Pavan ΔΣ数据转换器附录B：ΔΣ工具箱深度解析

附录B详细介绍了Schreier ΔΣ Toolbox（delsig）的完整功能，包括NTF综合、调制器仿真、系数计算与缩放、CT与正交系统扩展、失配整形ESL仿真、半带滤波器设计以及正不变集分析等。该工具箱是ΔΣ数据转换器设计与分析的工业标准工具。

附录B目录结构

章节	内容
B.1	工具箱概览与快速入门
B.2	演示与示例 (dsdemo1-7, dsexample1-2)
B.3	核心函数 (synthesizeNTF, simulateDSM, simulateSNR, realizeNTF等)
B.4	连续时间系统函数 (realizeNTF_ct, mapCtoD, evalTFP)
B.5	正交系统函数 (synthesizeQNTF, simulateQDSM, realizeQNTF, calculateQTF)
B.6	专业函数 (designHBF, designPBF, predictSNR, findPIS, findPattern)
B.7	实用工具函数
B.8	调制器模型 (ABCD矩阵、量化器特性、支持拓扑结构)

B.1 工具箱概览

快速入门

从 MATLAB Central File Exchange 下载 delsig 工具箱
编译 simulateDSM.c 和 simulateMS.c 可提高仿真速度
依赖：Signal Processing Toolbox + Control Systems Toolbox
clans 和 designPBF 需要 Optimization Toolbox

核心约定

频率归一化： $f = 1$ 对应采样频率 $f_{s}$
参数默认值：以等号标记，省略或用 NaN/[] 占位
ABCD矩阵：状态空间描述调制器环路滤波器（详见 B.8）

工具箱流程图

指定OSR、低通/带通、量化器等级数
        ↓
 synthesizeNTF / designLCBP / clans  →  NTF综合
        ↓
 realizeNTF / stuffABCD / scaleABCD / mapABCD  →  系数计算与缩放
        ↓
 simulateDSM / simulateSNR / predictSNR  →  时域仿真与SNR确定
        ↓
 calculateTF / findPIS / find2dPIS  →  传递函数计算与稳定性分析

B.2 演示与示例

函数	说明
dsdemo1	synthesizeNTF 演示：5阶低通（有无优化零点）+ 8阶带通
dsdemo2	simulateDSM + predictSNR + simulateSNR：低通/带通/多bit
dsdemo3	realizeNTF + stuffABCD + scaleABCD + mapABCD
dsdemo4	MOD1/MOD2 音频演示 + sincⁿ 降采样
dsdemo5	simulateMS：失配整形DAC的元素选择逻辑
dsdemo6	designHBF：高效半带滤波器设计与仿真
dsdemo7	findPIS：正不变集计算
dsexample1	离散时间调制器设计示例
dsexample2	连续时间低通调制器设计示例

B.3 核心函数

synthesizeNTF — NTF综合

ntf = synthesizeNTF(order=3, OSR=64, opt=0, H_inf=1.5, f0=0)

order：NTF阶数（带通必须为偶数）
OSR：过采样率（优化零点时需要）
opt：零点优化标志
- 0：所有零点在频带中心
- 1：高OSR极限优化
- 2：至少一个零点在中心，其余优化
- 3：使用 Optimization Toolbox 优化
H_inf：NTF最大带外增益（Lee准则 <2）
f0：中心频率（≠0 为带通）
输出：零极点形式的LTI对象

示例：5阶低通，OSR=32，优化零点

H = synthesizeNTF(5,32,1)
% 零点：(z-1) (z²-1.997z+1) (z²-1.992z+1)
% 极点：(z-0.7778) (z²-1.613z+0.6649) (z²-1.796z+0.8549)
% RMS增益 = -65dB, 最大增益 = 1.5 (3.5dB)

clans — CLANS NTF综合

ntf = clans(order=4, OSR=64, Q=5, rmax=0.95, opt=0)

基于闭环噪声整形器分析（Kenney & Carley）
Q：量化噪声的最大时域增益 ( $\sum ∣ h ∣ - 1$ )
rmax：极点最大半径
需要 Optimization Toolbox

synthesizeChebyshevNTF — 切比雪夫NTF

ntf = synthesizeChebyshevNTF(order, OSR, opt, H_inf, f0)

通带内等波纹幅度响应
仅在低 OSR 或低 H_inf 时优于 synthesizeNTF

simulateDSM — 时域仿真

[v, xn, xmax, y] = simulateDSM(u, ABCD|ntf, nlev=2, x0=0)

u：输入序列（ $m \times N$ 矩阵），满幅对应 $\pm (n l e v - 1)$
ABCD：环路滤波器状态空间描述
ntf：零极点形式NTF（STF假设为1）
nlev：量化器等级数（多量化器用列向量）
x0：初始状态
输出：v=输出，xn=内部状态，xmax=状态最大值，y=量化器输入

示例：5阶二进制低通调制器，半幅正弦输入

OSR = 32; H = synthesizeNTF(5,OSR,1);
N = 8192; fB = ceil(N/(2*OSR));
f = 85; u = 0.5*sin(2*pi*f/N*[0:N-1]);
v = simulateDSM(u,H);
spec = fft(v.*ds_hann(N))/(N/4);
snr = calculateSNR(spec(1:fB), f);

simulateSNR — SNR仿真

[snr, amp] = simulateSNR(ntf|ABCD, OSR, amp, f0=0, nlev=2, f=1/(4*R), k=13)

对不同幅度扫描仿真 SNR
k：FFT点数 $2^{k}$
quadrature：正交系统标志（当 ntf/ABCD 为复数时自动设置）

realizeNTF — NTF系数转换

[a, g, b, c] = realizeNTF(ntf, form='CRFB', stf=1)

将NTF转换为指定拓扑结构的系数
form：CRFB/CRFF/CIFB/CIFF (加-D后缀表示延迟量化器)
a：量化器反馈/前馈系数 ( $1 \times n$ )
g：谐振器系数 ( $1 \times ⌊ n /2 ⌋$ )
b：输入前馈系数 ( $1 \times (n + 1)$ )
c：级间系数（未缩放时为全1）

stuffABCD / mapABCD — ABCD矩阵操作

ABCD = stuffABCD(a, g, b, c, form='CRFB')        % 系数→ABCD
[a, g, b, c] = mapABCD(ABCD, form='CRFB')         % ABCD→系数

scaleABCD — 动态范围缩放

[ABCDs, umax] = scaleABCD(ABCD, nlev=2, f=0, xlim=1, ymax=nlev+5)

缩放状态使状态最大值不超过指定限值
同时确定最大稳定输入 umax

calculateTF — 传递函数计算

[ntf, stf] = calculateTF(ABCD, k=1)

从 ABCD 矩阵计算 NTF 和 STF
k：假设的量化器增益

simulateMS — 失配整形ESL仿真

[sv, sx, sigma_se, max_sx, max_sy] = simulateMS(v, mtf, M=16, d=0, dw, sx0)

仿真失配整形DAC的元素选择逻辑
mtf：失配整形传递函数（零极点形式）
M：DAC元素数量
d：抖动幅度
dw：元素标称权重向量
sigma_se：选择误差RMS值，用于估计带内噪声

示例：比较温度计编码、1阶和2阶失配整形

ntf = synthesizeNTF(3,[],[],4); M = 16;
v = simulateDSM(u, ntf, M+1);
sv0 = ds_therm(v,M);                                    % 温度计编码
sv1 = simulateMS(v, zpk(1,0,1,1), M);                   % 1阶整形
sv2 = simulateMS(v, zpk([1 1],[0 0],1,1), M);           % 2阶整形

B.4 连续时间系统函数

realizeNTF_ct — CT NTF实现

[ABCDc, tdac2] = realizeNTF_ct(ntf, form='FB', tdac=[0 1], ordering, bp, ABCDc)

tdac：反馈DAC时序（cell数组支持多种时序）
form：FB（反馈）或 FF（前馈）
bp：指定谐振器是否为带通

mapCtoD — CT到DT映射

[sys, Gp] = mapCtoD(sys_c, t=[0 1], f0=0)

基于脉冲响应匹配准则：CT系统的采样脉冲响应 = DT系统的脉冲响应
DAC脉冲由边沿时间矩阵 t 描述（默认[0 1]矩形脉冲）
Gp：混合CT/DT预滤波器

示例：标准2阶CT调制器的DT等效验证

LFc = ss([0 0;1 0], [1 -1;0 -1.5], [0 1], [0 0]);
[LF, Gp] = mapCtoD(LFc, [0 1]);
ABCD = [LF.a LF.b; LF.c LF.d];
H = calculateTF(ABCD);  % 验证得 NTF = (1-z⁻¹)²

evalTFP — STF评估

H = evalTFP(Hs, Hz, f)

计算CT系统的信号传递函数： $H_{s} (j 2 π f) \cdot H_{z} (e^{- j 2 π f})$
用于评估CT-ΔΣ ADC的整体STF

B.5 正交系统函数

synthesizeQNTF — 正交NTF综合

ntf = synthesizeQNTF(order=3, OSR=64, f0=0, NG=-60, ING=-20)

NG：带内噪声RMS增益 (dB)
ING：镜像带噪声RMS增益 (dB)
n_im：镜像带零点数量
⚠️ 实验性版本，使用ad hoc方法

simulateQDSM — 正交调制器仿真

[v, xn, xmax, y] = simulateQDSM(u, ABCD|ntf, nlev=2, x0=0)

输入为复序列（1×N行向量）
可通过 mapQtoR + simulateDSM 加速（2输入2输出）

realizeQNTF — 正交NTF实现

ABCD = realizeQNTF(ntf, form='FB', rot=0, bn)

form：FB/PFB/FF/PFF（平行反馈/前馈）
rot=1：旋转状态使尽可能多的系数为实数
bn：前馈结构的辅助DAC系数

mapQtoR / mapR2Q — 复-实矩阵转换

ABCDr = mapQtoR(ABCD)                 % 复→实：z→[x -y; y x]
[ABCDq ABCDp] = mapR2Q(ABCDr)         % 实→复：ABCDq + ABCDp

ABCDp 为零表示无正交误差

calculateQTF — 正交传递函数计算

[ntf, stf, intf, istf] = calculateQTF(ABCDr)

计算四组传递函数：NTF、STF、镜像NTF (INTF)、镜像STF (ISTF)
镜像传递函数反映I/Q失配的影响

simulateQESL — 正交DAC ESL仿真

[sv, sx, sigma_se, ...] = simulateQESL(v, mtf, M=16, sx0)

差分正交DAC的元素选择逻辑
共 2M 个元素

B.6 专业函数

designHBF — 半带滤波器设计 (Saramäki)

[f1, f2, info] = designHBF(fp=0.2, delta=1e-5, debug=0)

基于Saramäki过程的硬件高效线性相位半带滤波器
fp：归一化通带截止频率
delta：通带/阻带纹波（绝对值）
输出：f1/f2 包含系数及其CSD表示

示例：fp=0.2, δ=1e-5 → 109dB阻带衰减，仅需124次加法/输出采样

[f1, f2] = designHBF(0.2, 1e-5);
% 系数示例：f1(1)=0.9453=2⁰-2⁻⁴-2⁻⁷, f2(1)=0.6211=2⁻¹-2⁻³-2⁻⁸

结构特点：

F1滤波器和3个F2子滤波器级联
CSD编码，每个乘加仅需3次加法
110阶FIR仅需124次加法（低速侧）

simulateHBF — 半带滤波器时域仿真

y = simulateHBF(x, f1, f2, mode=0)

mode：0=滤波, 1=插值, 2=偶采样抽取, 3=奇采样抽取

designPBF — 多项式基滤波器设计

[C, e, x0] = designPBF(N, M, pb, pbr, sbr, ncd, np, ns, fmax)

Hunter方法设计对称多项式基滤波器
用于连续可变采样率转换
需要 Optimization Toolbox

predictSNR — 描述函数法SNR预测

[snr, amp, k0, k1, sigma_e2] = predictSNR(ntf, OSR=64, amp, f0=0)

Ardalan-Paulos描述函数方法，仅适用于二进制调制器
量化器模型：信号增益 k₀ + 噪声增益 k₁ + 加性高斯白噪声
输入被分为信号和噪声分量，分别由信号相关的增益处理

findPIS / find2dPIS — 正不变集

[s, e, n, o, Sc] = findPIS(u, ABCD, nlev=2, options)

计算ΔΣ调制器的凸正不变集
findPIS 需要编译 qhull mex 文件
find2dPIS 限于二阶系统
用于稳定性分析的强大工具

findPattern — 低噪声数据模式

[data, snr] = findPattern(N=1024, OSR=64, ntf, ftest, Atest, f0=0, nlev=2)

创建重复时具有良好频谱特性的数据流
用于测试和测量场景

B.7 实用工具函数

ΔΣ专用工具

mod1/mod2：标准1阶/2阶调制器的ABCD矩阵
calculateSNR：从加窗FFT估计SNR
partitionABCD：分割ABCD矩阵为A/B/C/D子矩阵
infnorm：计算z域传递函数的 $\infty$ -范数
impL1：计算NTF的 $ℓ_{1}$ -范数脉冲响应
pulse：计算CT系统的采样脉冲响应
rmsGain：计算DT传递函数在频带内的RMS增益

通用工具

dbv/dbp/undbv/undbp/dbm/undbm：dB与线性值转换
ds_hann(N)：Hann窗（与MATLAB periodic Hann相同，不产生频谱泄漏）
zinc(f, n, m)：m级sinc滤波器级联的幅度响应

图形工具

plotPZ：绘制零极点图
plotSpectrum：绘制平滑频谱
figureMagic：图形格式化（坐标轴/刻度/标签）
printmif：导出Adobe Illustrator + FrameMaker MIF格式
logsmooth：FFT平滑并转换为dB

B.8 调制器模型

ABCD矩阵定义

环路滤波器由ABCD矩阵描述（单量化器系统为 $(n + 1) \times (n + 2)$ 矩阵）：

ABCD = [A  B; C  D]

状态更新与输出方程：

x[n+1] = A·x[n] + B·[u[n]; v[n]]⁺
y[n]   = C·x[n] + D·[u[n]; v[n]]⁺

量化器特性

偶数级：mid-rise型，输出为奇数整数
奇数级：mid-tread型，输出为偶数整数

支持的拓扑结构

拓扑	说明
CIFB	积分器级联-反馈形式
CIFF	积分器级联-前馈形式
CRFB	谐振器级联-反馈形式
CRFF	谐振器级联-前馈形式
CRFBD	CRFB + 延迟量化器
CRFFD	CRFF + 延迟量化器
Stratos	类CIFF，支持单位圆上NTF零点（Gealow）
DSFB	双采样-反馈形式（Senderowicz）

注意：使用 synthesizeNTF 设计的NTF在CRFB结构中省略 b₂… 系数可获得最大平坦STF。

关键公式

量化器模型 (predictSNR)

二进制量化器建模为信号相关增益 + 白高斯噪声源：

y = k_{0} \cdot v_{信号} + k_{1} \cdot v_{噪声} + e, e \sim N (0, σ_{e}^{2})

CT→DT脉冲响应匹配

Z^{- 1} {H_{D T} (z)} = L^{- 1} {H_{CT} (s) \cdot H_{D A C} (s)}_{t = n T_{s}}

正交实矩阵映射

z = x + j y \to [x y - y x]

参考文献

J. G. Kenney and L. R. Carley, “Design of multibit noise-shaping data converters,” Analog Integrated Circuits Signal Processing Journal, vol. 3, pp. 259-272, 1993.
R. Schreier and B. Zhang, “Delta-sigma modulators employing continuous-time circuitry,” IEEE Trans. Circuits and Systems I, vol. 43, no. 4, pp. 324-332, April 1996.
T. Saramäki, “Design of FIR filters as a tapped cascaded interconnection of identical subfilters,” IEEE Trans. Circuits and Systems, vol. 34, pp. 1011-1029, 1987.
M. T. Hunter, “Design of polynomial-based filters for continuously variable sample rate conversion,” Ph.D. thesis, University of Florida, 2008.
S. H. Ardalan and J. J. Paulos, “Analysis of nonlinear behavior in delta-sigma modulators,” IEEE Trans. Circuits and Systems, vol. 34, pp. 593-603, June 1987.
R. Schreier, M. Goodson and B. Zhang, “An algorithm for computing convex positively invariant sets for delta-sigma modulators,” IEEE Trans. Circuits and Systems I, vol. 44, no. 1, pp. 38-44, January 1997.

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