Pavan《Understanding Delta-Sigma Data Converters》Ch.11 带通与正交ΔΣ调制深度解析

本章内容：阐述如何将 ΔΣ 转换器的噪声整形能力从基带扩展到中频/射频，涵盖带通 (Bandpass) 和正交 (Quadrature) 两种架构。核心内容包括 N-path 频率变换、谐振器电路实现、完整设计实例（65nm CMOS 可编程 ADC）、正交信号理论与多相处理。

衔接：Ch.1 (§1.7) 简介了带通 ΔΣ 的概念。Ch.2-4 建立的低通 NTF 综合与架构选择方法在本章的直接推广。后续：Ch.13 (ΔΣ DAC) 和 Ch.14 (抽取/插值滤波器) 提供完整系统的数字部分。附录：附录 B (ΔΣ 工具箱) 提供带通 NTF 综合的 MATLAB 代码支持，附录 C (LPTV 系统) 提供 N-path 变换的理论基础。

第 11 章目录结构

节号	标题	核心内容
11.1	带通转换的需求 (The Need for Bandpass Conversion)	5种接收机架构对比、频率交织
11.2	系统概述 (System Overview)	BP-ΔΣ 与 Q-ΔΣ 系统框图、OSR 定义
11.3	带通 NTF (Bandpass NTFs)	NTF 设计、MATLAB 综合、零极点优化
11.3.1	N-Path 变换 (N-Path Transformation)	z→-z², z→-z^m, z→e^{jθ}z 三种变换
11.4	BP-ΔΣ 架构 (Architectures for BP-ΔΣ Modulators)	拓扑选择、谐振器实现
11.4.1	拓扑选择 (Topology Choices)	反馈/前馈/混合拓扑、DAC 消除
11.4.2	谐振器实现 (Resonator Implementations)	LDI 环路、SC、Gm-C、有源 RC、LC 谐振器
11.5	带通调制器设计实例 (Bandpass Modulator Example)	65nm CMOS 可编程 ADC
11.5.1	LNA	共栅-共源噪声抵消 LNA
11.5.2	衰减器 (Attenuator)	集成可编程衰减器、噪声分析
11.5.3	放大器 (Amplifiers)	5阶前馈放大器 A1/A3
11.5.4	测量结果 (Measurements)	STF/NSD/SNR/FoM
11.6	正交信号 (Quadrature Signals)	基本原理、正交混频、正交滤波
11.6.1	正交混频 (Quadrature Mixing)	复数下变频、镜像抑制比 IRR
11.6.2	正交滤波器 (Quadrature Filters)	格型结构、失配影响、多相滤波
11.7	正交调制 (Quadrature Modulation)	复 NTF、失配影响、正交 DAC 实现
11.8	多相信号处理 (Polyphase Signal Processing)	三相处理、3LO 消除、三阶失真抵消
11.9	结论 (Conclusions)	BP-ΔΣ 优势总结

核心内容深度解析

11.1 带通转换的需求

五种接收机架构对比（Figure 11.1）：

架构	模拟复杂度	ADC 要求	I/Q 失配	DC/1/f噪声	灵活性
(a) 超外差	高（多级混频/滤波）	低	无	不敏感	低
(b) 直接变频	中（正交混频）	中	有	敏感	中
(c) BP-ADC @ 第一 IF	中	中高	无	不敏感	高
(d) Q-ADC @ 第一 IF	中	中高	部分	不敏感	高
(e) RF BP-ADC	极低	高	无	不敏感	极高

关键洞察：

带通 ADC 兼具超外差（对 DC/1/f 噪声不敏感）和直接变频（结构简单）的优点
RF BP-ADC 省去全部模拟下变频，支持快速跳频
当前（2017）商业产品中心频率上限约 450 MHz [5]，GHz 级产品即将面世

频率交织（Frequency-Interleaving, Figure 11.2）：

类比于时间交织 ADC 的宽带化思路：频率交织 使用多个 BP-ADC 覆盖不同频段
失配影响不同：TI-ADC 失配产生杂散/噪声，FI-ADC 失配仅导致频率响应不平坦
对接收机而言，线性度和无杂散动态范围远优先于传递函数平坦度，因此 FI 更具吸引力

11.2 系统概述

BP-ΔΣ ADC 系统（Figure 11.3）：

IF/RF 输入 → BP-ΔΣ 调制器 → 数字正交混频器 → 抽取滤波器 → 复基带数据
OSR 定义与低通相同： $OSR = f_{s} / (2 f_{B})$ （中心频率 $f_{0}$ 不影响 OSR）
输出数据率为 $f_{B}$ （复数），降采样因子最大为 $2 \times OSR$ （低通为 OSR）

Q-ΔΣ ADC 系统（Figure 11.4）：

正交信号输入 → Q-ΔΣ 调制器 → 数字正交混频 → 抽取滤波 → Nyquist 基带数据
Q-ΔΣ 的量化噪声阻带只需在正频率（或负频率）一侧，效率更高
Nyquist 频带为 $[- f_{s} /2, f_{s} /2]$ ，总信息带宽为 $f_{s}$
OSR 定义不同： $OSR_{Q} = f_{s} / f_{B} = 2 \times OSR_{re a l}$ ，因此 Q-ΔΣ 有显著的 SQNR 优势
输出数据率为 $f_{B}$ ，抽取因子为 OSR

11.3 带通 NTF

NTF 设计要点：

带通 NTF 在通带内有 $n$ 个零点 $⟹$ 负频率侧也有 $n$ 个零点 $⟹$ $2 n$ 阶调制器对应低通 $n$ 阶
Lee 准则（|NTF|∞ < 2 或 < 1.5 条件）同样适用于二进制带通调制器
零点优化同样有效

MATLAB 设计示例（使用 ΔΣ Toolbox）：

% 创建带通 NTF
osr = 32;
f0 = 1/6;
ntf = synthesizeNTF(6, osr, 1, [], f0);
% CRFB 拓扑实现
form = 'CRFB';
[a, g, b, c] = realizeNTF(ntf, form);
% 单输入注入
b(1) = abs(b(1) + b(2)/c(1)*(1 - exp(-2i*pi*f0)));
b(2:end) = 0;
ABCD = stuffABCD(a, g, b, c, form);
% 仿真
M = 16; N = 2^15;
ftest = round((f0 + 0.25/osr)*N)/N;
u = undbv(-1)*M*sin(2*pi*ftest*(0:N-1));
v = simulateDSM(u, ABCD, M);

该示例展示了 6 阶 $f_{0} = f_{s} /6$ 的 BP-ΔΣ，SQNR ≈ 102 dB @ OSR=32（Figure 11.7）。

11.3.1 N-Path 变换

N-path 变换是将低通原型映射为带通的核心技术，包含三种方法：

1. $z \to - z^{2}$ 变换（两路）（Figure 11.9-11.10）：

两路交替极性系统，复合传递函数 $H (z) \to H (- z^{2})$
低通 NTF（ $n$ 个零点在 $z \approx 1$ ） $\to$ 带通 NTF（ $n$ 个零点在 $z = j$ ， $n$ 个在 $z = - j$ ）
$2 n$ 阶带通调制器的稳定性和 SNR 与低通 $n$ 阶完全相同
块级实现：每个延迟 z⁻¹ 替换为两个延迟 + 一个反相（Figure 11.11）

2. $z \to - z^{m}$ 变换（多路）：

推广到 $N$ 路，传递函数 $H (z) \to H (- z^{N})$
零点搬移至 $f_{s} / (2 N)$ 的整数倍

3. $z \to e^{j θ} z$ 变换（旋转）：

将低通 NTF 的零极点按 $e^{j 2 π f_{0} / f_{s}}$ 旋转至任意中心频率
最灵活但电路实现最复杂

N-path 变换在失配整形中的应用（Figure 11.12）：

对失配整形逻辑同样适用，如 MTF $= 1 - z^{- 1}$ （旋转方案，Figure 11.12(a)）
MTF $= 1 - z^{- 2}$ （两路交织，Figure 11.12(b)）

11.4 BP-ΔΣ 架构

11.4.1 拓扑选择

基本拓扑（Figure 11.13）：

反馈拓扑：量化器输出反馈至每个积分器输入端（优点：STF 平坦）
前馈拓扑：每个积分器输出前馈至量化器输入（优点：信号摆幅小）
混合拓扑：两者结合

带通反馈拓扑（Figure 11.14-11.15）：

谐振器可从第一个或第二个积分器输出取信号
- 第二个积分器输出：低通型传递函数 $1/ (s^{2} + ω_{0}^{2})$
- 第一个积分器输出：带通型 传递函数 $s ω_{0} / (s^{2} + ω_{0}^{2})$ （有 DC 零点，低通调制器不可用）

DAC 消除技术（Figure 11.16）：

添加前馈路径可消除一个反馈 DAC，对 NTF 无影响但 STF 改变
可消除除最后一个外所有谐振器段的 DAC，节省近 50%

通用四参数耦合（Figure 11.17）：

谐振器间通过四个增益块 $c_{1} - c_{4}$ 耦合，囊括所有拓扑变体

11.4.2 谐振器实现

谐振器是 BP-ΔΣ 与 LP-ΔΣ 实现的核心差异。谐振器 Q 值不足的退化效应类似于 LP-ΔΣ 中积分器有限 DC 增益的效应：均降低 SQNR 并增加空闲音倾向。SQNR 退化在 $Q < f_{0} / f_{B}$ 时显著，因此高 OSR 需要高 Q。

1. LDI 环路（SC 实现）（Figure 11.18）：

无损离散积分器（LDI）环路，特征方程： $1 - α z^{- 1} + z^{- 2} = 0$ ， $α = cos ω_{0}$
极点 $z = e^{\pm j ω_{0}}$ （ $α < 2$ 时），位于单位圆（ $Q = \infty$ ）
谐振频率： $ω_{0} = cos^{- 1} (α /2) = cos^{- 1} (1 - C_{1} C_{2} / (C_{1} + C_{2})^{2})$
频率灵敏度： $\frac{\partial ω _{0}}{\partial C} \propto \frac{1}{1 - ( α /2 ) ^{2}}$ ，随 $ω_{0}$ 增大而增加。@ $ω_{0} = π /2$ （即 $f_{s} /4$ ），1% 电容变化仅产生 0.6% 的 $ω_{0}$ 变化——电容匹配远优于 1%，精度充足
有限运放增益 $A$ 下 $Q \approx A$ ，易实现 $Q > 100$ （@ $A = 60$ dB）

2. 两路 SC $f_{s} /4$ 谐振器（Figure 11.19-11.20）：

利用 2-path 变换，单运放 即可实现 $f_{s} /4$ 谐振器（Figure 11.19）
中心频率由拓扑决定而非电容比，电容误差不引起中心频率偏移
镜像问题（Figure 11.19 的固有缺陷）：
- 路径失配（特别是 C 和 C’ 电容的失配）导致电路周期时变
- 信号与 $f_{s} /4$ 及其谐波混频， $f_{s} /2$ 混频产生产生镜像——信号关于 $f_{0}$ 的频域反转副本
- $f_{s} /4$ 的大幅度时钟泄漏到信号频带，产生带内音调
改进型（Figure 11.20）：C 和 C’ 仅用于电荷存储，电荷-电压转换由路径无关的 $C_{F}$ 执行 $\to$ 隐藏时变性；且不使用 $f_{s} /4$ 时钟，消除杂散产生机制

3. Gm-C 谐振器（Figure 11.21）：

$ω_{0} = g_{m} / C$ ，片上 $g_{m}$ 和 $C$ 容差 $\sim 30%$ ，必须调谐
自激调谐法：谐振器加少量正反馈变成振荡器 $\to$ 测量振荡频率 $\to$ 调节 $g_{m}$ （偏置电流）或 $C$ （电容阵列）
离线校准：要求 $g_{m}$ 随温度的漂移足够小，否则需连续调谐（缩放副本法）

Q 限制因素与缓解：

限制因素	物理机制	缓解技术
有限输出阻抗	寄生电阻消耗能量	级联（cascode）提升输出阻抗
Gm 非零相移	寄生极点引入相位延迟	宽带 Gm（过设计）、电容串联小电阻补偿

4. 有源 RC 谐振器（Figure 11.22）：

$ω_{0} = 1/ (RC)$ ，RC 容差 $\sim 30%$ ，必须调谐
调谐方法：
- 调节 R：MOS 管连续调节（范围 $\pm 30%$ ）或电阻阵列（6-8 bit 数字控制）
- 调节 C：电容阵列（最实用， $C_{m a x} / C_{m i n} \sim 2$ ）
- 两者结合：粗调 R + 精调 C
共振器变振荡器同样可行且无需副本模块，但仅能离线校准

5. LC 谐振器（Figure 11.23）：

三重优势：电感/电容无噪声（噪声优势不消耗功率）、高度线性、不消耗电压余度 $\to$ 最大化信号摆幅
同时获得噪声、失真和功率三重优势，在电路设计中非常罕见
缺点：
- 片上电感仅几个 nH（>1 GHz 有效）；低于 1 GHz 需外接电感
- 外部电感容差（ $\sim 10%$ ）可通过片上电容阵列调谐补偿
- 中心频率可编程范围有限（电感不可电调，< 1 倍频程）
- 二阶系统需两个自由度控制

LC 谐振器的可控性/可观性问题（Figure 11.24-11.26）：

反馈拓扑需要电流 DAC（并联电容，实用）和电压 DAC（串联电感，低阻电压 DAC 会降低 Q）两类 DAC
前馈拓扑需要感知电容电压（容易）和电感电流（困难，不降 Q 的情况下）
三种解决方案：
1. 前馈路径法（Figure 11.24）：从前端 LC 到后端有源 RC 的第二个积分器添加前馈，创造两个自由度补偿 LC 缺失的两个自由度
2. 多反馈 DAC 时序法（Figure 11.25）：使用不同时序的 DAC 对，如 [0 0.5] + [0.5 1]，恢复缺失自由度
3. 小电容分压反馈（Figure 11.26）：仅连接一小部分电容 $(β - 1) C$ 到电压 DAC， $β \approx 1$ ，电压 DAC 输出阻抗 $R_{o u t}$ 的影响被衰减 $β$ 倍

11.5 完整带通调制器设计实例

本节以一个 65nm CMOS 可编程 ADC [1] 展示完整的带通调制器设计。

系统架构（Figure 11.27-11.28）：

DC-1 GHz 输入、最高 100 MHz 带宽
6 阶 CT 反馈拓扑、16 级量化、[1, 2] 反馈时序
第一个谐振器为 LC，后两个为有源 RC
高度可编程：DAC LSB、Flash ADC LSB、积分电容、跨导均 8-bit 控制
支持 BP 模式（200-1000 MHz）和 LP 模式（DC-200 MHz）
两组外部电感：43 nH (150-220 MHz) / 20 nH (220-380 MHz)

典型 NTF/STF（Figure 11.29）：

70 MHz 带宽、65 dB 量化噪声衰减、带外 NTF 增益 ~10 dB
STF 在 DC 处有零点（LC 谐振器的自然特性），低中心频率时 STF 平坦化较困难
$f_{0} = 1 GHz$ （ $f_{s} /4$ ）时 STF 极宽且平坦，群延迟变化小

11.5.1 LNA（Figure 11.30-11.31）

共栅 (CG) 晶体管提供 50Ω 匹配 + 可编程宽度共源 (CS) 晶体管提供 12 dB 增益范围
噪声抵消原理（6 dB 增益设置）：
- CG 和 CS 跨导均为 $1/ R_{S}$
- CG 管的噪声电流一半流入 $R_{S}$ 至地，经 CS 管取反后与正向路径抵消
- 在 6 dB 增益设置下，CG 噪声表现为共模信号，被后级抑制
- CS 管的噪声不被抵消——与标准噪声抵消电路不同

11.5.2 衰减器（Figure 11.32-11.33）

利用共栅管的虚地特性实现宽带可编程衰减，噪声特性优于传统匹配衰减器
噪声因子推导：
- 导通分压比 $x$ ，从输入到输出的跨导为 $x G /2$
- 源电导 $G$ 的噪声电流密度： $\overline{i_{n}^{2}} /Δ f = 4 k T G_{out}$
- 噪声因子： $F = (4 - 2 x) / x$ （集成式）vs. $F_{matched} = 2/ x^{2}$ （匹配式）
- 12 dB 衰减时：NF = 11.5 dB（集成式）vs. 15 dB（匹配式）
- 将更多信号链集成到 ADC 内可改善 NF-衰减的权衡

11.5.3 放大器（Figure 11.34-11.36）

A1 放大器（第一个有源 RC 谐振器，LP 模式）：
- 5 阶前馈补偿（Figure 11.34），1st-5th 阶路径平滑过渡
- 从 DC 到 250 MHz 保持 60 dB 增益 → GBW = 250 GHz
- 实际单位增益频率 6 GHz（得益于高阶滚降），相位裕度 75°
- 功耗 100 mW（前端和后端各~50 mW）
A3 放大器（第二/三谐振器）：
- 7 阶前馈补偿，DC-1 GHz 保持 40 dB 增益
- GBW ≈ 150 GHz， $f_{u} = 15 GHz$ ，相位裕度 64°
- 1V 核心供电

11.5.4 测量结果（Figure 11.37-11.41, Table 11.1）

参数	值
$f_{0}$ 范围	200-400 MHz（43 nH / 20 nH 两组电感）
$f_{s}$	2-4 GHz
全摆幅	-4 至 +23 dBm
最大带宽	100 MHz
NSD	-157 dBFS/Hz @ 75 MHz BW、12 dB 衰减
电流消耗	110 + 620 + 20 mA (2.5V/1.0V/2.5V)
总功耗	~1 W（含数字滤波器）
工艺	65nm CMOS

关键指标：

STF 变化 < 0.5 dB 跨 100 MHz（Figure 11.37）
NSD 最低 -161 dBFS/Hz（优化设置）
U 形带内 NSD 源自 LC 谐振器通带边缘增益降低
单音 SNR = 72.4 dB @ 75 MHz BW（Figure 11.38），最大杂散 -103.1 dBc
双音 IMD3 < -87 dBc → IIP3 ≈ 31 dBm（Figure 11.39）
瞬时 DR = 80 dB，总 DR = 112 dB（LNA + 衰减器控制，Figure 11.40）
FoM = 159 dB（Figure 11.41，与同期 BP ADC 对比处于先进水平）

11.6 正交信号

正交信号 $X = X_{I} + j X_{Q}$ 是两个实信号的复数组合，频谱不必关于 $f = 0$ 对称。

11.6.1 正交混频（Figure 11.42-11.43）

正交下变频： $u (t) \cdot e^{- j ω_{LO} t} \to$ 复基带信号
输入 $u (t) = A cos ((ω_{LO} + ω_{IF}) t + ϕ)$ ：
- 输出包含 $A /2 \cdot e^{j ω_{IF} t}$ （有用）和 $A /2 \cdot e^{- j (2 ω_{LO} + ω_{IF}) t}$ （可滤除）
镜像抑制比 (IRR)：对于小误差，

- 2% 幅度不平衡 (0.17 dB) 或 0.02 rad (1.1°) 相位误差 → IRR ≈ 40 dB - Figure 11.43 给出了精确的 IRR vs. 幅度/相位误差曲线 #### 11.6.2 正交滤波器（Figure 11.44-11.48） **格型实现**（Figure 11.44）： - $H = H_R + jH_I$ 分解为两个实传递函数 - 输出：$V = (H_R U_I - H_I U_Q) + j(H_R U_Q + H_I U_I)$ - 四个实滤波器构成格型结构 **失配影响**（Figure 11.45, 式 11.11-11.13）： - 通用双输入双输出实线性系统可表示为两个复滤波器：$H$（正常信号）和 $H_{\text{im}}$（共轭信号） - $H_{11} \neq H_{22}$ 和/或 $H_{12} \neq -H_{21}$ 导致镜像传递函数 $H_{\text{im}}$ - 镜像传递函数在正负频率间转移能量 **设计示例**： 1. **正交谐振器**（Figure 11.46）：$H(s) = \omega_0/(s + j\omega_0)$ 仅需两个实积分器 2. **多相滤波器**（Figure 11.47-11.48）： - 四路对称 RC 网络，采用**四分一电路**简化分析 - 传递函数 $H = (G + j\omega C)/(G + sC)$，在 $s = j\omega = jG/C$ 处有零点 - 用于从差分正弦波产生正交 LO 信号 - 级联多个多相滤波器可展宽频率范围 --- ### 11.7 正交调制 **复 NTF**（Figure 11.49-11.51）： - 零极点分布不必关于实轴对称（与实调制器的本质区别） - 零点仅位于正频率通带内，SQNR ≈ 99 dB @ OSR=32（16 级量化） - 通过低通 NTF 零极点乘以 $e^{j2\pi f_0/f_s}$ 旋转得到 **路径失配影响**： - 0.1% 的路径失配（如第一正交谐振器反馈 DAC 满量程失配）足以使 SQNR 降低 > 6 dB - 通带量化噪声比镜像带噪声低 ~65 dB，0.1% 失配即反射足够噪声 - **两种对抗方法**： 1. 在 NTF 中增加镜像零极点：降低失配灵敏度但牺牲量化噪声抑制和稳定输入范围 2. 正交失配整形：仅适用于 DAC 失配 [15] **拓扑结构**（Figure 11.52-11.53）： - 反馈/前馈/混合拓扑均适用于正交调制器 - 复数反馈系数可通过旋转（乘以 $e^{\pm j\theta}$）变为实数，简化 DAC 实现 - 镜像谐振器应**并行**而非级联放置（Figure 11.53），避免衰减带内信号，同时产生镜像带 STF 零点 **正交 DAC 实现**（Figure 11.54-11.55）： - 方法一：两个独立实数 DAC（各元件固定分配给 I 或 Q 通道） - 方法二：**4 路切换** 电流 DAC（元件可贡献给 I 和 Q），信号幅度比方法一高 3 dB **高 Q 正交谐振器**（Figure 11.56）： - 无源正交共振在自然界中不存在（不存在正交 LC 的等效物） - 但有源 RC 实现具有独特优势：使用普通跨导器即可实现高 Q - 分析（式 11.23-11.26）：极点 $s = j\frac{G}{C(1+G/g_m)}$，**始终在虚轴上**（无限 Q），有限 $g_m$ 仅影响极点位置而非 Q --- ### 11.8 多相信号处理 **三相扩展**（Figure 11.57-11.58）： - 正交 = 2 相，扩展到 $N=3$ 相：$z = a + qb + q^2c$，$q = e^{j2\pi/3}$ - **优势 1**：方波混频器中的 **3LO 项消除** - 三相非交叠 LO 的频谱不含镜像和 3LO 分量，射频滤波要求放松 - 基波幅度为总 LO 功率的 $3/\pi$（仅比总功率低 0.4 dB），正交方波混频有 1 dB 损失 - **优势 2**：**三阶失真抵消** - 非线性 $f(x) = 4x^3 - 3x$（三阶 Chebyshev 多项式）作用于三相正弦波 - 失真项：$a_3 = \cos(3\omega t)$, $b_3 = \cos(3\omega t + 3\phi)$, $c_3 = \cos(3\omega t - 3\phi)$ - $z_3 = a_3 + q b_3 + q^2 c_3 = (1+q+q^2)\cos(3\omega t) = 0$（因为 $1+q+q^2=0$） - 三阶失真表现为共模信号，被复信号合成抵消 - **局限性**：差项 ($2\omega_1 \pm \omega_2$) 不抵消，非失真万能解决方案 **六相谐振器**（Figure 11.58）： - 可用于多相差分 BP-ΔΣ 调制器的环路滤波器 - 随着相数增加，面积开销与性能优势的权衡 --- ### 11.9 结论 BP-ΔΣ ADC 的优势总结： 1. **简化超外差接收机实现** 2. **完美的 I/Q 平衡**（单路 BP-ADC 不涉及 I/Q 分离） 3. **对 DC 失调和 1/f 噪声免疫** 4. **偶数阶失真产物落在带外** 5. **有望实现对 RF 信号的直接数字化而无需模拟混频** 关键技术进步：利用物理谐振（如 LC 谐振器）可实现高性能 BP-ADC，支撑频率达数百 MHz 的商用器件。正交 BP-ADC 尚处于研究阶段，尚未商业化。 --- ## 关键公式汇总 | 公式 | 说明 | |------|------| | $\text{OSR} = f_s/(2f_B)$ | BP-ΔΣ 的 OSR 定义（与 LP 相同） | | $\text{OSR}_Q = f_s/f_B$ | Q-ΔΣ 的 OSR 定义（LP 的两倍） | | $H(z) \to H(-z^2)$ | 2-path 变换 | | $H(z) \to H(-z^N)$ | N-path 变换 | | $H(z) \to H(e^{j\theta}z)$ | 旋转变换（任意中心频率） | | $\text{IRR} \approx 6/[10\log_{10}((\Delta A/A)^2 + (\Delta\phi)^2)]$ | 镜像抑制比 | | $H = (G + j\omega C)/(G + sC)$ | 多相滤波器传递函数 | | $s = jG/[C(1+G/g_m)]$ | 正交有源 RC 谐振器极点（无限 Q） | | $z = a + qb + q^2c,\ q = e^{j2\pi/3}$ | 三相复信号表示 | --- ## 参考文献 1. H. Shibata et al., "A DC-to-1 GHz tunable RF ΔΣ ADC achieving DR = 74 dB and BW =150 MHz at f0 = 450 MHz using 550 mW," *IEEE JSSC*, vol. 47, no. 12, pp. 2888–2897, Dec. 2012. 2. J. Harrison et al., "An LC bandpass ADC with 70 dB SNDR over 20MHz bandwidth using CMOS DACs," *ISSCC*, pp. 146–148, Feb. 2012. 3. J. Ryckaert et al., "A 2.4 GHz low-power sixth-order RF bandpass ΔΣ converter in CMOS," *IEEE JSSC*, vol. 44, no. 11, pp. 2873–2880, Nov. 2009. 4. L. Luh et al., "A 4 GHz 4th-order passive LC bandpass Delta-Sigma modulator with IF at 1.4 GHz," *VLSI Symp.*, pp. 168–169, Feb. 2006. 5. AD6676 Wideband IF receiver subsystem datasheet, Analog Devices, Nov. 2014. 6. A. Hairapetian, "An 81 MHz IF receiver in CMOS," *IEEE JSSC*, vol. 31, no. 12, pp. 1981–1986, Dec. 1996. 7. H. Khorramabadi and P. R. Gray, "High-frequency CMOS continuous-time filters," *IEEE JSSC*, vol. 19, pp. 939–948, Dec. 1984. 8. F. Krummenacher and N. Joehl, "A 4-MHz CMOS continuous-time filter with on-chip automatic tuning," *IEEE JSSC*, vol. 23, pp. 750–758, June 1988. 9. J. Van Engelen and R. Van De Plassche, *Bandpass sigma delta modulators*, Kluwer, 1999. 10. O. Shoaei and W. M. Snelgrove, "A multi-feedback design for LC bandpass delta-sigma modulators," *ISCAS*, vol. 1, pp. 171–174, May 1995. 11. F. Bruccoleri et al., "Wide-band CMOS low-noise amplifier exploiting thermal noise canceling," *IEEE JSSC*, vol. 39, pp. 275–282, Feb. 2004. 12. R. Bagheri et al., "An 800-MHz, 6-GHz software-defined wireless receiver in 90-nm CMOS," *IEEE JSSC*, vol. 41, no. 12, pp. 2860–2876, Dec. 2006. 13. B. Razavi, *RF Microelectronics*, Prentice-Hall, 1997. 14. R. Schreier, "Quadrature mismatch-shaping," *ISCAS*, vol. 4, pp. 675–678, May 2002. 15. K. Philips, "A 4.4 mW 76 dB complex ΔΣ ADC for Bluetooth receivers," *ISSCC*, pp. 64–65, Feb. 2003. 16. H. Chae et al., "A 12 mW low power continuous-time bandpass ΔΣ modulator with 58 dB SNDR and 24 MHz bandwidth at 200 MHz IF," *ISSCC*, pp. 148–149, Feb. 2012. 17. C. Y. Lu et al., "A sixth-order 200 MHz IF bandpass Sigma-Delta modulator with over 68 dB SNDR in 10 MHz bandwidth," *IEEE JSSC*, vol. 45, no. 6, pp. 1122–1136, Jun. 2010. --- --- ### 补充细节：正交格型滤波器与多相信号处理 > **G28 正交格型滤波器失配的精确 IRR 公式**（原书 §11.6.2, Fig 11.43）： > - 精确 IRR 表达式：$\text{IRR} = \frac{|H_I + j H_Q|^2 + |H_I - j H_Q|^2}{|H_I + j H_Q|^2 - |H_I - j H_Q|^2}$，其中 $H_I, H_Q$ 为 I/Q 两路的实际传递函数（含失配）。 > - **小误差近似**（$\Delta A/A \ll 1, \Delta\phi \ll 1$）：$\text{IRR} \approx \frac{4}{(\Delta A/A)^2 + (\Delta\phi)^2}$，即 $\text{IRR}_{dB} \approx 6 - 10\log_{10}[ (\Delta A/A)^2 + (\Delta\phi)^2 ]$。 > - **3D 频率依赖**：实际 $\text{IRR}(f)$ 随频率增大而恶化，因为 $H_I, H_Q$ 的群延迟失配随频率线性积累。@ 1% 增益失配 + 1° 相位失配，带内 $\text{IRR}_{min} \approx -35$ dBc，带边恶化至 -28 dBc。 > **G29 多相信号处理的六相谐振器实现**（原书 §11.8, Fig 11.58）： > - **六相谐振器电路结构**：6 个跨导器 $g_m$ 交叉连接，形成 $60^\circ$ 相位间隔的谐振网络。传递函数 $H(s) = g_m / (sC + g_m e^{j\pi/3})$，谐振频率 $\omega_0 = g_m/(C \cdot \tan(\pi/6))$。 > - **3LO 消除机制**：六相处理利用奇次谐波相消特性，$3^{rd}$ LO 谐波在六相求和节点反相对消（$3 \times 60^\circ = 180^\circ$），无需额外滤波。 > - **三阶失真抵消**：跨导器的 $g_{m3}$ 非线性在六相平衡结构中被自然抵消（$\cos^3(\omega t + n\pi/3)$ 的 $n=0\dots5$ 求和为零）。 > **G30 正交 DAC 的路切换与 3dB 信号幅度优势**（原书 §11.7, Fig 11.54-11.55）： > - **两种实现方式**：（a）I/Q 独立 DAC 输出后求和——$V_{out}(t) = V_I(t) + j V_Q(t)$，需两组 DAC；（b）路切换 DAC——单组 DAC 在 I/Q 之间时分复用，$V_{out}[n] = a_I[n] + j a_Q[n]$ 映射到 4 种状态。 > - **3dB 优势**：路切换 DAC 的输出信号幅度为 $|V_{out}| = \sqrt{a_I^2 + a_Q^2}$，最大可达 $\sqrt{2}$ 倍单位元素幅度，较独立 I/Q DAC 的 $\max(|a_I|,|a_Q|)$ 提升 3dB。 > - **映射公式**：$V_{out,I} = (a_I + a_Q) - (b_I + b_Q)$，$V_{out,Q} = (a_I - a_Q) + (b_I - b_Q)$，其中 $a_I,b_I,a_Q,b_Q$ 为 DAC 单元的控制信号。 ## 相关概念页 - [[带通ΔΣ调制器]]（现有概念页，约 168 行——本文件是其深度扩展） - [[ΔΣ调制器性能FoM]] - [[CT-ΔΣ调制]] - [[高阶ΔΣ调制器与NTF]] - [[Pavan ΔΣ 数据转换器 深度解析]]

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第 11 章目录结构

核心内容深度解析

11.1 带通转换的需求

11.2 系统概述

11.3 带通 NTF

11.3.1 N-Path 变换

11.4 BP-ΔΣ 架构

11.4.1 拓扑选择

11.4.2 谐振器实现

11.5 完整带通调制器设计实例

11.5.1 LNA（Figure 11.30-11.31）

11.5.2 衰减器（Figure 11.32-11.33）

11.5.3 放大器（Figure 11.34-11.36）

11.5.4 测量结果（Figure 11.37-11.41, Table 11.1）

11.6 正交信号

11.6.1 正交混频（Figure 11.42-11.43）

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11.3 带通 NTF

11.3.1 N-Path 变换

11.4 BP-ΔΣ 架构

11.4.1 拓扑选择

11.4.2 谐振器实现

11.5 完整带通调制器设计实例

11.5.1 LNA（Figure 11.30-11.31）

11.5.2 衰减器（Figure 11.32-11.33）

11.5.3 放大器（Figure 11.34-11.36）

11.5.4 测量结果（Figure 11.37-11.41, Table 11.1）

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