Kendall Su《Analog Filters, 2nd Ed.》深度解析

Kendall Su 著 · Kluwer Academic Publishers, 2002 (Second Edition) · 约 420 页 · 14 章 · 1 附录 eBook ISBN: 0-306-47953-2 | Print ISBN: 1-4020-7033-0 面向中高级的模拟滤波器基础教材，涵盖无源/有源/开关电容三大滤波器类型

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书籍定位

属性	内容
全称	Analog Filters, Second Edition
作者	Kendall Su
出版	Kluwer Academic Publishers, 2002 (2nd ed.)
章数	14 章 + Appendix A（滤波器函数表）+ Bibliography + Index
定位	模拟滤波器中级教材，从基础理论到工程实践，覆盖无源 LC 滤波器、有源 Op Amp-RC 滤波器、开关电容滤波器和 OTA-C 滤波器
先修知识	基础电路理论、电子学、信号与系统（Laplace 变换）、基础数学
特色	理论与实用并重；大量 MATLAB 设计示例；强调灵敏度分析和滤波器对比；提供完整的归一化滤波器函数表

核心主题一览

章节	主题	核心内容
Ch.1	INTRODUCTION	滤波器基本概念、理想/近似特性、MATLAB 入门、归一化与缩放在电路分析中的应用
Ch.2	THE APPROXIMATION	Butterworth/Chebyshev/Elliptic 三种标准低通逼近特性及其对比
Ch.3	NETWORK FUNCTIONS	从 $
Ch.4	FREQUENCY TRANSFORMATION	低通→高通/带通/带阻的频率变换方法及其对网络/元件的影响
Ch.5	PROPERTIES AND SYNTHESIS OF PASSIVE NETWORKS	正实函数、无损函数、Foster/Cauer 综合法、LC 双端口网络参数
Ch.6	SINGLY-TERMINATED LC LADDERS	单端接 LC 梯形滤波器设计（电流源/电压源驱动）
Ch.7	DOUBLY-TERMINATED LC LADDERS	双端接 LC 梯形滤波器、传输/反射系数、Darlington 综合、等端接设计
Ch.8	SENSITIVITY	灵敏度定义与性质、网络性能灵敏度计算、多参数/统计灵敏度、无源滤波器低灵敏度分析
Ch.9	BASICS OF OP AMP-RC CIRCUITS	无源 vs 有源滤波器对比、运放模型、一阶节、RC-CR 变换、双二次节类型
Ch.10	OP AMP-RC BIQUAD CIRCUITS	Sallen-Key/MFB/双积分器双二次节（KHN/Tow-Thomas/Fleischer-Tow）
Ch.11	HIGH-ORDER OP AMP-RC FILTERS	级联双二次节、状态变量法、低通→带通变换、耦合双二次节
Ch.12	OP AMP-RC SIMULATION OF PASSIVE FILTERS	GIC（通用阻抗转换器）、电感模拟、FDNR、跳蛙仿真
Ch.13	SWITCHED-CAPACITOR FILTERS	开关电容电阻仿真、基本积分器/双二次节、LC 梯形功能仿真
Ch.14	OTA FILTERS	OTA 基本电路、OTA-C 双二次节、元件仿真/功能仿真
App.A	TABLES OF FILTER FUNCTIONS	Butterworth/Chebyshev/Elliptic/Bessel 的归一化极点/零点/系数表

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Ch.1 — INTRODUCTION（引言）

本章描述模拟滤波器的角色与基本概念、理想和近似滤波器特性、MATLAB 作为计算工具、电路分析方法，以及归一化与去归一化的缩放技术。

§1.1 初步说明 (Preliminary Remarks)

模拟滤波器是处理连续时间模拟信号的线性时不变（LTI）子系统。滤波器发展始于 20 世纪初的电话应用，1930-1940 年代滤波器理论走向成熟。1940 年代末有源滤波器开始兴起，最初由低频应用中电感器过于昂贵/笨重所驱动。

关键定义：模拟滤波器输入输出关系用网络函数 $H(s)$ 在复频域表示：

$$H(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}\text{或}H(s)=\frac{I_o(s)}{I_i(s)}$$

§1.2 模拟滤波器 (The Analog Filter)

频率域特性由幅度函数 $|H(j\omega )|$ 和相位函数 $\varphi (\omega )$ 共同描述：

• 幅度函数常用 dB 表示：$|H(j\omega ){|}_{dB}=20{\log }_{10}|H(j\omega )|$
• 相位函数：$\varphi (\omega )=\arg [H(j\omega )]$（输出超前输入的相位）
• 群延迟：$\tau (\omega )=-\frac{d\varphi (\omega )}{d\omega }$

幅度和相位通常分开处理，因为同时实现两者过于困难。若两者都重要，通常先实现幅度函数，再用延迟均衡器（allpass 滤波器）改善延迟特性。

§1.3 理想与近似滤波器特性 (Ideal and Approximate Filter Characteristics)

五种理想滤波器幅度特性：低通(LP)、高通(HP)、带通(BP)、带阻(BR) 和 全通(AP)。前四种用于频率选择，全通主要用于相位线性化/延迟均衡。

实际滤波器频率轴分为三段：

• 通带 (Pass Band)：增益较高，允许一定变化（通带波纹 $A_{max}$）
• 阻带 (Stop Band)：增益很低，信号被抑制（阻带衰减 $A_{min}$）
• 过渡带 (Transition Band)：通带与阻带之间的区域

过渡带比：${\Omega }_s/{\Omega }_p$（低通）

滤波器理想特性间的折衷：

1. 小通带波纹
2. 大阻带衰减
3. 低过渡带比
4. 简单滤波器网络（与阶数直接相关）

§1.4 MATLAB

本书使用 MATLAB 作为标准计算工具，需要 Signal Processing、Control System 和 Symbolic Math Toolboxes。核心命令涵盖多项式卷积(conv)、求根(roots)、符号运算(syms/solve)、频响绘制(bode/plot)等。

§1.5 电路分析 (Circuit Analysis)

两种高效的滤波器电路分析方法：

1. 节点分析 (Node Analysis)：建立节点方程后用 MATLAB 的 solve 命令求解
2. 梯形网络分析 (Ladder Analysis)：从负载端开始，逐步向后递推

例 1.1：梯形网络的转移函数推导，展示了节点分析与梯形分析的等效性。 例 1.2：含理想电压放大器的电路转移函数推导。

§1.6 归一化与去归一化——缩放 (Normalization and Denormalization - Scaling)

频率缩放 (Frequency Scaling)：将所有电感和电容除以频率缩放因子 $k_f$，使原 $\omega$ 处的特性移动到 $k_f\omega$ 处。

阻抗缩放 (Impedance Scaling)：

• 电阻/电感乘以 $k_i$（阻抗缩放因子）
• 电容除以 $k_i$
• 电压比/电流比（无量纲网络函数）不受影响

归一化 (Normalization)：将通带边界归一化为 1 rad/s，阻抗归一化为 1 $\Omega$，设计完成后再去归一化（频率缩放 + 阻抗缩放）满足具体应用需求。

例 1.3：低通滤波器的 MATLAB 频率缩放分析（含幅度特性绘图）。 例 1.4：阻抗缩放的示例演示。

§1.7 滤波器设计步骤 (Steps Involved in the Design of Filters)

1. 规格 (Specification)：确定通带/阻带/过渡带参数
2. 逼近 (Approximation)：寻找满足规格的 $|H(j\omega ){|}^2$
3. 网络函数确定 (Network Function)：获取 $H(s)$
4. 实现/综合 (Realization/Synthesis)：找到可实现该网络函数的电路
5. 去归一化 (Denormalization)：应用频率和阻抗缩放

完整流程见 Fig. 1.20 的框图。

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Ch.2 — THE APPROXIMATION（逼近）

滤波设计的核心第一步：寻找满足规格的幅度特性。本章介绍 Butterworth、Chebyshev 和 Elliptic 三种标准低通逼近特性。

§2.1 Butterworth 低通特性 (Butterworth Lowpass Characteristic)

归一化 Butterworth 特性：

$$|H(j\omega ){|}^2=\frac{1}{1+{\omega }^{2n}}$$

其中 $n$ 为正整数（滤波器阶数）。

关键性质：

• 对于任意 $n$，$|H(j1){|}^2=1/2$（-3 dB 点，半功率点）
• $\omega =0$ 处的 $2n-1$ 阶导数为零 → 最大平坦 (maximally flat) 特性
• $\omega \gg 1$ 时：$|H(j\omega )|\approx 1/{\omega }^n$ → 衰减率 = $20n$ dB/decade
• 阶数越高，通带内越平坦，阻带衰减越快

设计实例（例 2.1）：给定规格求最小的 $n$：

$$A_{max}=0.5\text{ dB},{\Omega }_p=1,A_{min}=20\text{ dB},{\Omega }_s=1.5$$

求解得 $n\ge 6.54\to n=7$。

设计方程：

• 由 $A_{max}$ 确定：$ϵ=\sqrt{10^{A_{max}/10}-1}$
• 由 $A_{min}$ 和 ${\Omega }_s$ 确定：$n\ge \frac{\log (10^{A_{min}/10}-1)}{2\log {\Omega }_s}$
• 实际重构 $|H(j\omega ){|}^2=1/(1+{ϵ}^2{\omega }^{2n})$，再将 ${\Omega }_p$ 缩放到 1 rad/s

§2.2 Chebyshev 低通特性 (Chebyshev Lowpass Characteristic)

利用 Chebyshev 多项式产生通带等波纹 (equal-ripple) 特性，阻带衰减比 Butterworth 更快。

Chebyshev 多项式（第一类）：

$$C_n(\omega )=\cos (n{\cos }^{-1}\omega ),|\omega |\le 1$$ $$C_n(\omega )=\cosh (n{\cosh }^{-1}\omega ),\omega >1$$

递推公式：$C_{n+1}(\omega )=2\omega C_n(\omega )-C_{n-1}(\omega )$

常见 Chebyshev 多项式：

• $C_0(\omega )=1$
• $C_1(\omega )=\omega$
• $C_2(\omega )=2{\omega }^2-1$
• $C_3(\omega )=4{\omega }^3-3\omega$
• $C_4(\omega )=8{\omega }^4-8{\omega }^2+1$
• $C_5(\omega )=16{\omega }^5-20{\omega }^3+5\omega$

归一化 Chebyshev 低通特性：

$$|H(j\omega ){|}^2=\frac{1}{1+{ϵ}^2{C}_n^2(\omega )}$$

特性：

• $|\omega |\le 1$：在 $1$ 和 $1/(1+{ϵ}^2)$ 之间等波纹变化
• $\omega \gg 1$：$|H(j\omega )|\approx 1/(ϵ2^{n-1}{\omega }^n)$
• 阻带衰减率与 Butterworth 相同（$20n$ dB/decade），但系数更优

例 2.2：相同规格下 Chebyshev 只需 $n=4$（Butterworth 需要 $n=7$）。 例 2.3：已知 $ϵ=0.5088(A_{max}=1\text{dB})$ 和 $n=3$，计算 $\omega =1.1$ 和 $\omega =2$ 处的衰减。

§2.3 其他 Chebyshev 相关特性 (Other Chebyshev-Related Characteristics)

• Chebyshev 高通特性：$\omega \to 1/\omega$ 变换
• 互补 Chebyshev：$1-|H(j\omega ){|}^2$ 得到阻带等波纹特性
• 逆 Chebyshev (Inverse Chebyshev)：通带最大平坦、阻带等波纹

§2.4 椭圆函数滤波器特性 (Elliptic-Function Filter Characteristic)

Cauer 滤波器/椭圆函数滤波器：通带和阻带均等波纹，对给定阶数 $n$ 具有最小的过渡带比。

利用 Chebyshev 有理函数构造 $|H(j\omega ){|}^2$：

$$F(\omega )=\prod _{i=1}^m\frac{{\Omega }_i^2-{\omega }^2}{{\Omega }_i^{\prime 2}-{\omega }^2}$$

其中 ${\Omega }_i$ 和 ${\Omega }_i^{\prime }$ 互为倒数。

最优特性：当通带和阻带的波纹均匀化后，获得最小过渡带比。需要用到 Jacobian 椭圆函数进行设计。

§2.5 标准低通特性比较 (Comparison of Standard Lowpass Characteristics)

特性	通带	阻带	过渡带	相位的代价
Butterworth	最大平坦	单调衰减	最宽	相位较好
Chebyshev	等波纹	单调衰减	中等	相位较差
Elliptic	等波纹	等波纹	最窄	相位最差

例 2.4：$n=6,A_{max}=0.1\text{dB},A_{min}=40\text{dB}$，三种特性的过渡带比：

• Butterworth：${\Omega }_s=1.55$
• Chebyshev：${\Omega }_s=1.31$
• Elliptic：${\Omega }_s=1.18$

例 2.5：$n=5,{\Omega }_s=1.4,A_{max}=0.2\text{dB}$，三种特性的 $A_{min}$：

• Butterworth：$A_{min}=18\text{dB}$
• Chebyshev：$A_{min}=25.6\text{dB}$
• Elliptic：$A_{min}=46.7\text{dB}$

结论：幅度特性改善越大，相位函数（延迟函数）越差。没有免费的午餐。

§2.6 小结

本章介绍了 Butterworth（最大平坦）、Chebyshev（通带等波纹）和 Elliptic（双等波纹）三种标准低通特性，以及它们的变体（逆 Chebyshev 等）。给出了定量比较和选择指南。

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Ch.3 — NETWORK FUNCTIONS（网络函数）

从幅度特性 $|H(j\omega ){|}^2$ 构建可实现的网络函数 $H(s)$，包括 Butterworth/Chebyshev/Elliptic/Bessel-Thomson 四种标准滤波器的网络函数以及延迟均衡。

§3.1 通用步骤 (General Procedure)

给定 $|H(j\omega ){|}^2$，令 $s=j\omega$：

$$H(s)H(-s)=|H(j\omega ){|}^2{|}_{{\omega }^2=-s^2}$$

分解 $H(s)H(-s)$ 的零点对称于 $j\omega$ 轴：

• 类型 (a)：实轴零点，成对出现在正负实轴上
• 类型 (b)：复零点，四象限对称（quadrantal symmetry）
• 类型 (c)：$j\omega$ 轴零点，必须是偶数重

将左半平面零点分配给 $H(s)$，右半平面零点分配给 $H(-s)$ → 获得稳定的 $H(s)$。

最小相位函数 (Minimum-Phase Function)：仅包含左半平面零点的 $H(s)$，在相同幅度下相位最低。包含右半平面零点的称为非最小相位函数。

Hurwitz 多项式：所有零点在开左半平面的多项式。$H(s)$ 的分母必须是 Hurwitz 多项式。

例 3.1：从 $|H(j\omega ){|}^2=\frac{64(4+{\omega }^2{)}^2}{(1+{\omega }^2)(9+{\omega }^2)(25+{\omega }^2)}$ 构建 $H(s)$。

§3.2 Butterworth 滤波器的网络函数 (Network Functions for Butterworth Filters)

归一化 Butterworth 低通滤波器：

$$H(s)H(-s)=\frac{1}{1+(-s^2{)}^n}=\frac{1}{1+(-1{)}^n{s}^{2n}}$$

极点位置由 $1+(-1{)}^n{s}^{2n}=0$ 确定：

$$s_k=e^{j\frac{(2k+n-1)\pi }{2n}},k=1,2,\dots ,2n$$

关键性质：

• 极点均匀分布在单位圆上，间隔 $\pi /n$
• $n$ 为奇数时两个极点在实轴上；$n$ 为偶数时无极点在实轴上
• Butterworth 多项式的常数项恒为 1，系数对称

例 3.3/3.4：四阶和五阶 Butterworth 多项式：

• $n=4$：$s^4+2.6131s^3+3.4142s^2+2.6131s+1$
• $n=5$：$s^5+3.2361s^4+5.2361s^3+5.2361s^2+3.2361s+1$

MATLAB 命令：[z,p,k] = buttap(n)

§3.3 Chebyshev 滤波器的网络函数 (Network Functions for Chebyshev Filters)

$$|H(j\omega ){|}^2=\frac{1}{1+{ϵ}^2{C}_n^2(\omega )}$$

极点位置：

$${\sigma }_k=-\sinh (\varphi )\sin \left(\frac{(2k-1)\pi }{2n}\right)$$ $${\Omega }_k=\cosh (\varphi )\cos \left(\frac{(2k-1)\pi }{2n}\right)$$

其中 $\varphi =\frac{1}{n}{\sinh }^{-1}(1/ϵ)$

关键性质：

• 所有极点位于椭圆上，长半轴 $=\cosh \varphi$（虚轴），短半轴 $=\sinh \varphi$（实轴）
• 椭圆由 $ϵ$ 和 $n$ 决定

例 3.5：$n=4,A_{max}=0.75$ dB → $ϵ=0.426$，求得 $H(s)=\frac{0.2879}{s^4+1.0533s^3+1.5547s^2+0.8520s+0.3139}$

MATLAB 命令：[z,p,k] = cheb1ap(n,Rp)

§3.4 椭圆函数滤波器的网络函数 (Network Functions for Elliptic-Function Filters)

利用保角变换 (conformal transformation) 将 $s$ 平面映射到 $t$ 平面的矩形区域：

$$t={\text{sn}}^{-1}(s,k)$$

其中 sn 是 Jacobian 椭圆正弦函数，$k$ 是模数，K 是完全椭圆积分。

• 通带 $|\omega |\le 1$ 映射到矩形的一条边
• 阻带 $\omega \ge 1/k$ 映射到矩形的对边
• 极点和零点在 $t$ 平面规则排列 → 在 $s$ 平面上自动产生双等波纹特性

模数 $k$ 直接决定过渡带比 ${\Omega }_s=1/k$。

实际使用中依赖预计算表或 MATLAB： MATLAB 命令：[z,p,k] = ellipap(n,Rp,Rs)

例 3.6：$n=5,R_p=1\text{ dB},R_s=30\text{ dB}$ 的椭圆函数。

§3.5 Bessel-Thomson 滤波器函数 (Bessel-Thomson Filter Functions)

以群延迟最大平坦为目标开发的滤波器函数。使用 Storch 方法通过截断 $\tanh (s)$ 的连分式展开获得分母多项式。

$$H(s)=\frac{a_0}{B_n(s)}$$

其中 $B_n(s)$ 是 Bessel 多项式：

$$B_n(s)=\sum _{k=0}^n\frac{(2n-k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!}{s}^k$$

Bessel 滤波器的幅度特性远差于 Butterworth/Chebyshev/Elliptic，因为其设计目标仅为恒定延迟。

§3.6 延迟均衡 (Delay Equalization)

当幅度函数伴随的延迟特性不满足要求时，引入全通网络作为延迟均衡器。

一阶全通：$H(s)=\frac{1-s/{\sigma }_0}{1+s/{\sigma }_0}$，延迟 $\tau (\omega )=\frac{2/{\sigma }_0}{1+(\omega /{\sigma }_0{)}^2}$

二阶全通：

$$H(s)=\frac{s^2-({\omega }_0/Q)s+{\omega }_0^2}{s^2+({\omega }_0/Q)s+{\omega }_0^2}=\frac{s^2-2\zeta {\omega }_{0}s+{\omega }_0^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{0}s+{\omega }_0^2}$$

参数 $Q$（或 $\zeta$）控制延迟曲线形状：$Q$ 低时延迟单调下降，$Q$ 高时有峰值。

例：三阶 Butterworth 滤波器 + 一阶全通 $({\sigma }_0=1.65)$ 实现平坦延迟。

§3.7 小结

本章阐述了从 $|H(j\omega ){|}^2$ 构建 $H(s)$ 的通用方法，给出了 Butterworth（单位圆极点）、Chebyshev（椭圆极点）、Elliptic（保角变换）和 Bessel-Thomson（最大平坦延迟）四种标准滤波器的网络函数闭式解。强调了幅度改善总是以延迟恶化为代价。

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Ch.4 — FREQUENCY TRANSFORMATION（频率变换）

将归一化低通原型转换为高通、带通和带阻滤波器的方法。

§4.1 低通→高通变换 (Lowpass-to-Highpass Transformation)

$$s\to \frac{{\Omega }_p}{S}\text{或}S=\frac{{\Omega }_p}{s}$$

其中 ${\Omega }_p$ 是高通滤波器的通带边界频率。

效果：

• $s=0\to S=\infty$，$s=\infty \to S=0$
• 低通电感 $L$ → 高通电容 $1/({\Omega }_{p}L)$
• 低通电容 $C$ → 高通电感 $1/({\Omega }_{p}C)$

例 4.1：四阶 Butterworth 高通，$f_p=10\text{ kHz}$。

MATLAB 命令：[numt,dent] = lp2hp(num,den,Wo)

§4.2 低通→带通变换 (Lowpass-to-Bandpass Transformation)

$$s\to \frac{S^2+{\omega }_0^2}{BS}$$

其中 $B={\omega }_{p2}-{\omega }_{p1}$ 是带宽，${\omega }_0=\sqrt{{\omega }_{p1}{\omega }_{p2}}$ 是中心频率。

关键关系：

• ${\omega }_0^2={\omega }_{p1}{\omega }_{p2}$（几何对称）
• 品质因数：$Q={\omega }_0/B$
• 低通原型中每个极点 → 带通中的两个极点（通过 $S^2-BSs+{\omega }_0^2=0$ 确定）

元件替换（表 4.1）：

• 低通电感 $L$ → $L$ 与 $1/({\omega }_0^{2}L)$ 的串联
• 低通电容 $C$ → $C$ 与 $1/({\omega }_0^{2}C)$ 的并联

例 4.2：四阶 Chebyshev 低通 $(ϵ=0.275628,{\Omega }_p=1)$ → 带通 $({\omega }_0=400,B=150)$。

MATLAB 命令：[numt,dent] = lp2bp(num,den,Wo,Bw)

§4.3 低通→带阻变换 (Lowpass-to-Bandreject Transformation)

$$s\to \frac{BS}{S^2+{\omega }_0^2}$$

其中 ${\omega }_0=\sqrt{{\omega }_{s1}{\omega }_{s2}}$，$B={\omega }_{s2}-{\omega }_{s1}$。

元件替换：

• 低通电感 $L$ → $1/({\omega }_0^{2}L)$ 与 $L$ 的并联
• 低通电容 $C$ → $1/({\omega }_0^{2}C)$ 与 $C$ 的串联

MATLAB 命令：[numt,dent] = lp2bs(num,den,Wo,Bw)

§4.4 小结

三种频率变换汇总（表 4.1），以及对应的元件替换规则。频率变换方法适用于大多数日常应用，但某些特殊场合（如信道分离带通滤波器）需要专用设计技术。

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Ch.5 — PROPERTIES AND SYNTHESIS OF PASSIVE NETWORKS（无源网络特性与综合）

无源滤波器综合的理论基础：正实函数、无损函数、Foster/Cauer 综合法、LC 双端口网络。

§5.1 无源一端口驱动点函数——正实函数 (The Positive Real Function)

$F(s)$ 是正实函数 (Positive Real, PR) 当且仅当：

1. $F(s)$ 在 $s$ 为实数时取实数值
2. $\text{Re}[F(s)]\ge 0$ 当 $\text{Re}[s]\ge 0$

必要性质：

• PR 函数的倒数仍是 PR 函数
• 无右半平面极点和零点
• $j\omega$ 轴上的极点必须是简单极点且留数为正实数

§5.2 无损一端口驱动点函数——无损函数 (The Lossless Function)

无损网络（仅含电抗元件）的驱动点函数是 PR 函数的极限情况：$\text{Re}[F(j\omega )]=0$

无损函数性质：

1. 分子和分母一偶一奇
2. 所有极点和零点在 $j\omega$ 轴上，简单且交替排列
3. 在 $\omega =0$ 和 $\omega =\infty$ 处必有极点或零点
4. $F(s)$ 和 $1/F(s)$ 都是无损函数
5. $F(s)+F(-s)=0$
6. $N(s)+D(s)$ 是 Hurwitz 多项式

四种类型：取决于原点和无穷远处是极点还是零点（表 5.1，图 5.1）。

§5.2.2 Foster 展开 (Foster’s Expansion)

将无损函数展开为部分分式：

$$Z(s)=\frac{K_0}{s}+K_{\infty }s+\sum _i\frac{2K_{i}s}{s^2+{\omega }_i^2}$$

• $\frac{K_0}{s}$ → 串联电容（阻抗）或并联电感（导纳）
• $K_{\infty }s$ → 串联电感或并联电容
• $\frac{2K_{i}s}{s^2+{\omega }_i^2}$ → LC 并联（阻抗）或 LC 串联（导纳）

Foster I（阻抗展开）：串联→并联→… Foster II（导纳展开）：并联→串联→…

§5.2.3 Cauer 展开 (Cauer’s Expansion)

通过连分式展开实现梯形网络：

• Cauer I：在 $s=\infty$ 处展开 → 串联电感先、并联电容后（LPF 形式）
• Cauer II：在 $s=0$ 处展开 → 串联电容先、并联电感后（HPF 形式）

Cauer 展开实现通常比 Foster 更实用，因为梯形网络在滤波器中最常用。

§5.3 无损双端口网络 (Lossless Twoports)

阻抗参数 $[z]$：$V_1=z_{11}{I}_1+z_{12}{I}_2$, $V_2=z_{21}{I}_1+z_{22}{I}_2$

导纳参数 $[y]$：$I_1=y_{11}{V}_1+y_{12}{V}_2$, $I_2=y_{21}{V}_1+y_{22}{V}_2$

传输参数 $[ABCD]$：$V_1=A{V}_2+B{I}_2$, $I_1=C{V}_2+D{I}_2$

LC 双端口对称性：

• $z_{11}$ 和 $z_{22}$ 是无损函数（奇/偶多项式比）
• $z_{12}$ 和 $z_{21}$ 是偶/奇多项式比（互易：$z_{12}=z_{21}$）
• $y_{11}$、$y_{22}$ 是无损函数
• $AD-BC=1$（互易无损网络）

§5.4 小结

本章建立了无源滤波器综合的数学基础：正实函数确保无源性，无损函数是 LC 网络的驱动点函数，Foster/Cauer 展开提供了系统化的综合方法，LC 双端口参数为梯形滤波器实现奠定了基础。

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Ch.6 — SINGLY-TERMINATED LC LADDERS（单端接 LC 梯形滤波器）

在一端为理想源（电压/电流源）、另一端为纯电阻负载的配置下实现 LC 梯形滤波器。

§6.1 电流源驱动的 LC 梯形 (LC Ladder with a Current Source)

利用 LC 双端口的阻抗参数：

$$V_2=\frac{z_{21}{z}_{22}}{z_{22}+R_L}{I}_1$$

传输零点：$z_{21}$ 的零点 + $z_{22}$ 的私有极点。

由于 LC 双端口的 $z_{21}$ 为偶/奇多项式之比，$z_{22}$ 为无损函数，传输函数可写为：

$$\frac{V_2}{I_1}=\frac{N(s)}{D(s)}$$

其中 $N(s)$ 是偶多项式（当 $z_{21}$ 分子为偶）或奇多项式（当 $z_{21}$ 分子为奇）。

§6.1.1 传输零点在原点和无穷远处

当滤波器仅有原点和无无穷远处的传输零点时，直接用 Cauer 展开实现。

例 6.1：实现三阶 Butterworth 低通滤波器（电流源驱动）。

• 传输阻抗 $Z_T=\frac{1}{s^3+2s^2+2s+1}$
• 通过 Cauer I 展开获得梯形网络

例 6.2：实现高通 Butterworth 滤波器。

• 使用 Cauer II 展开

§6.1.2 有限频率处的传输零点

当需要有限频率传输零点（如椭圆函数滤波器）时，需要用 Brun 循环或其他方法去除 $j\omega$ 轴上的传输零点。

§6.2 电压源驱动的 LC 梯形 (LC Ladder with a Voltage Source)

类似电流源情况，但使用导纳参数：

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{y_{21}}{y_{22}+Y_L}$$

§6.3 小结

单端接 LC 梯形滤波器是最简单的滤波器实现形式。给定传输函数后，通过 Cauer 展开或 Brun 循环等方法可以系统化地综合出梯形网络。

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Ch.7 — DOUBLY-TERMINATED LC LADDERS（双端接 LC 梯形滤波器）

滤波器两端均接有有限阻抗时的设计与实现方法。传输系数 $T(j\omega )$、反射系数 $\rho (j\omega )$、Darlington 综合、等端接与不等端接设计。

§7.1 基本推导 (Basic Formulation)

双端接 LC 梯形滤波器的一般结构如图 7.1 所示。左侧为戴维南等效源（$V_s$ 与 $R_s$），右侧为负载 $R_L$，中间为无损双端口（LC 梯形网络）。

传输系数 (Transmission Coefficient)：

$$|T(j\omega ){|}^2=\frac{P_L}{P_{avail}}=\frac{\text{负载实得功率}}{\text{源最大可用功率}}$$

源最大可用功率 $P_{avail}=\frac{|V_s{|}^2}{8R_s}$，负载实得功率 $P_L=\frac{|V_2{|}^2}{R_L}$。

反射系数 (Reflection Coefficient) $\rho (j\omega )$ 定义为：

$$|\rho (j\omega ){|}^2=1-|T(j\omega ){|}^2\text{（无损双端口）}$$

$\rho$ 与输入阻抗 $Z_{in}$ 的关系（$R_s=1\Omega$ 归一化后）：

$$\rho =\frac{Z_{in}-1}{Z_{in}+1},Z_{in}=\frac{1+\rho }{1-\rho }$$

Darlington 综合定理：任意可实现的驱动点阻抗 $Z_{in}$ 均可由无损双端口端接电阻来实现 [Da]。

传输零点由无损双端口的 $z_{21}$ 或 $y_{21}$ 的零点决定：

• 全极点滤波器 → 传输零点全部在无穷远处 → 梯形为 Fig. 7.3(a) 形式
• 高通滤波器 → 传输零点全部在原点 → 梯形为 Fig. 7.3(b) 形式
• 有限频率传输零点 → 需要 LC 串/并联分支 → Fig. 7.3(c)/(d)

§7.2 等端接 LC 梯形 (LC Ladders with Equal Terminations)

当 $R_s=R_L$ 时，将两电阻归一化为 1 $\Omega$。

设计步骤：

1. 从给定的 $|T(j\omega ){|}^2$ 出发
2. 由 (7.6) 得 $|\rho (j\omega ){|}^2=1-|T(j\omega ){|}^2$
3. 由 $|\rho {|}^2$ 构建 $\rho (s)$（参见 §3.1）
4. 由 (7.13) 得 $Z_{in}=\frac{1+\rho }{1-\rho }$ 或 $Z_{in}=\frac{1-\rho }{1+\rho }$
5. 将 $Z_{in}$ 作为驱动点阻抗用 Foster preamble 综合为 LC 梯形端接电阻

Foster’s Preamble：不断从 $Z_{in}$ 中移除无穷远处的极点（即 Cauer I 展开），当所有传输零点在无穷远时适用。

例 7.1：三阶 Butterworth 低通，$R_s=R_L=1\Omega$：

• $|T{|}^2=\frac{1}{1+{\omega }^6}\to |\rho {|}^2=\frac{{\omega }^6}{1+{\omega }^6}$
• $\rho (s)=\frac{s^3}{s^3+2s^2+2s+1}$（选择左半平面极点）
• $Z_{in}=\frac{2s^3+2s^2+2s+1}{2s^2+2s+1}$
• 通过长除法得到梯形：串联 $L=1H$ → 并联 $C=1.5F$ → 串联 $L=1H$ → 负载 $1\Omega$

MATLAB 实现：

syms s
rho = s^3/(s^3 + 2*s^2 + 2*s + 1);
Z11 = simple((1+rho)/(1-rho))
% 连续应用 Foster's preamble
z2 = simple(Z11 - s)
y2 = simple(1/z2)
y3 = simple(y2 - 2*s)

例 7.2：三阶 Chebyshev 高通滤波器（$A_{max}=0.5$ dB）直接综合，验证与低通→高通变换得到相同结果。使用 Cauer II 展开（在原点处展开）。

例 7.3：三阶椭圆滤波器，具有有限频率传输零点。实现时需先部分移除无穷远极点，再移除 $j\omega$ 轴上的极点对：

• 先移除并联电容 $C_1$（部分极点）
• 剩余函数产生 $j\omega$ 轴上的极点对 → 用部分分式展开移除 → 产生 LC 串/并联谐振分支
• 最终得到 Fig. 7.7 的梯形网络

MATLAB 步骤：使用 roots 找零极点，用 conv 组合多项式，用 freqs 计算部分分式留数。

§7.3 不等端接 LC 梯形 (LC Ladders with Unequal Terminations)

当 $R_s\ne R_L$ 时，有几种处理方案：

1. 功率降低法 (最实用)：预判低频时梯形退化后的直接连接（所有 L 短路、C 开路），从而：

这表示约 1.94 dB 的增益损失（如 $R_s=1, R_L=4$ 时）。 2. **理想变压器法**：在负载端插入理想变压器实现阻抗匹配。 3. **Darlington 综合法**：使用互感和理想变压器，网络复杂。 **例 7.4**：$R_s=1\Omega, R_L=4\Omega$ 的三阶 Butterworth 低通： - $|T(0)|^2 = 4\times1\times4/(5)^2 = 16/25 = 0.64$ → 增益降低 1.94 dB - 修改后的传输系数 $|T|^2 = 0.64/(1+\omega^6)$ - 有多种 $\rho(s)$ 选择（四个可能组合），每种产生不同的 LC 梯形 **四种 $\rho(s)$ 的可能组合**：零点的不同左右半平面分配产生不同电路，如 Fig. 7.11-7.14。 ### §7.4 双端接滤波器的反向使用 (A Doubly-Terminated Filter Used in Reverse) 由互易定理：$V_2/V_s$ 在正反向传输中相同。

\frac{V_2}{V_s} = \frac{V_1’}{V_s’}

阻抗缩放不影响传输系数。 **应用**：将双端接网络的输入输出对调，再应用阻抗缩放，可获得不等端接的另一实现方案。 **例 7.5**：Chebyshev 低通滤波器，$R_s=75\Omega, R_L=150\Omega$。 - 计算 $|T(0)|^2 = 8/9$ 对应 0.512 dB 损耗 - 用 Foster's preamble 综合，得到 Fig. 7.18 - 也可翻转对调 + 阻抗缩放得到等效电路 Fig. 7.20 **例 7.6**：检测 $R_s=1\Omega, R_L=2\Omega$ 的 Chebyshev 低通是否可实现（无变压器）。由于增益损耗超过 Chebyshev 特性的等波纹范围，结论为不可实现。 ### §7.5 小结 双端接 LC 梯形滤波器是实际应用中最常见的形式（源和负载均有有限阻抗）。Darlington 综合提供了理论基础，Foster's preamble 和零移位技术提供了系统化的实现方法。不等端接时可采用功率降低、变压器或反向使用等方案。 --- ## Ch.8 — SENSITIVITY（灵敏度） > 滤波器性能对元件值变化的敏感度：经典定义、数学性质、计算方法、被动滤波器的低灵敏度特性。 ### §8.1 灵敏度定义 (Definition of Sensitivity) **Bode 灵敏度**（经典微分灵敏度）：

S_x^F = \frac{\partial F/F}{\partial x/x} = \frac{x}{F}\frac{\partial F}{\partial x}

物理意义：$x$ 变化 1% 引起 $F$ 变化约 $S_x^F\%$。如 $S=2$ 则 1% 元件变化 → 2% 性能变化。 **例 8.1** 对比：两个电路实现相同的二阶 Chebyshev 低通特性，所有元件增加 1%： - 无源电路（Fig. 8.1a）：$|H(j1)|$ 下降约 0.83% - 有源电路（Fig. 8.1b）：$|H(j1)|$ 下降约 1.7% - 有源滤波器灵敏度约为无源的两倍 ### §8.2 一阶灵敏度性质 (Properties of First-Order Sensitivity) 重要性质（推导留作习题）：

S_x^{kF} = S_x^F \quad \text{（常数因子不可感）}

S_x^{F_1F_2} = S_x^{F_1} + S_x^{F_2}

S_x^{F_1/F_2} = S_x^{F_1} - S_x^{F_2}

S_x^{F^n} = nS_x

S_{1/x}^F = -S_x

S_x^y \cdot S_y^z = S_x^z \quad \text{（链式法则）}

### §8.3 网络性能灵敏度 (Sensitivities of Network Performance) 对于二阶带通滤波器 $H(s) = \frac{Gs\omega_0/Q}{s^2 + (\omega_0/Q)s + \omega_0^2}$： - $S_x^{\omega_0}$：中心频率灵敏度 - $S_x^Q$：品质因数灵敏度（与带宽相关，$BW = \omega_0/Q$） - 极灵敏度：$S_x^{p_i}$ 或 $S_x^{|p_i|}$（极点的位置灵敏度） **零灵敏度**：对二阶分子多项式的零点也可类似定义。 ### §8.4 灵敏度计算 (Sensitivity Calculation) **直接法**：将 $F$ 显式表达为 $x$ 的函数后直接求偏导。 **间接法（更高效）**：利用 MATLAB 符号运算 + 灵敏度性质分步计算。 **例**：对 Fig. 8.4 的电路（$R_1=4, R_2=0.7255, R_3=1.6283, C_1=C_2=1, u=2$）： ```matlab syms C1 C2 R1 R2 R3 u s % 建立节点方程 f1 = (E3 - E1)/R1 + s*C1*E3 + s*C2*(E3 - E2/u) + (E3 - E2)/R2; f2 = s*C2*(E2/u - E3) + E2/(u*R3); [E2, E3] = solve(f1, f2, E2, E3); % Q 灵敏度计算 Q = sqrt((R1+R2)/(C1*C2*R1*R2*R3))/(1/(C2*R3)+1/(C1*R3)+1/(C1*R1)+(1-u)/(C1*R2)); Qval = subs(Q, {C1,C2,R1,R2,R3,u}, {1,1,4,.7255,1.6283,2}); % Q = 10.0087 dQ = diff(Q, C1); dQval = subs(dQ, {C1,C2,R1,R2,R3,u}, {1,1,4,.7255,1.6283,2}); % -56.5149 SEN = C1/Qval * dQval % S_{C1}^Q = -5.6466 ``` ### §8.5 非归一化灵敏度 (Unnormalized Sensitivity) 对于极点/零点位置，绝对值变化比百分比变化更有意义：

\tilde{S}_x^{p} = \frac{\partial p}{\partial x} \quad \text{（非归一化灵敏度）}

与归一化关系：$\tilde{S}_x^{p} = \frac{p}{x}S_x^{p}$。 **例**：某极点 $p=-0.3049+1.056j$，$\tilde{S}_{R_2}^{p}=0.0321-0.0132j$，则 $R_2$ 增加 1% 时极点移动约 0.03。 ### §8.6 多参数与统计灵敏度 (Multiparameter and Statistical Sensitivities) 实际滤波器性能受所有元件变化影响：

\frac{\Delta F}{F} \approx \sum_i S_{x_i}^F \frac{\Delta x_i}{x_i}

**组灵敏度**：按元件类型分组（电阻、电容、放大器增益），同一组内假设同方向同比例变化。 **统计灵敏度/容差分析 (Tolerancing)**：在大规模生产（数十万计）中，假设各元件值按一定概率分布变化，通过计算机模拟确定可接受的产品比例（良率 yield）。这是决定元件容差分配的关键步骤。 ### §8.7 无源滤波器低灵敏度分析 (A Case for Low Sensitivity of Passive Filters) 工程经验表明有源滤波器灵敏度通常高于无源，原因： 1. 无源滤波器中所有元件对网络性能的贡献更均匀 2. 无放大器件，元件值变化不会被放大 **双端接 LC 滤波器特有的低灵敏度**：当设计使通带内某点 $|T(j\omega)|=1$ 时，任何元件值变化（正或负）只能降低 $|T|$。即：

\left.\frac{\partial |T|}{\partial x}\right|_{|T|=1} = 0

因此通带波纹较小时（如 0.1 dB），整个通带灵敏度极低（图 8.5）。这一特性不适用于单端接 LC 滤波器或双端接滤波器阻带。 ### §8.8 小结 灵敏度是衡量滤波器对元件变化敏感程度的关键指标。经典 Bode 灵敏度定义简单实用，可通过直接或间接方法计算。无源滤波器（特别是双端接 LC 梯形）具有固有的低灵敏度优势，而有源滤波器设计时需要特别关注灵敏度优化。 --- ## Ch.9 — OP AMP-RC 电路基础 (BASICS OF OP AMP-RC CIRCUITS) > 有源滤波器的入门章节：无源 vs 有源对比、运放模型、一阶节、RC-CR 变换、双二次节分类。 ### §9.1 无源与有源滤波器对比 (Comparison of Passive and Active Filters) | 特性 | 无源滤波器 | 有源滤波器 | |------|-----------|-----------| | 电源需求 | 不需要 | 必需 | | 端接灵敏度 | 高（端接影响大） | 低（缓冲隔离） | | 实现同一网络函数的电路数 | 非常有限（甚至唯一） | 极多（几百种选择） | | 灵敏度 | 通常较低 | 通常较高 | | 噪声 | 低 | 较高，动态范围受限 | | IC 集成 | 困难（电感无法集成） | 容易（R, C, op amp） | | 模块化 | 困难 | 容易（级联双二次节） | **核心优势**：有源滤波器可实现模块化设计，将高阶滤波器分解为多个二阶节（biquads）级联。例如六阶 Butterworth 可分解为三个二阶节。 ### §9.2 运算放大器 (The Operational Amplifier) 理想运放假设： 1. 输入电阻 $R_i \to \infty$ → $I_+ = I_- = 0$ 2. 输出电阻 $R_o \to 0$ 3. 开环增益 $A \to \infty$ → 虚短：$V_+ = V_-$ 实际限制：有限带宽（$A(s) \approx \frac{GB}{s}$）、有限信号摆幅、噪声。 ### §9.3 简单运放电路 标准电路模块（Fig. 9.5-9.12）： - 反相放大器 ($V_o/V_i = -R_2/R_1$) - 同相放大器 ($V_o/V_i = 1 + R_2/R_1$) - 电压跟随器 ($V_o/V_i = 1$) - 反相/同相加权求和器 - 反相/同相积分器 (lossless) - 反相/同相有损积分器 (lossy) ### §9.4 一阶节 (First-Order Sections) 奇数阶滤波器需要一阶节。通用反相一阶节（Fig. 9.13）：

H(s) = -\frac{K_1 s + K_0}{s + \omega_0}

$$通用同相一阶节（Fig.9.14）：$$

H(s) = \frac{K_1 s + K_0}{s + \omega_0}

### §9.5 RC 单运放电路关系 (RC Single-Op Amp Circuit Relationships) **有限增益配置 (Fig. 9.15)**：运放增益 $u$ 的 RC 三端口网络：

H(s) = \frac{u y_{31}}{y_{33} + (1-u) y_{23}}

传输零点由 $y_{31}$ 的零点和 $y_{23}$ 的私有极点决定。 **无穷增益配置 (Fig. 9.18)**：运放作为理想无穷增益放大器：

H(s) = -\frac{y_{31}}{y_{23}}

传输零点为 $y_{31}$ 的零点，极点为 $y_{23}$ 的零点。 ### §9.6 增益调整 (Gain Adjustments) **增益降低 (Gain Reduction)**：将输入阻抗替换为分压器，保持戴维南等效阻抗不变：

\frac{R_a}{R_a+R_b} = \alpha < 1

**增益增强 (Gain Enhancement)**：增加放大器增益的同时减小反馈量 $K$ 倍。 ### §9.7 RC-CR 变换 将网络中电导 $G$ 替换为电容 $C$，电容 $C$ 替换为电导 $G$，对不同量纲的函数产生以下影响： - 阻抗函数：$Z'(s) = \frac{1}{s}Z(\frac{1}{s})$ - 导纳函数：$Y'(s) = sY(\frac{1}{s})$ - 电压比（无量纲）：$H'(s) = H(\frac{1}{s})$ **应用**：低通 ↔ 高通；带通 → 另一带通。不含电感，非常适合有源滤波器。 ### §9.8 双二次节类型 (Types of Biquads) 双二次节 = 二阶滤波器节（分子分母均为二次多项式之比）：

H(s) = G\frac{a_2 s^2 + a_1 s + a_0}{b_2 s^2 + b_1 s + b_0}

标准形式：$H(s) = G\frac{a_2 s^2 + a_1 s + a_0}{s^2 + (\omega_0/Q)s + \omega_0^2}$ 五种基本类型（表 9.1）： 1. **低通**：$a_2=a_1=0$，DC 增益 $G$，$Q$ 高时有峰值 2. **高通**：$a_1=a_0=0$，高频增益 $G$ 3. **带通**：$a_2=a_0=0$，中心频率 $\omega_0$，增益 $G$ 4. **带阻 (Notch)**：$a_1=0$，零点在 $\omega_0$，DC 增益可独立控制 5. **全通**：$a_2=b_2, a_1=-b_1, a_0=b_0$，幅度不变，相位/延迟均衡 ### §9.9 小结 本章为有源滤波器研究的基础章节，涵盖无源/有源对比、运放模型与基本电路、一阶节设计、RC-CR 变换、双二次节分类等关键内容。下一章开始在具体 biquad 电路中应用这些知识。 --- ## Ch.10 — OP AMP-RC BIQUAD 电路 (OP AMP-RC BIQUAD CIRCUITS) > 三种经典 biquad 类型的详细分析与设计：Sallen-Key、MFB（多重反馈）、双积分器类（KHN/Tow-Thomas/Fleischer-Tow）。 ### §10.1 Sallen-Key Biquads 1954 年由 Sallen 和 Key 提出，经典的有源滤波器家族。 #### §10.1.1 低通 biquad（Fig. 10.1）

H(s) = \frac{u}{R_1R_2C_1C_2s^2 + [C_2(R_1+R_2) + C_1R_1(1-u)]s + 1}

标准形式 $H(s) = \frac{G\omega_0^2}{s^2 + (\omega_0/Q)s + \omega_0^2}$ 中的参数：

\omega_0^2 = \frac{1}{R_1R_2C_1C_2}, \quad \frac{\omega_0}{Q} = \frac{1}{R_1C_1} + \frac{1}{R_2C_1} + \frac{1-u}{R_2C_2}

**四种设计选择**（表 10.1 灵敏度对比）： | 设计 | 选择条件 | 灵敏度水平 | 特点 | |------|---------|-----------|------| | 1 (等元件) | $R_1=R_2, C_1=C_2$ | 最高 | 计算简单，元件统一 | | 2 (等电容+等反馈电阻) | $C_1=C_2, u=2$ | 中等 | 放大器增益固定为 2 | | 3 (Saraga 折衷) | $C_1=4Q^2C_2, u=2-1/Q$ | 中等 | 灵敏度和元件散布折衷 | | 4 (最小灵敏度) | $u=1$（电压跟随器） | 最低(约零) | 电容散布极大 | **例 10.1**：四阶 Butterworth 低通，级联两个 Sallen-Key biquad： - 第一 biquad（Design1）：$R_1=R_2=1\Omega, C_1=C_2=0.382F, u=2$ - 第二 biquad（Design2）：$C_1=C_2=1F, u=2$，$\omega_0=1$，$Q=1.3065$ - 频率缩放至 $f_{3dB}=1kHz$，阻抗缩放使 $C=0.1\mu F$ #### §10.1.2 高通 biquad（Fig. 10.3） 由 RC-CR 变换从低通 biquad 得到：

H(s) = \frac{us^2}{s^2 + \frac{1}{R_2}\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)s + \frac{1-u}{R_1R_2C_1C_2}}

#### §10.1.3 带通 biquad（Fig. 10.4）

H(s) = \frac{u}{R_1C_1}s \Big/ \left(s^2 + \frac{1}{R_3}\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)s + \frac{1}{R_1R_2C_1C_2}\right)

**例 10.2**：等元件 Design 1，$\omega_0=1$，$Q=10$ → $G=27.28$。 #### §10.1.4 带阻 biquad（Fig. 10.6） 使用 RC 双 T 网络产生 $j\omega$ 轴传输零点。增益 $u<1$（通过电压跟随器+增益降低实现）。局限性：DC 和高频增益固定相同。 改进方案：前馈带通输出 + 输入信号组合（Fig. 10.9）：

H(s) = \frac{V_{in} + V_{BP} \cdot K}{V_{in}}

### §10.2 无穷增益多重反馈 (MFB) Biquads 单运放 + RC 网络，通过多个元件提供负反馈。 #### §10.2.1 低通 biquad（Fig. 10.10） 反相结构：

H(s) = -\frac{1/(R_1R_3C_1C_2)}{s^2 + s\frac{1}{C_1}\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right) + \frac{1}{R_2R_3C_1C_2}}

设计公式（选 $R_2=R_3$）：

\omega_0^2 = \frac{1}{R_2R_3C_1C_2}, \quad \frac{\omega_0}{Q} = \frac{1}{C_1}\left(\frac{1}{R_1}+\frac{2}{R_2}\right), \quad G = \frac{R_2}{R_1}

**特点**：高 $Q$ 需要大电容散布。运放增益极高，因此对运放增益变化不敏感。灵敏度普遍较低。 #### §10.2.2 高通 biquad（Fig. 10.11） RC-CR 变换获得。 #### §10.2.3 带通 biquad（Fig. 10.12）

H(s) = -\frac{s/(R_1C_1)}{s^2 + s\frac{1}{C_1}\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right) + \frac{1}{C_1C_2R_3}\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)}

**优化设计**：令 $R_2$ 为 $R_1||R_3$ 使分母中间项最小 → $G_{max}=Q$。高 $Q$ 需要较大元件值散布。 **$Q$ 增强技术**： 1. 正反馈法（Fig. 10.14）：部分输出反馈到输入 2. 双反馈法（Fig. 10.16）：在正输入端引入正反馈 Sallen-Key vs MFB 关键差异：Sallen-Key 分母中间项含负项（$1-u$），可轻松实现高 $Q$；MFB 各项全正，高 $Q$ 需大元件值散布。 #### §10.2.4 带阻与全通 biquad 通过前馈路径在带通 MFB biquad 中添加形成。 ### §10.3 双积分器 Biquads (Two-Integrator Biquads) 基于状态变量法，使用积分器的反馈/前馈结构。 #### §10.3.1 KHN Biquad（Kerwin-Huelsman-Newcomb） Fig. 10.20：三个运放（差动求和器 + 两个反相积分器）：

\frac{V_{LP}}{V_{in}} = \frac{G\omega_0^2}{s^2 + (\omega_0/Q)s + \omega_0^2}

设计简单，低通/带通/高通输出同时可获得。灵敏度通常很低。 **例 10.5**：$\omega_0=1, Q=5$，$R_1C_1=1$ → 元件值通过公式确定。 #### §10.3.2 Tow-Thomas Biquad Fig. 10.23：简化版双积分器结构，仅两个运放 + 一个反相器。 - 低通输出（反相或同相）和带通输出均可获得 - 单电阻调 $Q$（$R_Q$），单电阻调增益（$R_G$） - 所有运放同相端接地 #### §10.3.3 Fleischer-Tow Biquad Fig. 10.24：Tow-Thomas 的通用化版本，增加两条前馈路径，无需额外运放即可实现任意二阶传输函数。 五种类型的设计公式（$k=1/\omega_0$ 归一化后）： - 低通：$R_A = \infty, R_B = \infty$ - 带通：$R_A = \infty$ - 高通：$R_B = \infty$ - 带阻：$R_A, R_B$ 选择适当值 - 全通：$R_A, R_B, R_C$ 三电阻配合 ### §10.4 小结 本章详细介绍了三种实用 biquad 系列。Sallen-Key 简单但灵敏度较高；MFB 运放不敏感但高 $Q$ 需大元件散布；双积分器类（KHN/Tow-Thomas/Fleischer-Tow）功能丰富、灵敏度低、可多输出。实际设计需根据应用选择。 --- ## Ch.11 — 高阶 OP AMP-RC 滤波器 (HIGH-ORDER OP AMP-RC FILTERS) > 使用级联 biquad 和状态变量法实现高阶滤波器，含增益分配、极点-零点配对、biquad 排序、低通→带通变换等技术。 ### §11.1 级联 Biquads (Cascaded Biquads) 将高阶网络函数分解为 biquadratic 因子和一阶因子的乘积：

H(s) = \prod_i H_i(s) = \prod_i \frac{a_{2i}s^2 + a_{1i}s + a_{0i}}{s^2 + (\omega_{0i}/Q_i)s + \omega_{0i}^2}

每节独立设计、缩放、调谐和测试，是**最实用和流行**的高阶有源滤波器实现方法。 **例 11.1**：五阶 Butterworth 低通（$f_{3dB}=1kHz$）： - 分解为两个 MFB biquad + 一个一阶节 - 归一化设计 → 频率/阻抗缩放 → 最终电路 Fig. 11.3 #### §11.1.1 增益分配 (Gain Allocation) 将总增益灵活分配到各节，优化： - **元件值散布**：降低高 $Q$ 节的增益可减小电容比 - **动态范围**：使各节点信号强度均匀，避免某节过载/信噪比过低 **例 11.2**：将例 11.1 中高 $Q$ 节的增益从 1 降至 0.2，电容比从 50:1 降至 15:1。 **例 11.3**：四阶 Chebyshev 带通（$B=0.1$），级联两个 Sallen-Key 带通 biquad。 **例 11.4**：四阶椭圆低通，使用两个 Fleischer-Tow 低通 notch biquad。 #### §11.1.2 极点-零点配对 (Pole-Zero Pairing) 同一传输函数可多种因子分解方式。选择最佳配对使通带波纹最小。 #### §11.1.3 Biquad 排序 (Biquad Sequencing) $N$ 个 biquad 有 $N!$ 种级联顺序。推荐： - 低通节放最前（滤除不需要的高频，防止后级饱和） - 高通节放最后（防止内部噪声通过阻带泄漏至输出） ### §11.2 状态变量法 (The State-Variable Method of Realization) 不解因子，直接综合高阶滤波器。 #### §11.2.1 全极点传输函数实现 使用控制器规范型（controller canonic form，Fig. 11.8）： - 非反相积分器 → 不适合运放实现 - 修改为反相积分器 + 每隔一级变号（Fig. 11.9） - 求和器和第一个积分器可合并为加权求和积分器 **例 11.5**：四阶 Chebyshev 低通状态变量实现。 #### §11.2.2 通用传输函数实现 利用状态变量法中所有内部节点电压可供使用的特点，加权求和即可得到任意 $m<n$ 的传输函数（Fig. 11.12/11.13）。 **例 11.6**：四阶椭圆低通的状态变量实现（Fig. 11.14）。 #### §11.2.3 有损积分器实现 使用有损积分器代替无损积分器，增加设计自由度（多出两个可调参数）。 **例 11.7**：使用有损积分器实现四阶 Chebyshev 低通（$A_{max}=0.5$ dB）。 ### §11.3 低通→带通变换 (Lowpass-to-Bandpass Transformation) #### §11.3.1 无穷 $Q$ 耦合 Biquad 将低通状态变量滤波器中的每个积分器替换为无穷 $Q$ 带通 biquad（实际为振荡器，但在负反馈中稳定工作）：

\frac{1}{s} \to \frac{\omega_0 s/B}{s^2 + \omega_0^2}

**例 11.8**：将二阶 Butterworth 低通（控制器规范型）变换为四阶 Butterworth 带通。 #### §11.3.2 主谐振器块 (Primary Resonator Blocks) 将低通有损积分器替换为有限 $Q$ 带通 biquad，可生成任意阶带通滤波器。 **例 11.9**：使用 4 个主谐振器块实现八阶带通。 ### §11.4 内部增益变化 (Internal Gain Change) 选取闭合面，将进入面的增益乘以 $K$，离开面的增益除以 $K$，不影响总传输函数。 - 改变时间常数 - 均衡信号强度（最大化动态范围） - 改变符号 ### §11.5 小结 级联 biquad 法（实用、模块化、低成本）和耦合 biquad 法（低灵敏度）是两大主流方法。状态变量法主要用于理论指导，实际中为耦合 biquad 方法提供基础。 --- ## Ch.12 — 无源滤波器的 OP AMP-RC 仿真 (OP AMP-RC SIMULATION OF PASSIVE FILTERS) > 将无源 LC 滤波器的元件或功能用有源电路模拟实现。两大方法：元件替换法和功能仿真法（跳蛙 leap-frog）。 ### §12.1 有源双端口网络 (Some Active Twoports) **$[ABCD]$ 传输矩阵**：

\begin{bmatrix} V_1 \ I_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_2 \ -I_2 \end{bmatrix}

四种受控源的传输矩阵见表 12.1。 **重要有源器件**（表 12.2）： - NIC（负阻抗转换器） - 回转器 (Gyrator)：$[F] = \begin{bmatrix} 0 & \pm 1/g \\ \mp g & 0 \end{bmatrix}$，正阻抗逆变器 - 阻抗转换器 - 负阻抗逆变器 ### §12.2 通用阻抗转换器 (GIC - Generalized Impedance Converter) **Antoniou GIC**（Fig. 12.3，最实用且简单的 GIC 电路）：

Z_{in}(s) = \frac{Z_1 Z_3 Z_5}{Z_2 Z_4}

通过选择 $Z_1$-$Z_5$ 中哪个为电容，可实现多种功能： - $Z_2$ 或 $Z_4$ 为电容 → 模拟电感 - $Z_1$ 和 $Z_3$ 为电容 → FDNR（频率相关负电阻） ### §12.3 LC 梯形中的电感模拟 (Simulation of Inductances in an LC Ladder) #### §12.3.1 接地电感模拟（Fig. 12.6） GIC 端口 2 端接电阻 $R$，输入阻抗为：

Z_{in} = \frac{Z_1 Z_3}{Z_2 Z_4}R

选择 $Z_2=C$（其余为电阻）→ $Z_{in}=sCR_1R_3R/R_2R_4$ → 模拟电感 $L=CR_1R_3R/(R_2R_4)$。 **例**：五阶 Butterworth 高通（Fig. 12.7→Fig. 12.8）。 #### §12.3.2 浮地电感模拟（Fig. 12.9） 使用两个 GIC + 一个电阻的组合实现浮地电感。通过传输矩阵级联推导证明等效性。 **例**：三阶低通滤波器中的浮地电感模拟（Fig. 12.11→Fig. 12.12）。 #### §12.3.3 电感组模拟（Fig. 12.13） 将浮地电感子网络替换为电阻子网络 + GIC：

L_{ij} (\text{电感}) \to R_{ij} (\text{电阻}) = s_0 L_{ij}

其中 $s_0$ 为任意定标因子。 **优点**：减少 GIC 数量。例如 Fig. 12.11 的两个浮地电感可用 3 个 GIC + 2 个电阻代替原本需要 4 个 GIC 的方案。 ### §12.4 FDNR 仿真 (Simulation Using Frequency-Dependent Negative Resistances) 令 GIC 的 $Z_1$ 和 $Z_3$ 为电容，其余为电阻，端口 2 端接 $R$：

Z_{in} = \frac{1}{s^2 C_1 C_3 R_2 R_4 R_5 / R} = \frac{1}{s^2 D}

其中 $D$ 为 FDNR 值。 **FDNR 方法**：对 LC 滤波器的所有阻抗进行 $1/s$ 缩放： - 电阻 $R \to $ 电容 $1/R$ F - 电感 $L \to $ 电阻 $L \Omega$ - 电容 $C \to $ FDNR $C$ D **优点**：将浮地电感转换为接地 FDNR（更易实现）。 **例**：高通滤波器中的电感（Fig. 12.18）转换为 FDNR 形式（Fig. 12.20）。 浮地 FDNR 和 FDNR 子网络也可用多个 GIC + 电阻组实现（Fig. 12.21）。 ### §12.5 无源滤波器功能仿真 (Functional Simulation of Passive Filters) #### §12.5.1 跳蛙法 (Leap-Frog Realization) 将 LC 梯形网络的电压/电流关系写出为递推形式（Fig. 12.22）：

I_1 = (V_s - V_1)/R_s, \quad V_1 = (I_1 - I_2)Z_1, \quad I_2 = (V_1 - V_2)Y_2, \ldots

用传输函数块实现各递推步骤 → 跳蛙形式（Fig. 12.23）。 通过内部增益变换减少所需反相器数量（Fig. 12.24→12.25）。 #### §12.5.2 低通 LC 梯形跳蛙实现 以 Fig. 12.18 的低通滤波器为例，将递推方程实现为有损/无损积分器的连接（Fig. 12.26）。 #### §12.5.3 带通滤波器跳蛙实现（使用 Biquad） 对低通跳蛙中的每个积分器应用低通→带通变换：

\frac{1}{sC_i} \to \frac{\omega_0 s/B}{s^2 + \omega_0^2} \quad \text{或} \quad \frac{1}{sL_i + R} \to \frac{\omega_0 s/B}{s^2 + (\omega_0/Q)s + \omega_0^2}

#### §12.5.4 带通滤波器跳蛙实现（使用积分器） 从带通 LC 梯形直接出发，写出递推关系，构建块图后用运放实现（Fig. 12.28-12.30）。 #### §12.5.5 特殊带通滤波器仿真 针对非低通→带通变换导出的特殊带通滤波器，通过改写递推方程避免使用三阶节（Fig. 12.31-12.32）。 ### §12.6 小结 OP AMP-RC 仿真无源滤波器有两种途径：元件替换（GIC 模拟电感、FDNR 方法）和功能仿真（跳蛙法）。跳蛙法因继承双端接 LC 梯形的低灵敏度特性而备受青睐。 --- ## Ch.13 — 开关电容滤波器 (SWITCHED-CAPACITOR FILTERS) > 适用于 MOS IC 实现的滤波器技术：开关电容模拟电阻、基本构建块、SC biquad、LC 梯形功能仿真。重点在连续时间→开关电容的替换方法。 ### §13.1 引言 (An Introduction) 开关电容 (SC) 滤波器是**采样数据系统**，主要特征： 1. MOS 工艺中电阻占面积过大 → 用周期切换的电容代替 2. 性能取决于**电容比值**（非绝对值），比值可控制在 0.1% 以内 3. 电容范围：0.1 pF ~ 100 pF 4. 时钟频率：100 kHz ~ 2 MHz，信号频率需远低于时钟 5. 混叠风险：$f_{clock}/f_{signal}$ 通常 20~200 6. 与数字电路在同一芯片上实现（LSI/VLSI） ### §13.2 开关电容模拟电阻 (Simulation of Resistors by Switched Capacitors) **基本原理**（Fig. 13.1）：电容 $C_1$ 在端子 1 和 2 之间周期切换： - 接端子 1：充电至 $V_1$ - 切换到端子 2：放电至 $V_2$ - 平均电流 $I_{avg} = C_1(V_1-V_2)f_c$ → 等效电阻 $R_{eq} = 1/(C_1 f_c)$ 包含 MOS 开关的非交叠两相时钟驱动（Fig. 13.2）。 **寄生不敏感电路** (Parasitic-Insensitive Circuits)： MOS 电容的底部寄生电容可达 10%。Fig. 13.4 的开关安排消除了寄生影响，是实际中使用的主要形式。 **负电阻模拟**（Fig. 13.5）：交换开关相位 → 等效负电阻。在 SC 非反相积分器中关键。 ### §13.3 简单基本电路 (Simple Basic Circuits) **核心方法**：将连续时间电路中电阻 $R$ 替换为开关电容 $C = 1/(R f_c)$。 | 电路 | 连续时间原型 | SC 版本 | |------|-------------|---------| | 反相放大器 (Fig. 9.5→13.8) | $V_o/V_i = -R_2/R_1$ | $V_o/V_i = -C_1/C_2$ | | 加权求和器 (Fig. 9.8→13.9) | $V_o = -\sum R_f/R_i V_i$ | $V_o = -\sum C_i/C_f V_i$ | | 反相积分器 (Fig. 9.9→13.10) | $H(s) = -1/(sCR)$ | $H(s) = -f_c C_1/(s C_f)$ | | 有损积分器 (Fig. 9.10→13.11) | 双电阻 | 双开关电容 | | 加权求和积分器 (Fig. 9.11→13.12) | — | — | **非反相积分器**（Fig. 13.13）：利用负电阻实现，连续时间中难以实现。 **差动积分器**（Fig. 13.15）：直接对两电压差积分，无需反相器。 **差动有损积分器**（Fig. 13.16）：在反馈电容上并联开关电容实现损耗。 **差动放大器**（Fig. 13.17）：在反馈电容上并联开关，消除积分效应。 **一阶节**（Fig. 13.19）：将 Fig. 9.13 的电阻替换为开关电容。 **例 13.1**：设计一阶 SC 滤波器实现 $H(s) = -0.2/(s+1)$，$f_{clock}=10kHz$。 ### §13.4 开关电容 Biquads (Switched-Capacitor Biquads) 并非所有连续时间 biquad 都适合 SC 替换（开关相位问题）。适合逐块替换的 biquad： **KHN biquad SC 版本**（Fig. 13.20→13.21）： - Block A：加权差动求和器 → 电容替换电阻 - Block B, C：反相积分器 → SC 积分器替换 **Tow-Thomas biquad SC 版本**（Fig. 13.22→13.23）： - Block A：反相加权求和积分器 → SC 版本 - Block B：非反相积分器 → SC 版本（利用负电阻） - 设计参数：$f_c C_i = 1/R_i$（连续时间中的电导替换） ### §13.5 LC 梯形功能仿真 (Functional Simulation of LC Ladders) SC 实现跳蛙仿真相比连续时间有两个优势： 1. **减法和加法同样容易实现**（差动积分器） 2. 无需减少反相器数量的内部变换 以 Fig. 13.24 的双端接 LC 低通滤波器为例： - Block 1：差动有损积分器（Fig. 13.16）→ 第一个方程 - Block 2-5：差动积分器（Fig. 13.15）→ 中间方程 - Block 6：非反相放大器（Fig. 13.18）→ 最后一个方程 最终电路见 Fig. 13.27。 ### §13.6 小结 本章采用"替换法"介绍 SC 滤波器：将连续时间滤波器中的电阻替换为开关电容。这种定性方法假设时钟频率远高于信号频率。精确分析需要 $Z$ 变换工具。 --- ## Ch.14 — OTA 滤波器 (OTA FILTERS) > 适用于高频、低功耗、IC 集成的跨导-C 滤波器。OTA 基本电路、OTA-C biquad、元件仿真、功能仿真。 ### §14.1 引言 (An Introduction) **OTA-C 滤波器**（$g_m-C$ 滤波器）的优势： 1. 工作频率高（数十至数百 MHz） 2. 与数字信号处理电路在同一芯片上制造 3. 通过改变 DC 偏置电流调谐（$g_m$ 可调） 4. 仅使用 OTAs 和电容（无电阻、无运放） **挑战**：OTA 非理想性较大（有限输入/输出阻抗、寄生电容、$g_m$ 随频率变化、非线性）。 ### §14.2 OTA 与简单电路 (The OTA and Simple Circuits) **理想 OTA 模型**（Fig. 14.1-14.2）： - 差动输入、单端输出 - $R_{in} \to \infty$，$R_{out} \to \infty$ - $I_{out} = g_m(V_+ - V_-)$ **基本电路**： 1. **接地电阻**（Fig. 14.3）：单 OTA 反馈 → $R_{eq} = 1/g_m$ 2. **浮地电阻**（Fig. 14.4）：两个 OTA → $R_{eq} = 1/(g_{m1} - g_{m2})$ 或 $1/g_m$（两 OTA 相同） 3. **无损积分器**（Fig. 14.5）：$V_o/V_i = \pm g_m/(sC)$，差动输入 4. **有损积分器**（Fig. 14.6）：积分器 + OTA 模拟电阻并联 5. **放大器**（Fig. 14.7）：$V_o/V_i = g_{m1}/g_{m2}$（增益由跨导比决定） 6. **加权求和器**（Fig. 14.8）：输出电流求和 7. **正阻抗逆变器**（Fig. 14.9）：$Z_{in} = 1/(g_{m1}g_{m2}Z_L)$ → 模拟电感 - $Z_L = 1/(sC)$ → $Z_{in} = sC/(g_{m1}g_{m2})$ → 电感 $L = C/(g_{m1}g_{m2})$ - 浮地电感（Fig. 14.10-14.11）：使用两个正阻抗逆变器或三 OTA 方案 ### §14.3 一阶节 (First-Order Section) 通用一阶节（Fig. 14.12）：从有损积分器添加前馈电容得到：

H(s) = \frac{sC_1 - g_{m1}}{s(C_1 + C_2) + g_{m2}}

限制条件：高频增益 < 1。移除 $g_{m1}$ → 低通节；移除 $C_1$ → 高通节。 ### §14.4 OTA-C Biquads #### §14.4.1 简单 biquad（Fig. 14.13，两 OTA + 两电容）

H(s) = \frac{g_{m1}g_{m2} + sC_1g_{m3}}{s^2 C_1C_2 + sC_1g_{m4} + g_{m1}g_{m2}}

各输出功能（通过不同端子组合）： - 低通：接地 $V_{i2}, V_{i2}'$，$V_{i1}$ 输入 → DC 增益 1 - 带通：接地 $V_{i1}, V_{i1}'$，$V_{i2}$ 输入 → 最大增益 1 - 高通：接地 $V_{i1}', V_{i2}'$，$V_{i1}$ 输入 → 高频增益 1 - Notch：$V_{i1}$ 和 $V_{i2}$ 连接为输入，其余接地 参数关系：$\omega_0^2 = g_{m1}g_{m2}/(C_1C_2)$，$\omega_0/Q = g_{m4}/C_2$ #### §14.4.2 低通 Notch biquad（Fig. 14.14） 添加额外电容 $C_3$ 使高频增益低于低频增益：

\frac{H(j\infty)}{H(0)} = \frac{C_3}{C_3 + C_2}

缺点：$C_3$ 连接内部节点到输入，级联时输入阻抗有限。 #### §14.4.3 四 OTA 通用 biquad（Fig. 14.15，类似 KHN） 同时提供低通/带通/高通输出，功能类似 KHN biquad：

\frac{V_{LP}}{V_{in}} = \frac{g_{m1}g_{m2}}{C_1C_2D(s)}, \quad \frac{V_{BP}}{V_{in}} = \frac{sC_1g_{m1}}{C_1C_2D(s)}, \quad \frac{V_{HP}}{V_{in}} = \frac{s^2C_1C_2}{C_1C_2D(s)}

四个跨导独立控制 $\omega_0$、$Q$、增益。 **例 14.1**：$f_0=500kHz$，$Q=5$，$C=5pF$ 的低通 biquad。 #### §14.4.4 五 OTA 通用 biquad（Fig. 14.16） 更多灵活性，增益可任意调节。 ### §14.5 无源滤波器元件仿真 (Element Simulation of Passive Filters) 将 LC 滤波器中各元件用 OTA 电路替换。 #### §14.5.1 高通滤波器实现（Fig. 14.17） - 源串联组合 → 诺顿等效 - OTA 实现 $V \to I$ 变换 - OTA 接地电阻模拟 - OTA + 电容模拟接地电感 **例 14.2**：将 Fig. 7.6 的高通滤波器用 OTA-C 实现，$f_{pass}=10MHz$。 #### §14.5.2 低通滤波器实现（Fig. 14.18） 接地元件为电容（无需模拟），浮地电感用三 OTA 方案（Fig. 14.11）模拟。 ### §14.6 无源滤波器功能仿真 (Functional Simulation of Passive Filters) #### §14.6.1 跳蛙法 (Leap-Frog Realization) 与 §12.5 类似，但 OTA 的差动输入特性使其更适合实现跳蛙结构（无需反相器）。内部增益变化后得到 Fig. 14.21 的块图 → OTA-C 实现（Fig. 14.22）。 #### §14.6.2 低通滤波器跳蛙实现（Fig. 14.23→14.24） **例 14.3**：将 Fig. 7.4 的低通 Butterworth 滤波器用 OTA-C 跳蛙法实现，$f_{3dB}=5MHz$。 #### §14.6.3 带通滤波器跳蛙仿真（Fig. 14.26→14.28） 四阻抗梯形，递推方程用 OTA + 电容实现各导纳项。 ### §14.7 小结 OTA-C 滤波器是现代高频/低功耗/IC 集成的首选方案。设计方法与 op amp-RC 及 SC 滤波器类似（biquad、元件仿真、功能仿真），但 OTA-C 更适合高频。实际设计中需考虑 OTA 的寄生效应和非线性。 --- ## Appendix A — 滤波器函数表 (TABLES OF FILTER FUNCTIONS) 本书提供了完整的归一化滤波器函数表（共约 20 页）： - **表 A.1-A.2**: Butterworth 极点位置和分母多项式系数（$n=2$ 至 $n=8$） - **表 A.3-A.10**: Chebyshev 滤波器极点位置和分母多项式系数（$A_{max}=0.01, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 3$ dB，$n=2$ 至 $n=8$） - **表 A.11-A.16**: 椭圆函数滤波器（$A_{max}=0.1, 0.28, 1$ dB，多种阻带抑制比） - **表 A.17-A.18**: Bessel-Thomson 滤波器极点位置和分母多项式系数（$n=2$ 至 $n=8$） 这些表格是手工设计滤波器的核心工具，MATLAB 命令（`buttap`、`cheb1ap`、`ellipap`、`besselap`）可产生相同数据。