跨导线性电路与Gilbert乘法器

跨导线性（Translinear, TL） 是利用晶体管的指数（BJT）或平方律（MOS）跨导特性，实现精确乘/除/平方/开方等数学运算的电路技术。Martin §11.5-§11.6 提供了 TL 回路的系统性分析，这是其他综合教材（Gray/Razavi/Allen/Sansen/Baker）未深入覆盖的内容。

Translinear Loop 原理

BJT Translinear Loop

BJT 的指数关系 $I_C=I_S\exp (V_{BE}/V_T)$ 是 TL 电路的核心物理基础。对于基极-发射极电压环路：

$$V_{BE1}+V_{BE2}+\cdots +V_{BEn}=V_{BE(n+1)}+V_{BE(n+2)}+\cdots +V_{BE(n+m)}$$

代入 $V_{BE}=V_T\ln (I_C/I_S)$：

$$V_T\sum _{\text{CW}}\ln \left(\frac{I_{Ck}}{I_{Sk}}\right)=V_T\sum _{\text{CCW}}\ln \left(\frac{I_{Ck}}{I_{Sk}}\right)$$

其中 CW 为顺时针方向晶体管，CCW 为逆时针方向。消除 $V_T$ 并取指数：

$$\prod _{\text{CW}}\frac{I_{Ck}}{I_{Sk}}=\prod _{\text{CCW}}\frac{I_{Ck}}{I_{Sk}}$$

若所有晶体管 $I_S$ 匹配（$I_{S1}=I_{S2}=\cdots =I_S$）：

$$\prod _{\text{CW}}{I}_{Ck}=\prod _{\text{CCW}}{I}_{Ck}$$

即 TL 回路中顺时针方向发射极电流的乘积等于逆时针方向的乘积。这个简单但强大的关系式实现了电流域的乘/除运算。

MOS Translinear Loop（弱反型）

MOS 管在弱反型（亚阈值）区也具有指数 $I_D\propto \exp (V_{GS}/n{V}_T)$ 关系，可构成相似 TL 回路。在强反型中，MOS 管的平方律 $I_D=\beta (V_{GS}-V_{th}{)}^2$ 可构成平方律 TL（Square-Law TL）。

Gilbert 乘法器

基本 Gilbert 单元

Gilbert 乘法器（Barrie Gilbert, 1968）是 TL 回路最经典的应用，实现四个象限的模拟乘法：

差分对 TL 环路核心：假设四个 BJT（Q1-Q4）发射极相连，$I_{EE}$ 为尾电流。

$$V_{BE1}+V_{BE2}=V_{BE3}+V_{BE4}⟹I_{C1}\cdot I_{C2}=I_{C3}\cdot I_{C4}$$

引入差分输入 $v_x$ 和 $v_y$，输出差分电流为：

$$\Delta I_{out}=I_{out}^{+}-I_{out}^{-}\approx \frac{I_{EE}}{2V_T^2}\cdot v_x\cdot v_y$$

这是吉尔伯特单元作为四象限乘法器的基本原理。

Gilbert 混频器

在射频应用中，Gilbert 单元被广泛用作上/下变频混频器：

• 下变频：RF 输入 $\times$ LO 信号 $\to$ IF 输出
• 上变频：IF/基带输入 $\times$ LO 信号 $\to$ RF 输出

关键性能参数：转换增益、NF、IP3、LO-RF 隔离度。

改进型 Gilbert 单元

• 加源极退化电阻：提高线性度，降低 $g_m$ 变化
• 多 tanh 技术：多并联单元扩展线性输入范围
• 折叠 Gilbert 单元：低电压 CMOS 实现，电流复用

跨导线性滤波器

跨导线性滤波器（Translinear Filter, 又称 Log-Domain Filter） 利用 TL 回路将线性积分器映射为对数域的积分器：

1. 压缩：输入电压 $\to$ 对数域电流（通过 $V\to \log I$）
2. TL 积分：在对数域进行电流模式信号处理
3. 扩张：对数域电流 $\to$ 输出电压（通过 $\log I\to V$）

这种结构天然具有大动态范围和低电压工作的优势。

基本的一阶 Log-Domain 低通滤波器传递函数：

$$\frac{I_{out}}{I_{in}}(s)=\frac{{\omega }_0}{s+{\omega }_0}$$

其中 ${\omega }_0=I_{bias}/(C{V}_T)$，可通过偏置电流 $I_{bias}$ 电调谐。

RMS-DC 转换器

TL 回路可实现 RMS-DC 转换器的核心模块：

$$\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{v}_{in}^2(t)dt}$$

TL 实现方案：

• 平方器：利用 Gilbert 乘法器实现 $v_{in}^2$
• 平均器：低通滤波器提取直流分量 $\overline{v_{in}^2}$
• 平方根器：TL 回路实现 $\sqrt{\overline{v_{in}^2}}$ 函数

差异定位

与其他材料的差异

教材	覆盖范围
Martin §11.5-§11.6	TL 回路原理 + Gilbert 乘法器 + 跨导线性增益单元的系统覆盖
Razavi §11.3	Gilbert cell 作为混频器的简要分析，无 TL 回路理论基础
Gray	无 TL 回路或 Gilbert 乘法器覆盖
Allen	无相关内容
Baker	无相关内容
Sansen	无相关内容

Martin 的独特价值在于从 Translinear Loop 基本方程出发，系统推导出乘法器/增益单元的工作原理，而非仅给出电路拓扑和结果。

相关页面

• Martin Analog Integrated Circuit Design 深度解析 — 来源页
• 单管放大级 — 基本跨导单元的基础
• 宽带放大器技术 — Gilbert 单元在宽带应用中的扩展
• 射频放大器与LNA设计 — Gilbert 混频器与射频前端的接口
• 晶体管电路失真分析 — 跨导非线性的数学描述