对的 THD 主要由 $a_3$ 决定
• 线性范围：差分对输入线性范围约 $\pm V_{ov}=\pm (V_{GS}-V_T)$

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BJT 失真

BJT 的指数传输特性 $I_C=I_S{e}^{V_{BE}/V_T}$ 导致独特的失真特性：

• $a_2/a_1=1/(2V_T)$：HD2 由 $V_T$ 决定，与偏置无关
• $a_3/a_1=1/(6V_T^2)$：HD3 同样由 $V_T$ 决定
• 射极退化：$R_E$ 引入局部反馈降低 BJT 失真
• BJT vs MOS：BJT 的 HD2/HD3 由 $V_T$ （热电压，~26mV）决定，而 MOS 由 $V_{GS}-V_T$ （过驱动电压，~100-300mV）决定，MOS 在相同偏置下线性度通常优于 BJT

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反馈对失真的降低

反馈系统将失真降低约环路增益倍：

$$H{D}_{FB}=\frac{H{D}_{OL}}{1+LG}$$

其中 $LG=A\beta$ 为环路增益。这一关系仅在反馈深度足够大的条件下成立。

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失真分析的设计指导原则

Sansen §18 总结的实用指南：

1. 差分结构优于单端：偶次谐波抵消，HD2 消除
2. 源极/射极退化：以增益换线性度，降低 HD2 和 HD3
3. 深反馈：$H{D}_{FB}\propto 1/(1+LG)$
4. BJT：HD 由 $V_T$ 决定，偏置无关
5. MOS 强反型：HD 由 $V_{GS}-V_T$ 决定，增大过驱动电压改善线性度
6. Cascode：基本不影响线性度（Cascode 管不处理大信号摆幅）

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与其他教材对比

维度	Sansen §18	Gray	Razavi	Allen
失真覆盖	完整一章	未单独覆盖	射频章节提及	未单独覆盖
MOS 失真	HD2/HD3 完整推导	—	—	—
BJT 失真	$V_T$ 决定的 HD 公式	—	—	—
反馈	定量公式 $H{D}_{FB}$	—	—	—
设计指南	6 条实用规则	—	—	—

Sansen 的独特价值：§18 是经典教材中唯一独立覆盖晶体管级失真分析的章节。其他教材仅在高阶 RF 或 ΔΣ 相关内容中零星提及。

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📘 Martin 补充：IP3/P1dB 非线性统一框架（Ch.9 §9.5-§9.6）

Martin Ch.9 提供了 IP3 和 P1dB 的系统分析框架，补充了 Sansen §18 侧重 HD2/HD3 的视角。

P1dB（1dB 压缩点）：当输入信号幅度 $A$ 达到 $A_{1dB}$ 时，实际增益比小信号线性增益降低 1dB：

$$20\log |a_1+\frac{3}{4}{a}_3{A}_{1dB}^2|=20\log |a_1|-1$$

求解得：

$$A_{1dB}=\sqrt{0.145\left|\frac{a_1}{a_3}\right|}$$

IIP3（输入三阶截断点）：基波分量与三阶互调分量幅度相等时的输入功率：

$$IIP3=\sqrt{\frac{4}{3}\left|\frac{a_1}{a_3}\right|}$$

P1dB 与 IIP3 的关系：

$$\frac{A_{1dB}}{A_{IIP3}}=\sqrt{0.10875}\approx 0.33\Rightarrow P1dB\approx IIP3-9.6\text{dB}$$

这个关系适用于弱非线性（$a_1\gg a_3$）系统，是系统级设计中的快速估算工具。

三阶互调产物（IM3）与 SFDR：两个邻近频率的输入信号 ${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$ 产生 $2{\omega }_1-{\omega }_2$ 和 $2{\omega }_2-{\omega }_1$ 的 IM3 分量。无杂散动态范围：

$$SFDR=\frac{2}{3}(IIP3-P_{noise}-10\log B)$$

差异定位：Sansen §18 系统覆盖 HD/IM 的晶体管级推导（这是 Martin 未覆盖的）；Martin §9.6 提供 IP3/P1dB/SFDR 的系统级非线性框架（这是 Sansen 未覆盖的）。两者互补。Razavi 在射频章节简要提及 IP3 但缺乏 P1dB 与 HD3 的统一推导。

关联页：Martin Analog Integrated Circuit Design 深度解析 §9.5-§9.6