Margaris《Theory of the Non-linear Analog Phase Locked Loop》深度解析

Nikolaos I. Margaris 所著《Theory of the Non-linear Analog Phase Locked Loop》(Springer, LNCIS 304, 2004) 是首部系统性地建立模拟 PLL 完整非线性理论的专著。全书 283 页，共 14 章 + 10 个附录，以 Lienard 方程描述 VCO 主导动力学，采用 Bogoliubov-Mitropolsky 平均化方法，揭示传统线性 PLL 理论忽略的 VCO 动力学与 PD 纹波的深远影响，首次给出主同步与三次谐波同步的闭合形式表达式。

书籍基本信息

书名: Theory of the Non-linear Analog Phase Locked Loop
作者: Nikolaos I. Margaris（亚里士多德大学电气与计算机工程系）
出版社: Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004
丛书: Lecture Notes in Control and Information Sciences, Vol. 304
ISBN: 3-540-21339-2
页数: XIV + 283 页，134 幅插图
核心方法: 平均化方法（Averaging Method）、Lienard 方程、Van der Pol 平面

与传统 PLL 理论的关键差异

方面	传统线性 PLL 理论	Margaris 非线性理论
VCO 模型	积分器（一阶线性） $ĳ_{v} (t) = \dot{A}_{o} t + k_{v} \int v_{c} o n t (t) d t$	Lienard 方程（二阶非线性） $d^{2} x / d t^{2} + \dot{I} f (x) d x / d t + \dot{A}^{2} x = 0$
纹波处理	忽略	作为参量驱动信号，导致参量共振
同步机制	仅控制作用（DFC）	控制作用（DFC）+ 参量作用（纹波）
锁定范围	仅由开环增益决定	还取决于 VCO 波形参数 h、时间延迟
谐波同步	无法预测	可预测并定量分析三次谐波同步

Ch.1 引言（Introduction, pp.3-11）

1.1 PLL 结构

PLL 基本三要素：鉴相器（PD）、环路滤波器（LPF）、压控振荡器（VCO）。PD 输出包含差频分量（DFC, v_dif）和纹波（ripple, v_rpl）：

v_{p d} (t) = v_{d i f} (t) + v_{r pl} (t) (1.1-3)

DFC 频率等于参考与 VCO 频率之差 $\dot{A}_{r} - \dot{A}_{v}$ ，纹波基频取决于 PD 类型（ $\dot{A}_{r}$ 、 $\dot{A}_{v}$ 或 $\dot{A}_{r} + \dot{A}_{v}$ ）。

1.2 PLL 分类

按实现方式：模拟 PLL（四象限乘法器 + 准谐波/张弛 VCO）、混合 PLL（EXOR/JK-FF/PFD + 张弛 VCO）、数字 PLL。

按类型（type）：type-I 稳态相差是参考频率的函数；type-II 稳态相差恒定且与参考频率无关：

Type of PLL = Integrators count + 1

按阶数（order）：

Order of PLL = Filter order + 1

1.3 传统 PLL 理论的薄弱点

VCO 被简化为积分器（一阶线性），实际 VCO 是至少二阶的非线性参量系统
纹波被完全忽略，但纹波频率恰是参量系统的激励频率，对 PLL 动力学有重要影响
VCO 真实模型为 Liénard 方程：

\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} + f (x) \frac{d x}{d t} + g (x) = 0 (1.3-2)

控制信号 v_cont 同时改变 VCO 频率、幅度和波形形状。

1.4 研究范围与方法论

五大目标：（1）PLL 机制的物理解释；（2）同步稳定性；（3）瞬态形式与持续时间；（4）时间延迟影响；（5）环路元件饱和效应。

平均化方法：将系统方程化为标准形式 $\frac{d x}{d t} = μ F (x, t, μ)$ ， $μ ≪ 1$ 。对应的平均化方程为：

\frac{d x}{d t} = μ A {F (x, t, μ)} = μ \overset{ˉ}{F} (x, μ) (1.4-2)

其中平均化算子 $A {\cdot} = lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (\cdot) d t$ 。

平衡点 $x_{ss}$ 满足 $\overset{ˉ}{F} (x_{ss}, μ) = 0$ 。通过一阶变分方程进行局部稳定性分析：

\frac{d}{d t} (δ x) = Q δ x, Q = \frac{\partial F ˉ}{\partial x}_{x_{ss}} (1.4-5/7)

Ch.2 PLL 元件（PLL Components, pp.13-29）

2.1 PLL 结构

详细框图包含前向路径时延 $D_{1}$ （PD 未建模动力学）和反馈路径时延 $D_{2}$ （VCO 未建模动力学与传播延迟）。

2.2 压控振荡器（VCO）

2.2-1 VCO 表示

VCO 划分为两类：准谐波振荡器（近正弦波）和张弛振荡器（方波）。

Liénard 方程的一般形式：

\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} + f (x) \frac{d x}{d t} + g (x) = 0 (2.2-1)

条件： $f (x)$ 偶函数， $g (x)$ 奇函数， $xg (x) > 0$ ， $f (0) < 0$ 。

对于电子振荡器， $g (x)$ 为线性函数，将 $f (x)$ 量化为 $\dot{I} f (x)$ ：

\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} + \dot{I} f (x) \frac{d x}{d t} + \dot{A}^{2} x (t) = 0 (2.2-2)

$\dot{I} \to 0^{+}$ ：准谐波振荡器； $\dot{I} \to \infty$ ：张弛振荡器。

加控制信号后：

\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} + \dot{I} f (x) \frac{d x}{d t} + [\dot{A}_{o} + k_{v} v_{co n t} (t)]^{2} x (t) = 0 (2.2-5)

其中 $\dot{A} = \dot{A}_{o} + k_{v} v_{co n t} (t)$ ， $\dot{A}_{o}$ 为 VCO 中心频率。

定义小参数 $μ = k_{v} / \dot{A}_{o} ≪ 1$ 。

2.2-2 VCO 方程的变换

引入归一化时间 $ĳ = \dot{A}_{ro} t / N$ 和 Van der Pol 坐标变换：

x (ĳ) = r (ĳ) cos (z (ĳ) + m ĳ), \frac{d x}{d ĳ} = - m r (ĳ) sin (z (ĳ) + m ĳ) (2.2-16/17)

其中 $r (ĳ)$ 为慢变幅度， $z (ĳ)$ 为慢变相位。

2.2-3 平均化 VCO 方程

应用平均化算子后得到 VCO 的通用平均化方程：

\frac{d r}{d ĳ} = \frac{1}{2} m μ r [\frac{h}{ȍ _{N m}} \overset{ˉ}{f} (r, z) + \frac{2}{ȍ _{N m}} A_{ĳ} {v_{co n t} sin 2 (z + m ĳ)}] (2.2-33a)

\frac{d z}{d ĳ} = \frac{1}{2} m μ [Ș_{o} + \frac{2}{ȍ _{N m}} A_{ĳ} {v_{co n t}} + \frac{2}{ȍ _{N m}} A_{ĳ} {v_{co n t} cos 2 (z + m ĳ)}] (2.2-33b)

关键结论：VCO 相位方程不依赖于波形项 $h \overset{ˉ}{f} (r, z)$ ，即 VCO 相位演化不直接取决于其波形。

2.3 鉴相器（PD）

模拟 PLL 中 PD 可表示为四象限模拟乘法器。PD 输出经三角展开后分为 DFC 和纹波：

v_{d i f} (ĳ) = \frac{1}{2} k r (ĳ) cos [z (ĳ) - ș_{r} (ĳ) - ĳ_{d 2} + (m - N) (ĳ - ĳ_{d 1})] (2.3-10)

v_{r pl} (ĳ) = \frac{1}{2} k r (ĳ) cos [z (ĳ) + ș_{r} (ĳ) - ĳ_{d 2} + (m + N) (ĳ - ĳ_{d 1})] (2.3-11)

纹波频率等于参考与 VCO 信号频率之和。

2.4 低通滤波器

2.4-1 相位超前-滞后滤波器

归一化方程：

\frac{d v _{c}}{d ĳ} = - ȗ v_{c} (ĳ) + ȗ v_{p d} (ĳ) (2.4-3)

v_{o} (ĳ) = (1 - ȡ) v_{c} (ĳ) + ȡ v_{p d} (ĳ) (2.4-4)

其中 $ȗ = m \overset{ˇ}{h} 1 + μ Ș_{o}$ ， $\overset{ˇ}{h} = 1/ (T \dot{A}_{o})$ ， $ȡ = T_{n} / T$ 。

2.4-2 PI 控制器

归一化方程：

\frac{d v _{c}}{d ĳ} = - ȗ_{c} v_{c} (ĳ) + b ȗ_{i} v_{p d} (ĳ) (2.4-10)

v_{co n t} (ĳ) = b v_{c} (ĳ) + Ȗ v_{p d} (ĳ) (2.4-11)

其中 $ȗ_{c} = m \overset{ˇ}{h}_{c} 1 + μ Ș_{o}$ ， $ȗ_{i} = m \overset{ˇ}{h}_{i} 1 + μ Ș_{o}$ ， $Ȗ = T_{n} / T_{i}$ 为比例增益。

计入运放饱和后引入开关函数 $U = u (S L - ∣ v_{o} (t) ∣)$ ：

\frac{d v _{c}}{d ĳ} = U [- ȗ_{c} v_{c} (ĳ) + b ȗ_{i} v_{p d} (ĳ)] (2.4-17)

\overset{v}{^}_{co n t} (ĳ) = U v_{o} (ĳ) + \hat{U} \cdot S L \cdot sign (v_{o}) (1 - U) (2.4-18)

2.5 关键结论

VCO 相位不直接依赖波形；方波 VCO 最大化 PD 增益
PD 输出：DFC（有用信息）+ 纹波（无信息，噪声载体）
前向路径时延不影响 PLL 性能，仅纹波携带时延信息
PLL 应按纹波频率分类，而非实现方式

Ch.3 一阶 PLL 引论（Introduction to First Order PLL, pp.33-44）

3.1 一阶环路表示

无 LPF 和限幅器。平均化方程在两种同步区域下推导（详见 Appendix I），模拟 PLL 使用四象限乘法器 PD：

主同步 ( $N = m$ ，通常 $N = m = 1$ )：在 VCO 中心频率邻域
三次谐波同步 ( $N = 3 m$ )：在 VCO 中心频率三次谐波邻域

PLL 不在次谐波处同步，这是 Gardner 已观察到的性质。

主同步的平均化方程：

w = z - ș_{r} - ĳ_{d 2}, Ș = Ș_{o} - \frac{2 ș ˙ _{r}}{μ} (3.1-5/6)

\frac{d r}{d ĳ} = \frac{1}{2} μ r [\frac{h}{ȍ _{m}} \overset{ˉ}{f} (r, z) + \frac{a _{r pl} k}{2 ȍ _{m}} r sin (w + 2 ĳ_{d 2})] (3.1-4a)

\frac{d w}{d ĳ} = \frac{1}{2} μ [Ș + \frac{k}{2 ȍ _{m}} r (2 a_{d i f} cos w + a_{r pl} cos (w + 2 ĳ_{d 2}))] (3.1-4b)

三次谐波同步的平均化方程：

\frac{d r}{d ĳ} = \frac{1}{2} μ r [\frac{h}{ȍ _{3 h}} \overset{ˉ}{f} (r, z) + \frac{a _{d i f} k}{2 ȍ _{3 h}} r sin w] (3.1-8a)

\frac{d w}{d ĳ} = \frac{1}{2} μ [\frac{3}{2} Ș + \frac{a _{d i f} k}{2 ȍ _{3 h}} r cos w] (3.1-8b)

3.2 PLL 机制的物理解释

前向路径时延 $ĳ_{d 1}$ 被平均化过程消除，不影响 PLL 性能
主同步 = 控制作用（DFC 调频使频差归零）+ 参量作用（纹波以二倍频调制 VCO 参数）
反馈路径时延 $ĳ_{d 2}$ 通过纹波传递，影响控制作用但不影响参量作用
三次谐波同步 是纯参量作用（DFC 在三次谐波邻域频率 $\approx 2 \dot{A}_{o}$ ，足够高产生参量作用），且与时间延迟无关
三次谐波同步不可消除——因其由携带有用信息的 DFC 引起，可通过 LPF 抑制

3.3 特定形式表示

选取 $f (x) = - Į + ȕ x^{2}$ （ $Į = 1, ȕ = 4$ ），将 Liénard 方程化为 Van der Pol 方程：

\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} + \dot{I} (4 x^{2} (t) - 1) \frac{d x}{d t} + \dot{A}^{2} x (t) = 0 (3.3-3)

归一化后稳态振荡幅度为 1。代入求得：

\overset{ˉ}{f} (r, z) = - (1 - r^{2}) (3.3-4)

3.4 初步研究

仿真表明平均化方程对精确方程的近似完全令人满意。参数 $h = \dot{I} / (μ \dot{A}_{o}) = \dot{I} / k_{v}$ 决定了 VCO 波形和参量共振强度：

$h$ 小（准谐波 VCO）：强参量共振，稳态幅度 $> 1$
$h$ 大（张弛 VCO）：弱参量共振，幅度 $\approx 1$
失锁（detuning）时表现为相位滑移（ $2 π$ ），DFC 变为差拍波

3.5 结论

各时延可同时存在；前向路径时延不影响性能，反馈路径时延影响显著
模拟 PLL 仅在 VCO 中心频率（主同步）和三次谐波处同步
主同步：DFC 控制作用 + 纹波参量作用
三次谐波同步：纯参量作用，不可消除

Ch.4 一阶 PLL 主同步（Main Synchronization, pp.45-74）

4.1 局部稳定性

平衡点由 $\overset{ˉ}{f} (r, z) = - (1 - r^{2})$ 假设导出。当 $k / h$ 足够小（抑制参量共振）时，方程简化为：

\frac{d r}{d ĳ} = \frac{1}{2} μ \frac{h}{ȍ _{m}} (1 - r^{2}) r, \frac{d w}{d ĳ} = \frac{1}{2} μ [Ș + Ȝ_{m} r cos (w + u)] (4.1-12)

其中 $Ȝ_{m} = (k /2 ȍ_{m}) a_{r pl}^{2} + 4 a_{d i f}^{2} + 4 a_{d i f} a_{r pl} cos 2 ĳ_{d 2}$ 。

稳态幅度 $r_{ss} = 1$ 。局部稳定性条件为：

Ȝ_{m}^{2} - Ș^{2} > 0 (等价于 ∣ Ș / Ȝ_{m} ∣ < 1) (4.1-20)

Jacobian 矩阵分析表明，同步可实现当且仅当平衡点存在——即存在性条件与稳定性条件完全一致。

4.2 保持范围（Hold-in Range）

将 $Ȝ_{m}$ 和 $Ș_{o}$ 代入后，保持范围条件为：

1 - \frac{1}{2} k_{l} Į_{m} < ȍ_{m} < 1 + \frac{1}{2} k_{l} Į_{m} (4.2-4)

其中开环增益 $k_{l} = μ k = k_{v} k a_{r} / \dot{A}_{o}$ ， $Į_{m} = a_{r pl}^{2} + 4 a_{d i f}^{2} + 4 a_{d i f} a_{r pl} cos 2 ĳ_{d 2}$ 。

物理诠释：

无时延（ $ĳ_{d 2} = 0$ ）：总保持范围为 DFC 控制作用与纹波参量作用之和
纹波贡献的保持范围 $1 - \frac{1}{2} k_{l} a_{r pl} < ȍ_{m} < 1 + \frac{1}{2} k_{l} a_{r pl}$ （仅为 DFC 贡献的一半）
时延仅减小 DFC 贡献的保持范围，不影响参量作用部分
最小时延（ $ĳ_{d 2} = 9 0^{\circ}$ ）：保持范围降至参量作用部分 $1 - \frac{1}{2} k_{l} < ȍ_{m} < 1 + \frac{1}{2} k_{l}$
实际保持范围受 PD 输出饱和和 VCO 频率调制极限的限制

4.3 跟踪范围（Tracking Range）

VCO 可跟踪参考相位变化的条件：

\frac{ȍ _{min}^{2} - ȍ _{m}^{2}}{2 ȍ _{m}^{2}} < \frac{ș ˙ _{r}}{A ˙ _{o}} < \frac{ȍ _{ma x}^{2} - ȍ _{m}^{2}}{2 ȍ _{m}^{2}} (4.3-7)

各典型参考信号的跟踪极限：

相位阶跃：始终可跟踪
频率阶跃（pull-out 频率）： $∣ ȍ_{ma x}^{2} - ȍ_{m}^{2} ∣/ (2 ȍ_{m}^{2})$
频率斜波：跟踪极限为频率阶跃的一半
频率调制：调制跟踪极限与频率阶跃一致
仿真验证了跟踪极限的正确性

4.4 全局动力学

当幅度已达稳态（ $r = 1$ ），环路动力学由下式描述：

\frac{d w}{d ĳ} = \frac{1}{2} μ [Ș + Ȝ_{m} cos (w + u)] (4.4-3)

通过变换 $y = tan [(w + u) /2]$ ：

平衡点存在时（ $Ȝ_{m}^{2} - Ș^{2} > 0$ ）：同步过程，过阻尼瞬态
平衡点不存在时（ $Ȝ_{m}^{2} - Ș^{2} < 0$ ）：失锁状态，相差持续增加

锁定时间（lock-in time）：

\overset{ı}{˘}_{l oc k} = \frac{2}{μ Ȝ _{m}^{2} - Ș ^{2}} ln (\frac{2}{99∣ C ∣}) (4.4-24)

时延增加锁定时间；无时延时纹波的存在使捕获更快。

差拍频率（beat-note frequency，失锁时）：

ȍ_{b e a t} = \frac{1}{2} μ Ș^{2} - Ȝ_{m}^{2} (4.4-33)

关键结论：一阶 PLL 始终处于两个纯状态之一——锁定或失锁。保持范围与捕获范围重合。相位阶跃不引起相差变化。频率阶跃响应始终为过阻尼。

Ch.5 一阶 PLL 三次谐波同步（Third Harmonic Synchronization, pp.75-85）

三次谐波同步由 DFC 的纯参量作用引起，与时间延迟无关。传统 PLL 理论无法预测。

5.1 局部稳定性

平衡点条件：

r_{ss} = \frac{k}{4 h ȍ _{3 h}} sin w_{ss} + (\frac{k}{4 h ȍ _{3 h}} sin w_{ss})^{2} + 1 (5.1-5)

r_{ss} = - \frac{Ș}{Ȝ _{3 h} cos w _{ss}} (5.1-6)

其中 $Ȝ_{3 h} = k / (2 ȍ_{3 h})$ 。

局部稳定性条件： $Ȝ_{3 h}^{2} - Ș^{2} > 0$ 。

5.2 保持范围

无时延时保持范围为：

1 - \frac{1}{2} k_{l} a_{d i f} < ȍ_{3 h} < 1 + \frac{1}{2} k_{l} a_{d i f} (5.2-3a)

与主同步无时延且只有控制作用时的保持范围相同。由于 DFC 不携带时延信息，三次谐波同步完全独立于时延。

关键结论：无时延时三次谐波保持范围等于主保持范围；有时延时三次谐波保持范围更大于一阶环路主保持范围——意味着三次谐波错误锁定概率高。

Ch.6 二阶 Type-I PLL 引论（Introduction to Second Order Type-I PLL, pp.89-99）

6.1 低通滤波器的引入

二阶 Type-I PLL 在 PD 输出端插入相位超前-滞后滤波器（超前-滞后滤波器）。纹波是 PLL 非理想行为的主要来源——揭示环路组件的未建模动力学。插入 LPF 的目标：

控制进入 VCO 的纹波幅度，减少参量共振效应
降低噪声影响，提供”记忆”（参考短暂丢失时 VCO 仍能保持行为）
阻止三次谐波同步

但 LPF 也畸变了环路动力学，产生新的效应——主要是关于同步过程的动力学变化。

6.2 锁相过程类型

二阶 Type-I PLL 同步过程分为两个阶段：

快捕获（lock-in）：LPF 时间常数小（ $ζ$ 大）时为主，过阻尼瞬态
慢捕获（pull-in）：LPF 时间常数大（ $ζ$ 小）时，欠阻尼瞬态，经过多次相位滑移

一阶 PLL 的同步与初始条件无关，总是过阻尼。二阶 Type-I 的同步则依赖初始条件，且主要是欠阻尼瞬态，持续时间更长。

6.3 平均化方程

主同步（ $N = 1$ ）与三次谐波同步（ $N = 3$ ）的平均化方程在 Appendix III 中推导。

LPF 归一化参数：

$ζ = 1/ (T \dot{A}_{o})$ — LPF 归一化自然频率
$ρ = T_{n} / T$ （ $0 \leq ρ < 1$ ）— LPF 高频增益（ $ρ = 0$ 为纯滞后滤波器， $ρ = 1$ 退化为无 LPF）

主同步平均化方程包含滤波后的纹波幅度 $A_{r pl}$ 和相位 $ψ_{m}$ ：

A_{r pl}^{2} = ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) A_{2}^{2}, ψ_{m} = tan^{- 1} \frac{( 1 - ρ ) A _{2}}{1 - A _{2}^{2}} + ρ + (1 - ρ) A_{2}

其中 $A_{2} = cos θ_{2} = ζ / ζ^{2} + 4$ 为滤波器电容电压的纹波幅度。

三次谐波同步中 DFC 幅度也经 LPF 衰减： $A_{d i f}^{2} = ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) A_{1}^{2}$ 。

6.4 初步仿真结论

过阻尼（ $ζ$ 大/时间常数小）：行为类一阶环路，快捕获
欠阻尼（ $ζ$ 小/时间常数大）：波峰/超调增大，锁定时间增加
$ρ$ 增大 可补偿 $ζ$ 减小的效应
保持范围（hold-in range）由局部存在平衡点定义
捕获范围（capture range）由全局存在平衡点定义——通常小于保持范围

Ch.7 二阶 Type-I 三次谐波同步（Third Harmonic Synchronization, pp.101-111）

7.1 局部稳定性

三次谐波同步由 DFC 的纯参量作用引起，LPF 显著抑制其表现。

平衡点 $Q (r_{ss}, w_{ss}, v_{css})$ 满足：

r_{ss} = \frac{k A _{d i f}}{2 h ȍ _{3 h}} sin (w_{ss} + ψ_{3 h}) + (\frac{k A _{d i f}}{2 h ȍ _{3 h}} sin (w_{ss} + ψ_{3 h}))^{2} + 1

η + \frac{A _{d i f} k}{2 ȍ _{3 h}} r_{ss} cos (w_{ss} + ψ_{3 h}) = 0

无过量参量共振时 $r_{ss} = 1$ ，局部稳定性条件： $λ_{3 h}^{2} - η^{2} > 0$ 。

7.2 保持范围

LPF 使 $A_{d i f} < 1$ ，对比一阶环路 $a_{d i f} = 1$ 。保持范围条件（ $ρ = 0$ ）：

ζ 较小时： 1 - \frac{1}{2} k_{l} ρ < ȍ_{3 h} < 1 + \frac{1}{2} k_{l} ρ

核心结论： $ζ < 0.2$ 时三次谐波同步被实际阻止（LPF 截止频率 < VCO 中心频率 0.2 倍时 DFC 幅度可忽略）。增大 $ρ$ 可显著加宽保持范围。

7.3 全局稳定性

考虑电容电压初始值 $v_{co}$ ，全局稳定条件：

λ_{3 h}^{2} - η_{p}^{2} > 0, η_{p} = η_{o} + \frac{2 ( 1 - ρ )}{ȍ _{3 h}} v_{co} e^{- ζϕ}

拉入时间（pull-in time）：

Φ_{p u ll} = \frac{1}{ζ} ln [\frac{ȍ _{3 h}}{2 ( 1 - ρ )} \frac{λ _{3 h} \mp η _{o}}{∣ v _{co} ∣}]

同步总建立时间 $Φ_{s} = Φ_{p u ll} + Φ_{3 h l oc k}$ 。

关键结论：

初始条件施加临时平衡点存在条件
环路参数施加永久平衡点存在条件
$η_{o} v_{co} < 0$ （相反符号）加速同步过程
$η_{o} v_{co} > 0$ （同号）延缓同步过程

Ch.8 二阶 Type-I 主同步（Main Synchronization, pp.113-160）

8.1 局部稳定性

平均化方程与一阶环路形式相同，但 $a_{r pl} = 1$ 被替换为 $A_{r pl} \leq 1$ 。

平衡点 $Q (r_{ss}, w_{ss}, v_{css})$ ：

r_{ss} = \frac{k A _{r pl}}{2 h ȍ _{m}} sin (w_{ss} + ψ_{m} + 2 ϕ_{d}) + (\frac{k A _{r pl}}{2 h ȍ _{m}} sin (w_{ss} + ψ_{m} + 2 ϕ_{d}))^{2} + 1

η + λ_{m} cos (w_{ss} + u) = 0

其中 $λ_{m} = (k /2 ȍ_{m}) α_{m} r_{ss}$ ， $α_{m} = 4 + A_{r pl}^{2} + 4 A_{r pl} cos (ψ_{m} + 2 ϕ_{d})$ 。

$k / h$ 足够小（无强参量共振）时： $r_{ss} = 1$ ，平衡点存在条件 $λ_{m}^{2} - η^{2} > 0$ 。

8.2 保持范围

保持范围不仅由开环增益 $k_{l}$ 决定，还受 LPF 参数影响：

1 - \frac{1}{2} k_{l} α_{m} < ȍ_{m} < 1 + \frac{1}{2} k_{l} α_{m}

其中 $α_{m} = 4 + A_{r pl}^{2} + 4 A_{r pl} cos (ψ_{m} + 2 ϕ_{d})$ 。由于 $A_{r pl} < 1$ ，二阶 Type-I 的保持范围小于一阶环路。

纹波幅度衰减效应： $ζ$ 减小（LPF 时间常数增大）→ $A_{r pl}$ 减小 → $α_{m}$ 减小 → 保持范围缩小。

8.3 捕获范围（Capture Range）

由于平衡点存在依赖初始条件，捕获范围 < 保持范围。

捕获条件：电容电压的差拍波幅度必须达到或超过其稳态值。

二阶 Type-I 的捕获范围近似表达式：

∣ Ș_{o} ∣ < \frac{2 ρ}{1 - ρ} \cdot \frac{k _{l}}{2 2} （简化近似）

捕获范围随 $ρ$ 增大而增大，随 $ζ$ 减小而显著减小。

8.4 锁定时间与差拍频率

锁定时间公式（与一阶形式类似，但参数不同）：

Φ_{l oc k} = \frac{2}{μ λ _{m}^{2} - η ^{2}} ln (\frac{2}{99∣ C ∣})

LPF 参数增大锁定时间（相比一阶环路），但增大 $ρ$ 可补偿。

失锁差拍频率：

ȍ_{b e a t} = \frac{1}{2} μ η^{2} - λ_{m}^{2}

8.5 跟踪范围

跟踪极限公式与一阶环路形式相同，但 $λ_{m}$ 和 $ȍ_{m}$ 受 LPF 影响：

\frac{ȍ _{min}^{2} - ȍ _{m}^{2}}{2 ȍ _{m}^{2}} < \frac{ș ˙ _{r}}{A ˙ _{o}} < \frac{ȍ _{ma x}^{2} - ȍ _{m}^{2}}{2 ȍ _{m}^{2}}

8.6 设计准则

LPF 时间常数应尽可能小以保持快速过阻尼响应
高频增益 $ρ$ 应尽可能大（靠近 1）以补偿 $ζ$ 减小效应
但 $ρ$ 增大意味着纹波衰减减弱，需权衡
三次谐波同步可通过 LPF 有效抑制（ $ζ < 0.2$ ）

Ch.9 二阶 Type-II PLL 引论（Introduction to Second Order Type-II PLL, pp.163-172）

9.1 PI 控制器与饱和效应

二阶 Type-II PLL 使用有源 PI 控制器。传统理论认为其捕获范围无限大，但实验否定了这一点。

与常规自动控制系统不同，Type-II PLL 中 PI 控制器的饱和并非由积分器引起，而是由纹波经模拟增益放大引起。

PI 控制器状态方程（计入饱和）：

\frac{d v _{c}}{d ϕ} = U [- ζ_{c} v_{c} (ϕ) + b ζ_{i} v_{p d} (ϕ)]

v_{co n t} (ϕ) = U [b v_{c} (ϕ) + γ v_{p d} (ϕ)] + \hat{U} \cdot S L \cdot sign (v_{o}) (1 - U)

其中 $U$ 为开关函数（ $U = 1$ 未饱和， $U = 0$ 饱和）， $γ = T_{n} / T_{i}$ 为比例增益，SL 为运放饱和限。

9.2 饱和效应分析

仿真揭示的 Type-II PLL 特性：

未饱和区（ $∣ v_{co n t} ∣ < 1$ ）：稳态相差 $w_{ss} = π /2$ 恒定，表现如 type-II 环路
饱和区（ $∣ v_{co n t} ∣ \geq 1$ ）：PI 控制器”死”， $w_{ss}$ 随参考频率变化，环路退化为一阶环路行为
保持范围被饱和分裂为两部分：中央未饱和区 + 外部饱和区
未饱和/饱和界限由模拟增益 $γ$ 决定

9.3 核心结论

保持范围 外极限 由积分项引起的饱和决定（与 $γ$ 无关，设 $γ = 0$ 可得）
传统理论称捕获范围无限大——实际上并非如此
未饱和区：确实表现为 type-II 行为
饱和区：通过纹波的参量作用维持同步
纹波导致 Type-II 环路的性能问题比 Type-I 严重得多

Ch.10 二阶 Type-II 主同步（Main Synchronization, pp.173-198）

10.1 未饱和环路的局部稳定性

PI 控制器典型参数： $b \approx 1$ ， $ζ_{c} \approx 0$ ， $θ_{2} \approx 9 0^{\circ}$ 。

平均化方程简化为：

\frac{d r}{d ϕ} = \frac{1}{2} μ \frac{h}{ȍ _{m}} (1 - r^{2}) r (k / h 足够小)

\frac{d w}{d ϕ} = \frac{1}{2} μ [η + \frac{2}{ȍ _{m}} v_{c} + \frac{γk}{2 ȍ _{m}} r cos w + \frac{γk}{4} r (λ_{m 1} cos w - λ_{m 2} sin w)]

\frac{d v _{c}}{d ϕ} = \frac{1}{2} ζ_{i} k r cos w

其中：

λ_{m 1} = cos 2 ϕ_{d} - \frac{ζ _{i}}{2 γ} sin 2 ϕ_{d}, λ_{m 2} = sin 2 ϕ_{d} + \frac{ζ _{i}}{2 γ} cos 2 ϕ_{d}

平衡点条件： $cos w_{ss} = 0$ ，则 $w_{ss} = (2 l + 1) π /2$ 即 $π /2$ 。

局部稳定性条件：

sin w_{ss} > 0 \Rightarrow w_{ss} = π /2

γ > 0 且 2 + λ_{m 1} > 0

时延约束条件：

ȍ_{m} > 2 + cos 2 ϕ_{d} + \frac{ζ _{i}}{2 γ} sin 2 ϕ_{d} 最坏情况 ϕ_{d} = 6 0^{\circ}

10.2 保持范围

未饱和区保持范围由以下条件定义：

$γ > 0$ 足够大
时延不超过 $6 0^{\circ}$
PI 控制器输出 $∣ v_{co n t} ∣ < S L$ （不饱和）

保持极限依赖于 $γ$ 、 $ζ_{i}$ 和 $ϕ_{d}$ 。

10.3 跟踪范围

锁定时间公式：

Φ_{l oc k} = \frac{2}{μ λ _{m}^{2} - η ^{2}} ln (\frac{2}{99∣ C ∣})

其中 $λ_{m}$ 包含 PI 控制器参数。

核心结论：

未饱和环路确实保持 type-II 特性（ $w_{ss} = π /2$ ）
时延 $ϕ_{d} > 6 0^{\circ}$ 时未饱和区可能消失
增大 $γ$ 改善动力学行为但缩小未饱和保持范围

Ch.11 二阶 Type-II 三次谐波同步（Third Harmonic Synchronization, pp.199-202）

11.1 全局稳定性

平均化方程（未饱和、 $b \approx 1$ 、 $ζ_{c} \approx 0$ ）：

\frac{d r}{d ϕ} = \frac{1}{2} μ \frac{h}{ȍ _{3 h}} (1 - r^{2}) r

\frac{d w}{d ϕ} = \frac{3}{2} μ [η_{p} + λ_{3 h} cos (w - u)]

全局稳定条件 $λ_{3 h}^{2} - η_{p}^{2} > 0$ 给出初始电容电压约束：

\frac{1}{2} (η_{o} + λ_{3 h}) ȍ_{3 h} < v_{co} < \frac{1}{2} (λ_{3 h} - η_{o}) ȍ_{3 h}

11.2 关键结论

三次谐波保持范围远大于主保持范围（图 11.1-2）
这构成了 Type-II 环路的额外劣势——谐波错误锁定概率高
高模拟增益 $γ$ 改善主同步动力学，但同时放大纹波，导致：
- 未饱和保持范围缩小（Ch.10）
- 三次谐波保持范围增大

Ch.12 三阶 Type-II PLL 引论（Introduction to Third Order Type-II PLL, pp.205-211）

12.1 滤波器拓扑对比

三阶 Type-II PLL 在 PI 控制器前增加一级 LPF 以消除纹波。三种滤波器拓扑：

(a) LPF 在 PI 控制器之后（Fig. 12.1-1a）：

不能阻止 PI 控制器的纹波饱和
$γ$ 不能取大值

(b) 二阶滤波器（Fig. 12.1-1b）：

PI 控制器中嵌入低通级
参数 $γ$ 、积分增益、附加极点位置相互关联，不能独立选择

(c) 最优拓扑（Fig. 12.1-2）：

第一级：相位滞后滤波器（衰减纹波）
第二级：PI 控制器
参数完全独立
模拟增益可取大值，动力学行为优于二阶 Type-II
$ζ_{c 1} < 0.2$ 时环路近乎独立于纹波和时延

12.2 平均化方程

三阶环路的平均化方程（Appendix VII）包含两个状态变量 $v_{c 1}$ （LPF 电容电压）和 $v_{c 2}$ （PI 控制器电容电压），以及两个纹波幅度 $A_{21}, A_{22}$ 。

Ch.13 三阶 Type-II 主同步（Main Synchronization, pp.213-229）

13.1 未饱和环路局部稳定性

LPF 参数选择 $ζ_{c 1} < 0.2$ 时参数化简：

λ_{m 1} \approx \frac{1}{4} ζ_{c 1} cos 2 ϕ_{d} - \frac{1}{2} (ζ_{c 1} + \frac{ζ _{i}}{γ}) sin 2 ϕ_{d}

λ_{m 2} \approx \frac{1}{4} ζ_{c 1} sin 2 ϕ_{d} + \frac{1}{2} (ζ_{c 1} + \frac{ζ _{i}}{γ}) cos 2 ϕ_{d}

平衡点： $w_{ss} = π /2$ 。稳定性条件：

γ > 0 且 2 + λ_{m 1} > 0

关键设计条件——连接 LPF 和 PI 控制器参数：

ȍ_{m} > 2 + A_{21} cos 2 ϕ_{d} + \frac{ζ _{i}}{2 γ} sin 2 ϕ_{d}

其中 $A_{21} = ζ_{c 1} / ζ_{c 1}^{2} + 4$ 为 LPF 输出端的纹波幅度。由于 $A_{21} ≪ 1$ （ $ζ_{c 1} < 0.2$ ），时延影响显著削弱。

13.2 保持范围与跟踪范围

保持范围分析显示三阶环路可兼顾：

大模拟增益 $γ$ → 良好动态响应
LPF 衰减纹波 → 避免饱和，保持范围宽

跟踪范围与二阶 Type-II 类似但参数替换。

13.3 设计准则

$ζ_{c 1} < 0.2$ （LPF 截止频率 < VCO 中心频率 0.2 倍）
$γ$ 可取较大值（10 或更高）以获得快速响应
LPF 和 PI 控制器参数独立设计
三阶 Type-II 是工程上最优的模拟 PLL 架构

Ch.14 三阶 Type-II 三次谐波同步（Third Harmonic Synchronization, pp.231-235）

14.1 全局稳定性

全局稳定条件与二阶 Type-II 形式相同，但 $λ_{3 h}$ 被 LPF 大幅衰减。

有效参数：

λ_{3 h} = \frac{γk}{2 ȍ _{3 h}} λ_{h 1}^{2} + λ_{h 2}^{2}

λ_{h 1} \approx \frac{1}{4} ζ_{c 1}^{2}, λ_{h 2} \approx \frac{1}{2} ζ_{c 1} + \frac{ζ _{i}}{2} + \frac{ζ _{i}}{2 γ} (ζ_{c 1} + \frac{ζ _{i}}{γ})

初始条件约束：

\frac{1}{2} (η_{o} + λ_{3 h}) ȍ_{3 h} < V_{co} < \frac{1}{2} (λ_{3 h} - η_{o}) ȍ_{3 h}

其中 $V_{co} = v_{c 2 o} + \frac{ζ _{i}}{ζ _{c 1}} v_{c 1 o}$ 为组合初始电压。

14.2 关键结论

三阶 Type-II 的三次谐波保持范围显著小于二阶 Type-II
这使工程上可以放心最大化模拟增益 $γ$ 而不担心谐波错误锁定
三次谐波保持范围小是优势（对比二阶 Type-II）
LPF 插入减小了三次谐波保持范围，同时提升了环路动态性能

Appendices I-X 概述（Appendices, pp.239-283）

全书含 10 个附录，提供数学推导和补充知识：

Appendix I：一阶 PLL 的平均化方程推导（第 3 章基础）

Appendix II：二阶 Type-I PLL 的平均化方程推导（第 6 章基础）

Appendix III：三阶 Type-II PLL 的平均化方程推导（第 12 章基础）

Appendix IV：纹波幅度与相位计算

Appendix V：Liénard 方程的参数化表达与 Van der Pol 变换细节

Appendix VI：VCO 波形函数 $\overset{ˉ}{f} (r, z)$ 的计算

Appendix VII：全局稳定性边界分析用辅助函数

Appendix VIII：捕获范围边界的近似表达式

Appendix IX：无纹波 PD 设计

Appendix X：参考文献汇编

全书核心框架总结

Margaris 全书的逻辑主线：

Ch.1   → 问题陈述：传统 PLL 理论缺陷
Ch.2   → 工具建立：Liénard VCO + 平均化方法
       ├── 一阶环路（无 LPF）:
       │   ├── Ch.3: 主同步 + 三次谐波同步机制
       │   ├── Ch.4: 主同步（保持/跟踪/锁定时间）
       │   └── Ch.5: 三次谐波同步
       ├── 二阶 Type-I（超前-滞后 LPF）:
       │   ├── Ch.6: LPF 引入 + 锁相/牵引
       │   ├── Ch.7: 三次谐波同步
       │   └── Ch.8: 主同步（保持/捕获/跟踪/设计）
       ├── 二阶 Type-II（PI 控制器）:
       │   ├── Ch.9: PI 饱和效应
       │   ├── Ch.10: 未饱和主同步
       │   └── Ch.11: 三次谐波同步
       └── 三阶 Type-II（LPF + PI）:
           ├── Ch.12: 滤波器拓扑 + 平均化方程
           ├── Ch.13: 主同步（LPF-PI 联合稳定性）
           └── Ch.14: 三次谐波同步

Margaris 的核心贡献：

建立基于 Liénard 方程的 VCO 非线性模型——VCO 是至少二阶的非线性参量系统
揭示纹波作为参量驱动信号的根本作用——不应被忽略
将 PLL 同步划分为控制作用（DFC）和参量作用（纹波）
首次给出主同步与三次谐波同步的闭合形式表达式
揭示保持范围依赖 VCO 波形（ $h$ 参数）和时延，不仅是开环增益
揭示三次谐波同步不可避免——是 DFC 的参量作用的固有结果
揭示 Type-II PLL 的饱和效应导致保持范围分裂为两部分
为三阶 Type-II PLL 提供系统的设计准则（ $ζ_{c 1} < 0.2$ 约束）

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