压缩感知理论

压缩感知（Compressive Sensing, CS）是一种突破 Nyquist 采样定理的新型信号采集理论：当信号在某个变换域具有稀疏性时，可以远低于 Nyquist 率的采样速率进行采集，并通过非线性优化算法精确重建原始信号。由 Donoho、Candès、Romberg、Tao 等在 2006 年前后正式提出。

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核心思想

稀疏表示

• 如果信号 $x\in {\mathbb{R}}^N$ 在某个正交基 $\Psi$（如 DCT、小波）下仅有 $K\ll N$ 个非零系数，则称信号是 K-稀疏 的
• 自然信号（包括神经信号、图像、音频）在适当变换域中通常呈现近似稀疏性

测量过程

$$y=\Phi x=\Phi \Psi s=\Theta s$$

其中：

• $\Phi \in {\mathbb{R}}^{M\times N}$ 为测量矩阵（$M\ll N$）
• $y\in {\mathbb{R}}^M$ 为压缩测量值
• $s$ 为稀疏系数向量
• $\Theta =\Phi \Psi$ 为传感矩阵

约束等距性 (RIP)

测量矩阵 $\Phi$ 需满足：

$$(1-{\delta }_K)\Vert x{\Vert }_2^2\le \Vert \Phi x{\Vert }_2^2\le (1+{\delta }_K)\Vert x{\Vert }_2^2$$

• 随机矩阵（高斯、伯努利）以高概率满足 RIP
• RIP 保证测量过程保持稀疏信号的欧几里得距离

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重建算法

类别	算法	特点
凸优化	BP (Basis Pursuit)	${\ell }_1$ 范数最小化，精度高，计算量大
贪婪迭代	OMP (Orthogonal Matching Pursuit)	逐次选择原子，计算效率高
贪婪迭代	CoSaMP、IHT	处理噪声能力强
贝叶斯	BCS (Bayesian CS)	利用先验统计信息

OMP 算法步骤

1. 初始化残差 $r_0=y$，索引集 ${\Lambda }_0=\varnothing$
2. 找到与残差最相关的原子：${\lambda }_t=\arg {\max }_j|⟨r_{t-1},{\varphi }_j⟩|$
3. 更新索引集：${\Lambda }_t={\Lambda }_{t-1}\cup \{{\lambda }_t\}$
4. 最小二乘更新信号估计：${\hat{x}}_t=\arg \min \Vert y-{\Phi }_{{\Lambda }_t}x{\Vert }_2$
5. 更新残差，迭代直至收敛或达到稀疏度 K

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在生物医学中的应用

神经信号采集

• 皮层脑电（ECoG）和多通道神经信号在时域/频域具备稀疏性
• CS 可实现多通道同时压缩，大幅降低无线传输数据率
• 典型方案：随机调制积分器（RMI）+ 低速率 ADC

压缩域特征提取

• 无需完全重建信号，可直接在压缩域提取统计特征（能量、带通功率等）
• 特征提取 + CS 结合 → 极致功耗效率（如 Shoaran 2016 的亚 µW/通道实现）
• 适用于植入式设备的长期神经监测

其他应用

• MRI 加速成像（压缩感知 MRI）
• 无线体域网（WBAN）低功耗传感器
• 超宽带雷达与生物遥测

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设计权衡

参数	影响
压缩比 $M/N$	越高 → 数据率越低，但重建难度增加
稀疏度 $K$	信号越稀疏 → 所需测量数越少
测量矩阵类型	随机矩阵通用性好，结构化矩阵硬件友好
重建算法选择	OMP 适合实时，BP 适合高精度

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